Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemmf 32975
Description: Lemma for eulerpart 32982. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemmf (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑜,𝑟,𝐴   𝑜,𝐹   𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑜,𝑟,𝐽,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,𝑜   𝑇,𝑜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemmf
StepHypRef Expression
1 bitsf1o 16325 . . . . 5 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
2 f1of 6784 . . . . 5 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
4 eulerpart.p . . . . . . . . 9 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
7 eulerpart.j . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8 eulerpart.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
9 eulerpart.h . . . . . . . . 9 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
10 eulerpart.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
11 eulerpart.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12 eulerpart.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12eulerpartlemt0 32969 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
1413biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ 𝐽))
1514simp1d 1142 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → 𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ))
16 nn0ex 12419 . . . . . . 7 0 ∈ V
17 nnex 12159 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
1816, 17elmap 8809 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1915, 18sylib 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
20 ssrab2 4037 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ⊆ ℕ
217, 20eqsstri 3978 . . . . 5 𝐽 ⊆ ℕ
22 fssres 6708 . . . . 5 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐽 ⊆ ℕ) → (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0)
2319, 21, 22sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0)
24 fco2 6695 . . . 4 (((bits ↾ ℕ0):ℕ0⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴𝐽):𝐽⟶ℕ0) → (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
253, 23, 24sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
2616pwex 5335 . . . . 5 𝒫 ℕ0 ∈ V
2726inex1 5274 . . . 4 (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∈ V
2817, 21ssexi 5279 . . . 4 𝐽 ∈ V
2927, 28elmap 8809 . . 3 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ↔ (bits ∘ (𝐴𝐽)):𝐽⟶(𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3025, 29sylibr 233 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽))
3114simp2d 1143 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
32 0nn0 12428 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
33 suppimacnv 8105 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇𝑅) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (V ∖ {0})))
3432, 33mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (V ∖ {0})))
35 fsuppeq 8106 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
3617, 32, 35mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3719, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3834, 37eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ (V ∖ {0})) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})))
3938eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
40 dfn2 12426 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
4140imaeq2i 6011 . . . . . . 7 (𝐴 “ ℕ) = (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0}))
4241eleq1i 2828 . . . . . 6 ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)
4339, 42bitr4di 288 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
4431, 43mpbird 256 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
45 resss 5962 . . . . 5 (𝐴𝐽) ⊆ 𝐴
46 cnvss 5828 . . . . 5 ((𝐴𝐽) ⊆ 𝐴(𝐴𝐽) ⊆ 𝐴)
47 imass1 6053 . . . . 5 ((𝐴𝐽) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0})))
4845, 46, 47mp2b 10 . . . 4 ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0}))
49 ssfi 9117 . . . 4 (((𝐴 “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐴 “ (V ∖ {0}))) → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
5044, 48, 49sylancl 586 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin)
51 cnvco 5841 . . . . . 6 (bits ∘ (𝐴𝐽)) = ((𝐴𝐽) ∘ bits)
5251imaeq1i 6010 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = (((𝐴𝐽) ∘ bits) “ (V ∖ {∅}))
53 imaco 6203 . . . . 5 (((𝐴𝐽) ∘ bits) “ (V ∖ {∅})) = ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅})))
5452, 53eqtri 2764 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) = ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅})))
55 ffun 6671 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Fun 𝐴)
56 funres 6543 . . . . . 6 (Fun 𝐴 → Fun (𝐴𝐽))
5719, 55, 563syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → Fun (𝐴𝐽))
