Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemmf 33863
Description: Lemma for eulerpart 33870. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemmf (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑜,𝑟,𝐴   𝑜,𝐹   𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑜,𝑟,𝐽,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,𝑜   𝑇,𝑜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemmf
StepHypRef Expression
1 bitsf1o 16383 . . . . 5 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
2 f1of 6823 . . . . 5 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
4 eulerpart.p . . . . . . . . 9 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
7 eulerpart.j . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8 eulerpart.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
9 eulerpart.h . . . . . . . . 9 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
10 eulerpart.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
11 eulerpart.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12 eulerpart.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12eulerpartlemt0 33857 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
1413biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
1514simp1d 1139 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → 𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ))
16 nn0ex 12475 . . . . . . 7 0 ∈ V
17 nnex 12215 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
1816, 17elmap 8861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1915, 18sylib 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
20 ssrab2 4069 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ⊆ ℕ
217, 20eqsstri 4008 . . . . 5 𝐽 ⊆ ℕ
22 fssres 6747 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐽 ⊆ ℕ) → (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0)
2319, 21, 22sylancl 585 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0)
24 fco2 6734 . . . 4 (((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0) → (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
253, 23, 24sylancr 586 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
2616pwex 5368 . . . . 5 𝒫 ℕ0 ∈ V
2726inex1 5307 . . . 4 (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∈ V
2817, 21ssexi 5312 . . . 4 𝐽 ∈ V
2927, 28elmap 8861 . . 3 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ↔ (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3025, 29sylibr 233 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽))
3114simp2d 1140 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
32 0nn0 12484 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
33 suppimacnv 8153 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇𝑅) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (V ∖ {0})))
3432, 33mpan2 688 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (V ∖ {0})))
35 fsuppeq 8154 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
3617, 32, 35mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3719, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3834, 37eqtr3d 2766 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ (V ∖ {0})) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3938eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
40 dfn2 12482 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
4140imaeq2i 6047 . . . . . . 7 (𝐴 “ ℕ) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))
4241eleq1i 2816 . . . . . 6 ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)
4339, 42bitr4di 289 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
4431, 43mpbird 257 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
45 resss 5996 . . . . 5 (𝐴𝐽) ⊆ 𝐴
46 cnvss 5862 . . . . 5 ((𝐴𝐽) ⊆ 𝐴(𝐴𝐽) ⊆ 𝐴)
47 imass1 6090 . . . . 5 ((𝐴𝐽) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0})))
4845, 46, 47mp2b 10 . . . 4 ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0}))
49 ssfi 9169 . . . 4 (((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0}))) → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
5044, 48, 49sylancl 585 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
51 cnvco 5875 . . . . . 6 (bits ∘ (𝐴𝐽)) = ((𝐴𝐽) ∘ bits)
5251imaeq1i 6046 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = (((𝐴𝐽) ∘ bits) “ (V ∖ {∅}))
53 imaco 6240 . . . . 5 (((𝐴𝐽) ∘ bits) “ (V ∖ {∅})) = ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅})))
5452, 53eqtri 2752 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅})))
55 ffun 6710 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Fun 𝐴)
56 funres 6580 . . . . . 6 (Fun 𝐴 → Fun (𝐴𝐽))
5719, 55, 563syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → Fun (𝐴𝐽))
58 ssv 3998 . . . . . . 7 (bits “ V) ⊆ V
59 ssdif 4131 . . . . . . 7 ((bits “ V) ⊆ V → ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (bits “ {∅})))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (bits “ {∅}))
61 bitsf 16365 . . . . . . 7 bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
62 ffun 6710 . . . . . . 7 (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → Fun bits)
63 difpreima 7056 . . . . . . 7 (Fun bits → (bits “ (V ∖ {∅})) = ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})))
6461, 62, 63mp2b 10 . . . . . 6 (bits “ (V ∖ {∅})) = ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅}))
65 bitsf1 16384 . . . . . . . . 9 bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
66 0z 12566 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
67 snssi 4803 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → {0} ⊆ ℤ)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ ℤ
69 f1imacnv 6839 . . . . . . . . 9 ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ {0} ⊆ ℤ) → (bits “ (bits “ {0})) = {0})
7065, 68, 69mp2an 689 . . . . . . . 8 (bits “ (bits “ {0})) = {0}
71 ffn 6707 . . . . . . . . . . . 12 (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → bits Fn ℤ)
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 bits Fn ℤ
73 fnsnfv 6960 . . . . . . . . . . 11 ((bits Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → {(bits‘0)} = (bits “ {0}))
7472, 66, 73mp2an 689 . . . . . . . . . 10 {(bits‘0)} = (bits “ {0})
75 0bits 16377 . . . . . . . . . . 11 (bits‘0) = ∅
7675sneqi 4631 . . . . . . . . . 10 {(bits‘0)} = {∅}
7774, 76eqtr3i 2754 . . . . . . . . 9 (bits “ {0}) = {∅}
7877imaeq2i 6047 . . . . . . . 8 (bits “ (bits “ {0})) = (bits “ {∅})
7970, 78eqtr3i 2754 . . . . . . 7 {0} = (bits “ {∅})
8079difeq2i 4111 . . . . . 6 (V ∖ {0}) = (V ∖ (bits “ {∅}))
8160, 64, 803sstr4i 4017 . . . . 5 (bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})
82 sspreima 7059 . . . . 5 ((Fun (𝐴𝐽) ∧ (bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})) → ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
8357, 81, 82sylancl 585 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
8454, 83eqsstrid 4022 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
85 ssfi 9169 . . 3 ((((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0}))) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
8650, 84, 85syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
87 oveq1 7408 . . . . 5 (𝑟 = (bits ∘ (𝐴𝐽)) → (𝑟 supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅))
8887eleq1d 2810 . . . 4 (𝑟 = (bits ∘ (𝐴𝐽)) → ((𝑟 supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
8988, 9elrab2 3678 . . 3 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
90 zex 12564 . . . . . 6 ℤ ∈ V
91 fex 7219 . . . . . 6 ((bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 ∧ ℤ ∈ V) → bits ∈ V)
9261, 90, 91mp2an 689 . . . . 5 bits ∈ V
93 resexg 6017 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴𝐽) ∈ V)
94 coexg 7913 . . . . 5 ((bits ∈ V ∧ (𝐴𝐽) ∈ V) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V)
9592, 93, 94sylancr 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V)
96 0ex 5297 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
97 suppimacnv 8153 . . . . . . 7 (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
9896, 97mpan2 688 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
9998eleq1d 2810 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin))
10099anbi2d 628 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10195, 100syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10289, 101bitrid 283 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10330, 86, 102mpbir2and 710 1 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2701  wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466  cdif 3937  cin 3939  wss 3940  c0 4314  𝒫 cpw 4594  {csn 4620   class class class wbr 5138  {copab 5200  cmpt 5221  ccnv 5665  cres 5668  cima 5669  ccom 5670  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  wf 6529  1-1wf1 6530  1-1-ontowf1o 6532  cfv 6533  (class class class)co 7401  cmpo 7403   supp csupp 8140  m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  cle 11246  cn 12209  2c2 12264  0cn0 12469  cz 12555  cexp 14024  Σcsu 15629  cdvds 16194  bitscbits 16357  𝟭cind 33497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-bits 16360
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  33864  eulerpartlemgf  33867
  Copyright terms: Public domain W3C validator