Theorem eulerpartlemmf 34377

Description: Lemma for eulerpart 34384. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h	⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m	⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
eulerpart.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g	⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemmf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑜,𝑟,𝐴   𝑜,𝐹   𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑜,𝑟,𝐽,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,𝑜   𝑇,𝑜

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsf1o 16482	. . . . 5 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
2		f1of 6848	. . . . 5 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
4		eulerpart.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
5		eulerpart.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
6		eulerpart.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
7		eulerpart.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8		eulerpart.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
9		eulerpart.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
10		eulerpart.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
11		eulerpart.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		eulerpart.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	eulerpartlemt0 34371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
14	13	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
15	14	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → 𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ))
16		nn0ex 12532	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
17		nnex 12272	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
18	16, 17	elmap 8911	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
19	15, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
20		ssrab2 4080	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ⊆ ℕ
21	7, 20	eqsstri 4030	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ⊆ ℕ
22		fssres 6774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ 𝐽 ⊆ ℕ) → (𝐴 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
23	19, 21, 22	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐴 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
24		fco2 6762	. . . 4 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
25	3, 23, 24	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
26	16	pwex 5380	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ℕ0 ∈ V
27	26	inex1 5317	. . . 4 ⊢ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∈ V
28	17, 21	ssexi 5322	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ V
29	27, 28	elmap 8911	. . 3 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ↔ (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
30	25, 29	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽))
31	14	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
32		0nn0 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33		suppimacnv 8199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 supp 0) = (◡𝐴 “ (V ∖ {0})))
34	32, 33	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐴 supp 0) = (◡𝐴 “ (V ∖ {0})))
35		fsuppeq 8200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
36	17, 32, 35	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
37	19, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐴 supp 0) = (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
38	34, 37	eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡𝐴 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
39	38	eleq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((◡𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
40		dfn2 12539	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
41	40	imaeq2i 6076	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐴 “ ℕ) = (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))
42	41	eleq1i 2832	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)
43	39, 42	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((◡𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
44	31, 43	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
45		resss 6019	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐽) ⊆ 𝐴
46		cnvss 5883	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐽) ⊆ 𝐴 → ◡(𝐴 ↾ 𝐽) ⊆ ◡𝐴)
47		imass1 6119	. . . . 5 ⊢ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) ⊆ ◡𝐴 → (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐴 “ (V ∖ {0})))
48	45, 46, 47	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐴 “ (V ∖ {0}))
49		ssfi 9213	. . . 4 ⊢ (((◡𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐴 “ (V ∖ {0}))) → (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
50	44, 48, 49	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
51		cnvco 5896	. . . . . 6 ⊢ ◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) = (◡(𝐴 ↾ 𝐽) ∘ ◡bits)
52	51	imaeq1i 6075	. . . . 5 ⊢ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = ((◡(𝐴 ↾ 𝐽) ∘ ◡bits) “ (V ∖ {∅}))
53		imaco 6271	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝐴 ↾ 𝐽) ∘ ◡bits) “ (V ∖ {∅})) = (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (◡bits “ (V ∖ {∅})))
54	52, 53	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (◡bits “ (V ∖ {∅})))
55		ffun 6739	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Fun 𝐴)
56		funres 6608	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐴 → Fun (𝐴 ↾ 𝐽))
57	19, 55, 56	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → Fun (𝐴 ↾ 𝐽))
58		ssv 4008	. . . . . . 7 ⊢ (◡bits “ V) ⊆ V
59		ssdif 4144	. . . . . . 7 ⊢ ((◡bits “ V) ⊆ V → ((◡bits “ V) ∖ (◡bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (◡bits “ {∅})))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((◡bits “ V) ∖ (◡bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (◡bits “ {∅}))
61		bitsf 16464	. . . . . . 7 ⊢ bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
62		ffun 6739	. . . . . . 7 ⊢ (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → Fun bits)
63		difpreima 7085	. . . . . . 7 ⊢ (Fun bits → (◡bits “ (V ∖ {∅})) = ((◡bits “ V) ∖ (◡bits “ {∅})))
64	61, 62, 63	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (◡bits “ (V ∖ {∅})) = ((◡bits “ V) ∖ (◡bits “ {∅}))
65		bitsf1 16483	. . . . . . . . 9 ⊢ bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
66		0z 12624	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
67		snssi 4808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0} ⊆ ℤ)
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ ℤ
69		f1imacnv 6864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ {0} ⊆ ℤ) → (◡bits “ (bits “ {0})) = {0})
70	65, 68, 69	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (◡bits “ (bits “ {0})) = {0}
71		ffn 6736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → bits Fn ℤ)
72	61, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ bits Fn ℤ
73		fnsnfv 6988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → {(bits‘0)} = (bits “ {0}))
74	72, 66, 73	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(bits‘0)} = (bits “ {0})
75		0bits 16476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (bits‘0) = ∅
76	75	sneqi 4637	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(bits‘0)} = {∅}
77	74, 76	eqtr3i 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (bits “ {0}) = {∅}
78	77	imaeq2i 6076	. . . . . . . 8 ⊢ (◡bits “ (bits “ {0})) = (◡bits “ {∅})
79	70, 78	eqtr3i 2767	. . . . . . 7 ⊢ {0} = (◡bits “ {∅})
80	79	difeq2i 4123	. . . . . 6 ⊢ (V ∖ {0}) = (V ∖ (◡bits “ {∅}))
81	60, 64, 80	3sstr4i 4035	. . . . 5 ⊢ (◡bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})
82		sspreima 7088	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝐴 ↾ 𝐽) ∧ (◡bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})) → (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (◡bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})))
83	57, 81, 82	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (◡bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})))
84	54, 83	eqsstrid 4022	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})))
85		ssfi 9213	. . 3 ⊢ (((◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ (◡(𝐴 ↾ 𝐽) “ (V ∖ {0}))) → (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
86	50, 84, 85	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
87		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) → (𝑟 supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅))
88	87	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) → ((𝑟 supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
89	88, 9	elrab2 3695	. . 3 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
90		zex 12622	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
91		fex 7246	. . . . . 6 ⊢ ((bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 ∧ ℤ ∈ V) → bits ∈ V)
92	61, 90, 91	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ bits ∈ V
93		resexg 6045	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐴 ↾ 𝐽) ∈ V)
94		coexg 7951	. . . . 5 ⊢ ((bits ∈ V ∧ (𝐴 ↾ 𝐽) ∈ V) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V)
95	92, 93, 94	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V)
96		0ex 5307	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
97		suppimacnv 8199	. . . . . . 7 ⊢ (((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) = (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
98	96, 97	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V → ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) = (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
99	98	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) ∈ Fin ↔ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin))
100	99	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
101	95, 100	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
102	89, 101	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (◡(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
103	30, 86, 102	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  {copab 5205   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684   ↾ cres 5687   “ cima 5688   ∘ ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   supp csupp 8185   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ↑cexp 14102  Σcsu 15722   ∥ cdvds 16290  bitscbits 16456  𝟭cind 32835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-bits 16459

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  34378  eulerpartlemgf  34381