Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemmf 33669
Description: Lemma for eulerpart 33676. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemmf (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘œ,π‘Ÿ,𝐴   π‘œ,𝐹   𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽   𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘œ,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,π‘œ   𝑇,π‘œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ)   𝐽(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemmf
StepHypRef Expression
1 bitsf1o 16391 . . . . 5 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
2 f1of 6834 . . . . 5 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bits β†Ύ β„•0):β„•0⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (bits β†Ύ β„•0):β„•0⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
4 eulerpart.p . . . . . . . . 9 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
7 eulerpart.j . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
8 eulerpart.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
9 eulerpart.h . . . . . . . . 9 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
10 eulerpart.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
11 eulerpart.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
12 eulerpart.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12eulerpartlemt0 33663 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
1413biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
1514simp1d 1141 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•))
16 nn0ex 12483 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
17 nnex 12223 . . . . . . 7 β„• ∈ V
1816, 17elmap 8868 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
1915, 18sylib 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
20 ssrab2 4078 . . . . . 6 {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧} βŠ† β„•
217, 20eqsstri 4017 . . . . 5 𝐽 βŠ† β„•
22 fssres 6758 . . . . 5 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝐽 βŠ† β„•) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
2319, 21, 22sylancl 585 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
24 fco2 6745 . . . 4 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)):𝐽⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
253, 23, 24sylancr 586 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)):𝐽⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
2616pwex 5379 . . . . 5 𝒫 β„•0 ∈ V
2726inex1 5318 . . . 4 (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∈ V
2817, 21ssexi 5323 . . . 4 𝐽 ∈ V
2927, 28elmap 8868 . . 3 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ↔ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)):𝐽⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
3025, 29sylibr 233 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽))
3114simp2d 1142 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin)
32 0nn0 12492 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
33 suppimacnv 8162 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})))
3432, 33mpan2 688 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})))
35 fsuppeq 8163 . . . . . . . . . 10 ((β„• ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0}))))
3617, 32, 35mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})))
3719, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})))
3834, 37eqtr3d 2773 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})))
3938eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})) ∈ Fin))
40 dfn2 12490 . . . . . . . 8 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
4140imaeq2i 6058 . . . . . . 7 (◑𝐴 β€œ β„•) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0}))
4241eleq1i 2823 . . . . . 6 ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})) ∈ Fin)
4339, 42bitr4di 288 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
4431, 43mpbird 256 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin)
45 resss 6007 . . . . 5 (𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† 𝐴
46 cnvss 5873 . . . . 5 ((𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† 𝐴 β†’ β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† ◑𝐴)
47 imass1 6101 . . . . 5 (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† ◑𝐴 β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) βŠ† (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})))
4845, 46, 47mp2b 10 . . . 4 (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) βŠ† (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0}))
49 ssfi 9176 . . . 4 (((◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ∧ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) βŠ† (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0}))) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin)
5044, 48, 49sylancl 585 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin)
51 cnvco 5886 . . . . . 6 β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) = (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) ∘ β—‘bits)
5251imaeq1i 6057 . . . . 5 (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = ((β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) ∘ β—‘bits) β€œ (V βˆ– {βˆ…}))
53 imaco 6251 . . . . 5 ((β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) ∘ β—‘bits) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
5452, 53eqtri 2759 . . . 4 (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
55 ffun 6721 . . . . . 6 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Fun 𝐴)
56 funres 6591 . . . . . 6 (Fun 𝐴 β†’ Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽))
5719, 55, 563syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽))
58 ssv 4007 . . . . . . 7 (β—‘bits β€œ V) βŠ† V
59 ssdif 4140 . . . . . . 7 ((β—‘bits β€œ V) βŠ† V β†’ ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…}))
61 bitsf 16373 . . . . . . 7 bits:β„€βŸΆπ’« β„•0
62 ffun 6721 . . . . . . 7 (bits:β„€βŸΆπ’« β„•0 β†’ Fun bits)
63 difpreima 7067 . . . . . . 7 (Fun bits β†’ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})))
6461, 62, 63mp2b 10 . . . . . 6 (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…}))
65 bitsf1 16392 . . . . . . . . 9 bits:℀–1-1→𝒫 β„•0
66 0z 12574 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„€
67 snssi 4812 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ β„€ β†’ {0} βŠ† β„€)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† β„€
69 f1imacnv 6850 . . . . . . . . 9 ((bits:℀–1-1→𝒫 β„•0 ∧ {0} βŠ† β„€) β†’ (β—‘bits β€œ (bits β€œ {0})) = {0})
7065, 68, 69mp2an 689 . . . . . . . 8 (β—‘bits β€œ (bits β€œ {0})) = {0}
71 ffn 6718 . . . . . . . . . . . 12 (bits:β„€βŸΆπ’« β„•0 β†’ bits Fn β„€)
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 bits Fn β„€
73 fnsnfv 6971 . . . . . . . . . . 11 ((bits Fn β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ {(bitsβ€˜0)} = (bits β€œ {0}))
7472, 66, 73mp2an 689 . . . . . . . . . 10 {(bitsβ€˜0)} = (bits β€œ {0})
75 0bits 16385 . . . . . . . . . . 11 (bitsβ€˜0) = βˆ…
7675sneqi 4640 . . . . . . . . . 10 {(bitsβ€˜0)} = {βˆ…}
7774, 76eqtr3i 2761 . . . . . . . . 9 (bits β€œ {0}) = {βˆ…}
7877imaeq2i 6058 . . . . . . . 8 (β—‘bits β€œ (bits β€œ {0})) = (β—‘bits β€œ {βˆ…})
7970, 78eqtr3i 2761 . . . . . . 7 {0} = (β—‘bits β€œ {βˆ…})
8079difeq2i 4120 . . . . . 6 (V βˆ– {0}) = (V βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…}))
8160, 64, 803sstr4i 4026 . . . . 5 (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– {0})
82 sspreima 7070 . . . . 5 ((Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∧ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…}))) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})))
8357, 81, 82sylancl 585 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…}))) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})))
8454, 83eqsstrid 4031 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})))
85 ssfi 9176 . . 3 (((β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0}))) β†’ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)
8650, 84, 85syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)
87 oveq1 7419 . . . . 5 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘Ÿ supp βˆ…) = ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…))
8887eleq1d 2817 . . . 4 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ ((π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin))
8988, 9elrab2 3687 . . 3 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin))
90 zex 12572 . . . . . 6 β„€ ∈ V
91 fex 7231 . . . . . 6 ((bits:β„€βŸΆπ’« β„•0 ∧ β„€ ∈ V) β†’ bits ∈ V)
9261, 90, 91mp2an 689 . . . . 5 bits ∈ V
93 resexg 6028 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ V)
94 coexg 7923 . . . . 5 ((bits ∈ V ∧ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ V) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V)
9592, 93, 94sylancr 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V)
96 0ex 5308 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
97 suppimacnv 8162 . . . . . . 7 (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) = (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
9896, 97mpan2 688 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) = (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
9998eleq1d 2817 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V β†’ (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin ↔ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin))
10099anbi2d 628 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V β†’ (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)))
10195, 100syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)))
10289, 101bitrid 282 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)))
10330, 86, 102mpbir2and 710 1 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149  {copab 5211   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   supp csupp 8149   ↑m cmap 8823  Fincfn 8942  0cc0 11113  1c1 11114   Β· cmul 11118   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β†‘cexp 14032  Ξ£csu 15637   βˆ₯ cdvds 16202  bitscbits 16365  πŸ­cind 33303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-bits 16368
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  33670  eulerpartlemgf  33673
  Copyright terms: Public domain W3C validator