Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemmf 31925
Description: Lemma for eulerpart 31932. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemmf (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑜,𝑟,𝐴   𝑜,𝐹   𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑜,𝑟,𝐽,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,𝑜   𝑇,𝑜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemmf
StepHypRef Expression
1 bitsf1o 15901 . . . . 5 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
2 f1of 6631 . . . . 5 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
4 eulerpart.p . . . . . . . . 9 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
7 eulerpart.j . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8 eulerpart.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
9 eulerpart.h . . . . . . . . 9 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
10 eulerpart.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
11 eulerpart.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12 eulerpart.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12eulerpartlemt0 31919 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
1413biimpi 219 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
1514simp1d 1143 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → 𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ))
16 nn0ex 11995 . . . . . . 7 0 ∈ V
17 nnex 11735 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
1816, 17elmap 8494 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1915, 18sylib 221 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
20 ssrab2 3979 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ⊆ ℕ
217, 20eqsstri 3921 . . . . 5 𝐽 ⊆ ℕ
22 fssres 6555 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐽 ⊆ ℕ) → (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0)
2319, 21, 22sylancl 589 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0)
24 fco2 6542 . . . 4 (((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0) → (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
253, 23, 24sylancr 590 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
2616pwex 5257 . . . . 5 𝒫 ℕ0 ∈ V
2726inex1 5195 . . . 4 (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∈ V
2817, 21ssexi 5200 . . . 4 𝐽 ∈ V
2927, 28elmap 8494 . . 3 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ↔ (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3025, 29sylibr 237 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽))
3114simp2d 1144 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
32 0nn0 12004 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
33 suppimacnv 7882 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇𝑅) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (V ∖ {0})))
3432, 33mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (V ∖ {0})))
35 frnsuppeq 7883 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
3617, 32, 35mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3719, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3834, 37eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ (V ∖ {0})) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3938eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
40 dfn2 12002 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
4140imaeq2i 5911 . . . . . . 7 (𝐴 “ ℕ) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))
4241eleq1i 2824 . . . . . 6 ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)
4339, 42bitr4di 292 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
4431, 43mpbird 260 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
45 resss 5860 . . . . 5 (𝐴𝐽) ⊆ 𝐴
46 cnvss 5725 . . . . 5 ((𝐴𝐽) ⊆ 𝐴(𝐴𝐽) ⊆ 𝐴)
47 imass1 5948 . . . . 5 ((𝐴𝐽) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0})))
4845, 46, 47mp2b 10 . . . 4 ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0}))
49 ssfi 8785 . . . 4 (((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0}))) → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
5044, 48, 49sylancl 589 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
51 cnvco 5738 . . . . . 6 (bits ∘ (𝐴𝐽)) = ((𝐴𝐽) ∘ bits)
5251imaeq1i 5910 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = (((𝐴𝐽) ∘ bits) “ (V ∖ {∅}))
53 imaco 6094 . . . . 5 (((𝐴𝐽) ∘ bits) “ (V ∖ {∅})) = ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅})))
5452, 53eqtri 2762 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅})))
55 ffun 6518 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Fun 𝐴)
56 funres 6392 . . . . . 6 (Fun 𝐴 → Fun (𝐴𝐽))
5719, 55, 563syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → Fun (𝐴𝐽))
58 ssv 3911 . . . . . . 7 (bits “ V) ⊆ V
