Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemmf 34377
Description: Lemma for eulerpart 34384. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemmf (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑜,𝑟,𝐴   𝑜,𝐹   𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑜,𝑟,𝐽,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,𝑜   𝑇,𝑜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemmf
StepHypRef Expression
1 bitsf1o 16482 . . . . 5 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
2 f1of 6848 . . . . 5 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
4 eulerpart.p . . . . . . . . 9 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
7 eulerpart.j . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8 eulerpart.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
9 eulerpart.h . . . . . . . . 9 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
10 eulerpart.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
11 eulerpart.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12 eulerpart.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12eulerpartlemt0 34371 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
1413biimpi 216 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
1514simp1d 1143 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → 𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ))
16 nn0ex 12532 . . . . . . 7 0 ∈ V
17 nnex 12272 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
1816, 17elmap 8911 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1915, 18sylib 218 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
20 ssrab2 4080 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ⊆ ℕ
217, 20eqsstri 4030 . . . . 5 𝐽 ⊆ ℕ
22 fssres 6774 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐽 ⊆ ℕ) → (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0)
2319, 21, 22sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0)
24 fco2 6762 . . . 4 (((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0) → (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
253, 23, 24sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
2616pwex 5380 . . . . 5 𝒫 ℕ0 ∈ V
2726inex1 5317 . . . 4 (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∈ V
2817, 21ssexi 5322 . . . 4 𝐽 ∈ V
2927, 28elmap 8911 . . 3 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ↔ (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3025, 29sylibr 234 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽))
3114simp2d 1144 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
32 0nn0 12541 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
33 suppimacnv 8199 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇𝑅) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (V ∖ {0})))
3432, 33mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (V ∖ {0})))
35 fsuppeq 8200 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
3617, 32, 35mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3719, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3834, 37eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ (V ∖ {0})) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3938eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
40 dfn2 12539 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
4140imaeq2i 6076 . . . . . . 7 (𝐴 “ ℕ) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))
4241eleq1i 2832 . . . . . 6 ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)
4339, 42bitr4di 289 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
4431, 43mpbird 257 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
45 resss 6019 . . . . 5 (𝐴𝐽) ⊆ 𝐴
46 cnvss 5883 . . . . 5 ((𝐴𝐽) ⊆ 𝐴(𝐴𝐽) ⊆ 𝐴)
47 imass1 6119 . . . . 5 ((𝐴𝐽) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0})))
4845, 46, 47mp2b 10 . . . 4 ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0}))
49 ssfi 9213 . . . 4 (((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0}))) → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
5044, 48, 49sylancl 586 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
51 cnvco 5896 . . . . . 6 (bits ∘ (𝐴𝐽)) = ((𝐴𝐽) ∘ bits)
5251imaeq1i 6075 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = (((𝐴𝐽) ∘ bits) “ (V ∖ {∅}))
53 imaco 6271 . . . . 5 (((𝐴𝐽) ∘ bits) “ (V ∖ {∅})) = ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅})))
5452, 53eqtri 2765 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅})))
55 ffun 6739 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Fun 𝐴)
56 funres 6608 . . . . . 6 (Fun 𝐴 → Fun (𝐴𝐽))
5719, 55, 563syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → Fun (𝐴𝐽))
58 ssv 4008 . . . . . . 7 (bits “ V) ⊆ V
59 ssdif 4144 . . . . . . 7 ((bits “ V) ⊆ V → ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (bits “ {∅})))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (bits “ {∅}))
61 bitsf 16464 . . . . . . 7 bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
62 ffun 6739 . . . . . . 7 (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → Fun bits)
63 difpreima 7085 . . . . . . 7 (Fun bits → (bits “ (V ∖ {∅})) = ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})))
6461, 62, 63mp2b 10 . . . . . 6 (bits “ (V ∖ {∅})) = ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅}))
65 bitsf1 16483 . . . . . . . . 9 bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
66 0z 12624 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
67 snssi 4808 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → {0} ⊆ ℤ)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ ℤ
69 f1imacnv 6864 . . . . . . . . 9 ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ {0} ⊆ ℤ) → (bits “ (bits “ {0})) = {0})
7065, 68, 69mp2an 692 . . . . . . . 8 (bits “ (bits “ {0})) = {0}
71 ffn 6736 . . . . . . . . . . . 12 (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → bits Fn ℤ)
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 bits Fn ℤ
73 fnsnfv 6988 . . . . . . . . . . 11 ((bits Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → {(bits‘0)} = (bits “ {0}))
7472, 66, 73mp2an 692 . . . . . . . . . 10 {(bits‘0)} = (bits “ {0})
75 0bits 16476 . . . . . . . . . . 11 (bits‘0) = ∅
7675sneqi 4637 . . . . . . . . . 10 {(bits‘0)} = {∅}
7774, 76eqtr3i 2767 . . . . . . . . 9 (bits “ {0}) = {∅}
7877imaeq2i 6076 . . . . . . . 8 (bits “ (bits “ {0})) = (bits “ {∅})
7970, 78eqtr3i 2767 . . . . . . 7 {0} = (bits “ {∅})
8079difeq2i 4123 . . . . . 6 (V ∖ {0}) = (V ∖ (bits “ {∅}))
8160, 64, 803sstr4i 4035 . . . . 5 (bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})
82 sspreima 7088 . . . . 5 ((Fun (𝐴𝐽) ∧ (bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})) → ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
8357, 81, 82sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
8454, 83eqsstrid 4022 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
85 ssfi 9213 . . 3 ((((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0}))) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
8650, 84, 85syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
87 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑟 = (bits ∘ (𝐴𝐽)) → (𝑟 supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅))
8887eleq1d 2826 . . . 4 (𝑟 = (bits ∘ (𝐴𝐽)) → ((𝑟 supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
8988, 9elrab2 3695 . . 3 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
90 zex 12622 . . . . . 6 ℤ ∈ V
91 fex 7246 . . . . . 6 ((bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 ∧ ℤ ∈ V) → bits ∈ V)
9261, 90, 91mp2an 692 . . . . 5 bits ∈ V
93 resexg 6045 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴𝐽) ∈ V)
94 coexg 7951 . . . . 5 ((bits ∈ V ∧ (𝐴𝐽) ∈ V) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V)
9592, 93, 94sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V)
96 0ex 5307 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
97 suppimacnv 8199 . . . . . . 7 (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
9896, 97mpan2 691 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
9998eleq1d 2826 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin))
10099anbi2d 630 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10195, 100syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10289, 101bitrid 283 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10330, 86, 102mpbir2and 713 1 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  {copab 5205  cmpt 5225  ccnv 5684  cres 5687  cima 5688  ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cle 11296  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cexp 14102  Σcsu 15722  cdvds 16290  bitscbits 16456  𝟭cind 32835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-bits 16459
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  34378  eulerpartlemgf  34381
  Copyright terms: Public domain W3C validator