Theorem eulerpartlemmf 34731

Description: Lemma for eulerpart 34738. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h	⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m	⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
eulerpart.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g	⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemmf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑜,𝑟,𝐴   𝑜,𝐹   𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑜,𝑟,𝐽,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,𝑜   𝑇,𝑜

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsf1o 16502	. . . . 5 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
2		f1of 6820	. . . . 5 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
4		eulerpart.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
5		eulerpart.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
6		eulerpart.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
7		eulerpart.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8		eulerpart.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
9		eulerpart.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
10		eulerpart.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
11		eulerpart.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		eulerpart.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	eulerpartlemt0 34725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
14	13	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
15	14	simp1d 1158	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → 𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ))
16		nn0ex 12509	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
17		nnex 12238	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
18	16, 17	elmap 8868	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
19	15, 18	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
20		ssrab2 4033	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ⊆ ℕ
21	7, 20	eqsstri 3982	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ⊆ ℕ
22		fssres 6744	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝐽 ⊆ ℕ) → (𝐴 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
23	19, 21, 22	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐴 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
24		fco2 6732	. . . 4 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
25	3, 23, 24	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
26	16	pwex 5351	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ℕ0 ∈ V
27	26	inex1 5285	. . . 4 ⊢ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∈ V
28	17, 21	ssexi 5292	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ V
29	27, 28	elmap 8868	. . 3 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ↔ (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
30	25, 29	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽))
31	14	simp2d 1159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
32		0nn0 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		suppimacnv 8169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 supp 0) = (◡𝐴 “ (V ∖ {0})))
34	32, 33	mpan2 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐴 supp 0) = (◡𝐴 “ (V ∖ {0})))
35		fsuppeq 8170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
36	17, 32, 35	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
37	19, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐴 supp 0) = (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
38	34, 37	eqtr3d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡𝐴 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
39	38	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((◡𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
40		dfn2 12516	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
41	40	imaeq2i 6060	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐴 “ ℕ) = (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))
42	41	eleq1i 2852	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)
43	39, 42	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((◡𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
44	31, 43	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
45		resss 6000	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐽) ⊆ 𝐴
46		cnvss 5858	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐽) ⊆ 𝐴 → ◡(𝐴 ↾ 𝐽) ⊆ ◡𝐴)
47		imass1 6103	. . . . 5 ⊢ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) ⊆ ◡𝐴 → (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐴 “ (V ∖ {0})))
48	45, 46, 47	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐴 “ (V ∖ {0}))
49		ssfi 9156	. . . 4 ⊢ (((◡𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐴 “ (V ∖ {0}))) → (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
50	44, 48, 49	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
51		cnvco 5875	. . . . . 6 ⊢ ◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) = (◡(𝐴 ↾ 𝐽) ∘ ◡bits)
52	51	imaeq1i 6059	. . . . 5 ⊢ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = ((◡(𝐴 ↾ 𝐽) ∘ ◡bits) “ (V ∖ {∅}))
53		imaco 6252	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝐴 ↾ 𝐽) ∘ ◡bits) “ (V ∖ {∅})) = (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (◡bits “ (V ∖ {∅})))
54	52, 53	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (◡bits “ (V ∖ {∅})))
55		ffun 6708	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Fun 𝐴)
56		funres 6578	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐴 → Fun (𝐴 ↾ 𝐽))
57	19, 55, 56	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → Fun (𝐴 ↾ 𝐽))
58		ssv 3960	. . . . . . 7 ⊢ (◡bits “ V) ⊆ V
59		ssdif 4097	. . . . . . 7 ⊢ ((◡bits “ V) ⊆ V → ((◡bits “ V) ∖ (◡bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (◡bits “ {∅})))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((◡bits “ V) ∖ (◡bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (◡bits “ {∅}))
61		bitsf 16484	. . . . . . 7 ⊢ bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
62		ffun 6708	. . . . . . 7 ⊢ (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → Fun bits)
63		difpreima 7060	. . . . . . 7 ⊢ (Fun bits → (◡bits “ (V ∖ {∅})) = ((◡bits “ V) ∖ (◡bits “ {∅})))
64	61, 62, 63	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (◡bits “ (V ∖ {∅})) = ((◡bits “ V) ∖ (◡bits “ {∅}))
65		bitsf1 16503	. . . . . . . . 9 ⊢ bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
66		0z 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
67		snssi 4750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0} ⊆ ℤ)
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ ℤ
69		f1imacnv 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ {0} ⊆ ℤ) → (◡bits “ (bits “ {0})) = {0})
70	65, 68, 69	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (◡bits “ (bits “ {0})) = {0}
71		ffn 6705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → bits Fn ℤ)
72	61, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ bits Fn ℤ
73		fnsnfv 6960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → {(bits‘0)} = (bits “ {0}))
74	72, 66, 73	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(bits‘0)} = (bits “ {0})
75		0bits 16496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (bits‘0) = ∅
76	75	sneqi 4599	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(bits‘0)} = {∅}
77	74, 76	eqtr3i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (bits “ {0}) = {∅}
78	77	imaeq2i 6060	. . . . . . . 8 ⊢ (◡bits “ (bits “ {0})) = (◡bits “ {∅})
79	70, 78	eqtr3i 2786	. . . . . . 7 ⊢ {0} = (◡bits “ {∅})
80	79	difeq2i 4077	. . . . . 6 ⊢ (V ∖ {0}) = (V ∖ (◡bits “ {∅}))
81	60, 64, 80	3sstr4i 3987	. . . . 5 ⊢ (◡bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})
82		sspreima 7063	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝐴 ↾ 𝐽) ∧ (◡bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})) → (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (◡bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})))
83	57, 81, 82	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (◡bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})))
84	54, 83	eqsstrid 3974	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})))
85		ssfi 9156	. . 3 ⊢ (((◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0}))) → (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
86	50, 84, 85	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
87		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) → (𝑟 supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅))
88	87	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) → ((𝑟 supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
89	88, 9	elrab2 3653	. . 3 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
90		zex 12599	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
91		fex 7224	. . . . . 6 ⊢ ((bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 ∧ ℤ ∈ V) → bits ∈ V)
92	61, 90, 91	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ bits ∈ V
93		resexg 6026	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐴 ↾ 𝐽) ∈ V)
94		coexg 7925	. . . . 5 ⊢ ((bits ∈ V ∧ (𝐴 ↾ 𝐽) ∈ V) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V)
95	92, 93, 94	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V)
96		0ex 5269	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
97		suppimacnv 8169	. . . . . . 7 ⊢ (((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) = (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
98	96, 97	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V → ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) = (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
99	98	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) ∈ Fin ↔ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin))
100	99	anbi2d 641	. . . 4 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
101	95, 100	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
102	89, 101	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
103	30, 86, 102	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {cab 2739  ∀wral 3077  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  {csn 4588   class class class wbr 5108  {copab 5172   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5660   ↾ cres 5663   “ cima 5664   ∘ ccom 5665  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   supp csupp 8155   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  0cc0 11099  1c1 11100   · cmul 11104   ≤ cle 11243  𝟭cind 12217  ℕcn 12232  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ↑cexp 14096  Σcsu 15736   ∥ cdvds 16309  bitscbits 16476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-dvds 16310  df-bits 16479

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  34732  eulerpartlemgf  34735