58 ssv 3968 . . . . . . 7 (bits “ V) ⊆ V
59 ssdif 4099 . . . . . . 7 ((bits “ V) ⊆ V → ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (bits “ {∅})))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})) ⊆ (V ∖ (bits “ {∅}))
61 bitsf 16307 . . . . . . 7 bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
62 ffun 6671 . . . . . . 7 (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → Fun bits)
63 difpreima 7015 . . . . . . 7 (Fun bits → (bits “ (V ∖ {∅})) = ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅})))
6461, 62, 63mp2b 10 . . . . . 6 (bits “ (V ∖ {∅})) = ((bits “ V) ∖ (bits “ {∅}))
65 bitsf1 16326 . . . . . . . . 9 bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
66 0z 12510 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
67 snssi 4768 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → {0} ⊆ ℤ)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ ℤ
69 f1imacnv 6800 . . . . . . . . 9 ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ {0} ⊆ ℤ) → (bits “ (bits “ {0})) = {0})
7065, 68, 69mp2an 690 . . . . . . . 8 (bits “ (bits “ {0})) = {0}
71 ffn 6668 . . . . . . . . . . . 12 (bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 → bits Fn ℤ)
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 bits Fn ℤ
73 fnsnfv 6920 . . . . . . . . . . 11 ((bits Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → {(bits‘0)} = (bits “ {0}))
7472, 66, 73mp2an 690 . . . . . . . . . 10 {(bits‘0)} = (bits “ {0})
75 0bits 16319 . . . . . . . . . . 11 (bits‘0) = ∅
7675sneqi 4597 . . . . . . . . . 10 {(bits‘0)} = {∅}
7774, 76eqtr3i 2766 . . . . . . . . 9 (bits “ {0}) = {∅}
7877imaeq2i 6011 . . . . . . . 8 (bits “ (bits “ {0})) = (bits “ {∅})
7970, 78eqtr3i 2766 . . . . . . 7 {0} = (bits “ {∅})
8079difeq2i 4079 . . . . . 6 (V ∖ {0}) = (V ∖ (bits “ {∅}))
8160, 64, 803sstr4i 3987 . . . . 5 (bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})
82 sspreima 7018 . . . . 5 ((Fun (𝐴𝐽) ∧ (bits “ (V ∖ {∅})) ⊆ (V ∖ {0})) → ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
8357, 81, 82sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐴𝐽) “ (bits “ (V ∖ {∅}))) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
8454, 83eqsstrid 3992 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})))
85 ssfi 9117 . . 3 ((((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0})) ∈ Fin ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴𝐽) “ (V ∖ {0}))) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
8650, 84, 85syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)
87 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑟 = (bits ∘ (𝐴𝐽)) → (𝑟 supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅))
8887eleq1d 2822 . . . 4 (𝑟 = (bits ∘ (𝐴𝐽)) → ((𝑟 supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
8988, 9elrab2 3648 . . 3 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin))
90 zex 12508 . . . . . 6 ℤ ∈ V
91 fex 7176 . . . . . 6 ((bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0 ∧ ℤ ∈ V) → bits ∈ V)
9261, 90, 91mp2an 690 . . . . 5 bits ∈ V
93 resexg 5983 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐴𝐽) ∈ V)
94 coexg 7866 . . . . 5 ((bits ∈ V ∧ (𝐴𝐽) ∈ V) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V)
9592, 93, 94sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V)
96 0ex 5264 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
97 suppimacnv 8105 . . . . . . 7 (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
9896, 97mpan2 689 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) = ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})))
9998eleq1d 2822 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin))
10099anbi2d 629 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ V → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10195, 100syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) supp ∅) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10289, 101bitrid 282 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴𝐽)) “ (V ∖ {∅})) ∈ Fin)))
10330, 86, 102mpbir2and 711 1 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   class class class wbr 5105  {copab 5167  cmpt 5188  ccnv 5632  cres 5635  cima 5636  ccom 5637  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1wf1 6493  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359   supp csupp 8092  m cmap 8765  Fincfn 8883  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cle 11190  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cexp 13967  Σcsu 15570  cdvds 16136  bitscbits 16299  𝟭cind 32609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-bits 16302
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  32976  eulerpartlemgf  32979
  Copyright terms: Public domain W3C validator