Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemmf 33362
Description: Lemma for eulerpart 33369. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemmf (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘œ,π‘Ÿ,𝐴   π‘œ,𝐹   𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽   𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘œ,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,π‘œ   𝑇,π‘œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ)   𝐽(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemmf
StepHypRef Expression
1 bitsf1o 16382 . . . . 5 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
2 f1of 6830 . . . . 5 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bits β†Ύ β„•0):β„•0⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (bits β†Ύ β„•0):β„•0⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
4 eulerpart.p . . . . . . . . 9 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
7 eulerpart.j . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
8 eulerpart.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
9 eulerpart.h . . . . . . . . 9 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
10 eulerpart.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
11 eulerpart.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
12 eulerpart.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12eulerpartlemt0 33356 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
1413biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
1514simp1d 1142 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•))
16 nn0ex 12474 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
17 nnex 12214 . . . . . . 7 β„• ∈ V
1816, 17elmap 8861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
1915, 18sylib 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
20 ssrab2 4076 . . . . . 6 {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧} βŠ† β„•
217, 20eqsstri 4015 . . . . 5 𝐽 βŠ† β„•
22 fssres 6754 . . . . 5 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝐽 βŠ† β„•) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
2319, 21, 22sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
24 fco2 6741 . . . 4 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)):𝐽⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
253, 23, 24sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)):𝐽⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
2616pwex 5377 . . . . 5 𝒫 β„•0 ∈ V
2726inex1 5316 . . . 4 (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∈ V
2817, 21ssexi 5321 . . . 4 𝐽 ∈ V
2927, 28elmap 8861 . . 3 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ↔ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)):𝐽⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
3025, 29sylibr 233 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽))
3114simp2d 1143 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin)
32 0nn0 12483 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
33 suppimacnv 8155 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})))
3432, 33mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})))
35 fsuppeq 8156 . . . . . . . . . 10 ((β„• ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0}))))
3617, 32, 35mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})))
3719, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})))
3834, 37eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})))
3938eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})) ∈ Fin))
40 dfn2 12481 . . . . . . . 8 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
4140imaeq2i 6055 . . . . . . 7 (◑𝐴 β€œ β„•) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0}))
4241eleq1i 2824 . . . . . 6 ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})) ∈ Fin)
4339, 42bitr4di 288 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
4431, 43mpbird 256 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin)
45 resss 6004 . . . . 5 (𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† 𝐴
46 cnvss 5870 . . . . 5 ((𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† 𝐴 β†’ β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† ◑𝐴)
47 imass1 6097 . . . . 5 (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† ◑𝐴 β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) βŠ† (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})))
4845, 46, 47mp2b 10 . . . 4 (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) βŠ† (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0}))
49 ssfi 9169 . . . 4 (((◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ∧ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) βŠ† (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0}))) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin)
5044, 48, 49sylancl 586 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin)
51 cnvco 5883 . . . . . 6 β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) = (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) ∘ β—‘bits)
5251imaeq1i 6054 . . . . 5 (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = ((β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) ∘ β—‘bits) β€œ (V βˆ– {βˆ…}))
53 imaco 6247 . . . . 5 ((β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) ∘ β—‘bits) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
5452, 53eqtri 2760 . . . 4 (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
55 ffun 6717 . . . . . 6 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Fun 𝐴)
56 funres 6587 . . . . . 6 (Fun 𝐴 β†’ Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽))
5719, 55, 563syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽))
58 ssv 4005 . . . . . . 7 (β—‘bits β€œ V) βŠ† V
59 ssdif 4138 . . . . . . 7 ((β—‘bits β€œ V) βŠ† V β†’ ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…}))
61 bitsf 16364 . . . . . . 7 bits:β„€βŸΆπ’« β„•0
62 ffun 6717 . . . . . . 7 (bits:β„€βŸΆπ’« β„•0 β†’ Fun bits)
63 difpreima 7063 . . . . . . 7 (Fun bits β†’ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})))
6461, 62, 63mp2b 10 . . . . . 6 (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…}))
65 bitsf1 16383 . . . . . . . . 9 bits:℀–1-1→𝒫 β„•0
66 0z 12565 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„€
67 snssi 4810 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ β„€ β†’ {0} βŠ† β„€)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† β„€
69 f1imacnv 6846 . . . . . . . . 9 ((bits:℀–1-1→𝒫 β„•0 ∧ {0} βŠ† β„€) β†’ (β—‘bits β€œ (bits β€œ {0})) = {0})
7065, 68, 69mp2an 690 . . . . . . . 8 (β—‘bits β€œ (bits β€œ {0})) = {0}
71 ffn 6714 . . . . . . . . . . . 12 (bits:β„€βŸΆπ’« β„•0 β†’ bits Fn β„€)
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 bits Fn β„€
73 fnsnfv 6967 . . . . . . . . . . 11 ((bits Fn β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ {(bitsβ€˜0)} = (bits β€œ {0}))
7472, 66, 73mp2an 690 . . . . . . . . . 10 {(bitsβ€˜0)} = (bits β€œ {0})
75 0bits 16376 . . . . . . . . . . 11 (bitsβ€˜0) = βˆ…
7675sneqi 4638 . . . . . . . . . 10 {(bitsβ€˜0)} = {βˆ…}
7774, 76eqtr3i 2762 . . . . . . . . 9 (bits β€œ {0}) = {βˆ…}
7877imaeq2i 6055 . . . . . . . 8 (β—‘bits β€œ (bits β€œ {0})) = (β—‘bits β€œ {βˆ…})
7970, 78eqtr3i 2762 . . . . . . 7 {0} = (β—‘bits β€œ {βˆ…})
8079difeq2i 4118 . . . . . 6 (V βˆ– {0}) = (V βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…}))
8160, 64, 803sstr4i 4024 . . . . 5 (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– {0})
82 sspreima 7066 . . . . 5 ((Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∧ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…}))) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})))
8357, 81, 82sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…}))) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})))
8454, 83eqsstrid 4029 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})))
85 ssfi 9169 . . 3 (((β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0}))) β†’ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)
8650, 84, 85syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)
87 oveq1 7412 . . . . 5 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘Ÿ supp βˆ…) = ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…))
8887eleq1d 2818 . . . 4 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ ((π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin))
8988, 9elrab2 3685 . . 3 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin))
90 zex 12563 . . . . . 6 β„€ ∈ V
91 fex 7224 . . . . . 6 ((bits:β„€βŸΆπ’« β„•0 ∧ β„€ ∈ V) β†’ bits ∈ V)
9261, 90, 91mp2an 690 . . . . 5 bits ∈ V
93 resexg 6025 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ V)
94 coexg 7916 . . . . 5 ((bits ∈ V ∧ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ V) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V)
9592, 93, 94sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V)
96 0ex 5306 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
97 suppimacnv 8155 . . . . . . 7 (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) = (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
9896, 97mpan2 689 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) = (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
9998eleq1d 2818 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V β†’ (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin ↔ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin))
10099anbi2d 629 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V β†’ (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)))
10195, 100syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)))
10289, 101bitrid 282 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)))
10330, 86, 102mpbir2and 711 1 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147  {copab 5209   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628   βˆ₯ cdvds 16193  bitscbits 16356  πŸ­cind 32996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-bits 16359
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  33363  eulerpartlemgf  33366
  Copyright terms: Public domain W3C validator