59 ssdif 4040 . . . . . . 7 ((bits “ V) ⊆ V → ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (bits “ {∅})))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (bits “ {∅}))
61 bitsf 15883 . . . . . . 7 bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
62 ffun 6518 . . . . . . 7 (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → Fun bits)
63 difpreima 6855 . . . . . . 7 (Fun bits → (bits “ (V ∖ {∅})) = ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})))
6461, 62, 63mp2b 10 . . . . . 6 (bits “ (V ∖ {∅})) = ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅}))
65 bitsf1 15902 . . . . . . . . 9 bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
66 0z 12086 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
67 snssi 4706 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → {0} ⊆ ℤ)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ ℤ
69 f1imacnv 6647 . . . . . . . . 9 ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ {0} ⊆ ℤ) → (bits “ (bits “ {0})) = {0})
7065, 68, 69mp2an 692 . . . . . . . 8 (bits “ (bits “ {0})) = {0}
71 ffn 6515 . . . . . . . . . . . 12 (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → bits Fn ℤ)
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 bits Fn ℤ
73 fnsnfv 6760 . . . . . . . . . . 11 ((bits Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → {(bits‘0)} = (bits “ {0}))
7472, 66, 73mp2an 692 . . . . . . . . . 10 {(bits‘0)} = (bits “ {0})
75 0bits 15895 . . . . . . . . . . 11 (bits‘0) = ∅
7675sneqi 4537 . . . . . . . . . 10 {(bits‘0)} = {∅}
7774, 76eqtr3i 2764 . . . . . . . . 9 (bits “ {0}) = {∅}
7877imaeq2i 5911 . . . . . . . 8 (bits “ (bits “ {0})) = (bits “ {∅})
7970, 78eqtr3i 2764 . . . . . . 7 {0} = (bits “ {∅})
8079difeq2i 4020 . . . . . 6 (V ∖ {0}) = (V ∖ (bits “ {∅}))
8160, 64, 803sstr4i 3930 . . . . 5 (bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})
82 sspreima 6858 . . . . 5 ((Fun (𝐴𝐽) ∧ (bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})) → ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
8357, 81, 82sylancl 589 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
8454, 83eqsstrid 3935 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
85 ssfi 8785 . . 3 ((((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0}))) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
8650, 84, 85syl2anc 587 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
87 oveq1 7190 . . . . 5 (𝑟 = (bits ∘ (𝐴𝐽)) → (𝑟 supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅))
8887eleq1d 2818 . . . 4 (𝑟 = (bits ∘ (𝐴𝐽)) → ((𝑟 supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
8988, 9elrab2 3596 . . 3 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
90 zex 12084 . . . . . 6 ℤ ∈ V
91 fex 7012 . . . . . 6 ((bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 ∧ ℤ ∈ V) → bits ∈ V)
9261, 90, 91mp2an 692 . . . . 5 bits ∈ V
93 resexg 5881 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴𝐽) ∈ V)
94 coexg 7673 . . . . 5 ((bits ∈ V ∧ (𝐴𝐽) ∈ V) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V)
9592, 93, 94sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V)
96 0ex 5185 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
97 suppimacnv 7882 . . . . . . 7 (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
9896, 97mpan2 691 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
9998eleq1d 2818 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin))
10099anbi2d 632 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10195, 100syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10289, 101syl5bb 286 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10330, 86, 102mpbir2and 713 1 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  {cab 2717  wral 3054  {crab 3058  Vcvv 3400  cdif 3850  cin 3852  wss 3853  c0 4221  𝒫 cpw 4498  {csn 4526   class class class wbr 5040  {copab 5102  cmpt 5120  ccnv 5534  cres 5537  cima 5538  ccom 5539  Fun wfun 6344   Fn wfn 6345  wf 6346  1-1wf1 6347  1-1-ontowf1o 6349  cfv 6350  (class class class)co 7183  cmpo 7185   supp csupp 7869  m cmap 8450  Fincfn 8568  0cc0 10628  1c1 10629   · cmul 10633  cle 10767  cn 11729  2c2 11784  0cn0 11989  cz 12075  cexp 13534  Σcsu 15148  cdvds 15712  bitscbits 15875  𝟭cind 31561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-oadd 8148  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-dju 9416  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-n0 11990  df-xnn0 12062  df-z 12076  df-uz 12338  df-rp 12486  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-clim 14948  df-sum 15149  df-dvds 15713  df-bits 15878
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  31926  eulerpartlemgf  31929
  Copyright terms: Public domain W3C validator