Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemmf 33015
Description: Lemma for eulerpart 33022. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemmf (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘œ,π‘Ÿ,𝐴   π‘œ,𝐹   𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽   𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘œ,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,π‘œ   𝑇,π‘œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ)   𝐽(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)

Proof of Theorem eulerpartlemmf
StepHypRef Expression
1 bitsf1o 16332 . . . . 5 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
2 f1of 6789 . . . . 5 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bits β†Ύ β„•0):β„•0⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (bits β†Ύ β„•0):β„•0⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
4 eulerpart.p . . . . . . . . 9 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
5 eulerpart.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
6 eulerpart.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
7 eulerpart.j . . . . . . . . 9 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
8 eulerpart.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
9 eulerpart.h . . . . . . . . 9 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
10 eulerpart.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
11 eulerpart.r . . . . . . . . 9 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
12 eulerpart.t . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12eulerpartlemt0 33009 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
1413biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
1514simp1d 1143 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•))
16 nn0ex 12426 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
17 nnex 12166 . . . . . . 7 β„• ∈ V
1816, 17elmap 8816 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
1915, 18sylib 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
20 ssrab2 4042 . . . . . 6 {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧} βŠ† β„•
217, 20eqsstri 3983 . . . . 5 𝐽 βŠ† β„•
22 fssres 6713 . . . . 5 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝐽 βŠ† β„•) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
2319, 21, 22sylancl 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
24 fco2 6700 . . . 4 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)):𝐽⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
253, 23, 24sylancr 588 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)):𝐽⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
2616pwex 5340 . . . . 5 𝒫 β„•0 ∈ V
2726inex1 5279 . . . 4 (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∈ V
2817, 21ssexi 5284 . . . 4 𝐽 ∈ V
2927, 28elmap 8816 . . 3 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ↔ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)):𝐽⟢(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
3025, 29sylibr 233 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽))
3114simp2d 1144 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin)
32 0nn0 12435 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
33 suppimacnv 8110 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})))
3432, 33mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})))
35 fsuppeq 8111 . . . . . . . . . 10 ((β„• ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0}))))
3617, 32, 35mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})))
3719, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})))
3834, 37eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})))
3938eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})) ∈ Fin))
40 dfn2 12433 . . . . . . . 8 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
4140imaeq2i 6016 . . . . . . 7 (◑𝐴 β€œ β„•) = (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0}))
4241eleq1i 2829 . . . . . 6 ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ (β„•0 βˆ– {0})) ∈ Fin)
4339, 42bitr4di 289 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
4431, 43mpbird 257 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin)
45 resss 5967 . . . . 5 (𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† 𝐴
46 cnvss 5833 . . . . 5 ((𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† 𝐴 β†’ β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† ◑𝐴)
47 imass1 6058 . . . . 5 (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) βŠ† ◑𝐴 β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) βŠ† (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})))
4845, 46, 47mp2b 10 . . . 4 (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) βŠ† (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0}))
49 ssfi 9124 . . . 4 (((◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ∧ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) βŠ† (◑𝐴 β€œ (V βˆ– {0}))) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin)
5044, 48, 49sylancl 587 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin)
51 cnvco 5846 . . . . . 6 β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) = (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) ∘ β—‘bits)
5251imaeq1i 6015 . . . . 5 (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = ((β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) ∘ β—‘bits) β€œ (V βˆ– {βˆ…}))
53 imaco 6208 . . . . 5 ((β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) ∘ β—‘bits) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
5452, 53eqtri 2765 . . . 4 (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
55 ffun 6676 . . . . . 6 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Fun 𝐴)
56 funres 6548 . . . . . 6 (Fun 𝐴 β†’ Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽))
5719, 55, 563syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽))
58 ssv 3973 . . . . . . 7 (β—‘bits β€œ V) βŠ† V
59 ssdif 4104 . . . . . . 7 ((β—‘bits β€œ V) βŠ† V β†’ ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})))
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…}))
61 bitsf 16314 . . . . . . 7 bits:β„€βŸΆπ’« β„•0
62 ffun 6676 . . . . . . 7 (bits:β„€βŸΆπ’« β„•0 β†’ Fun bits)
63 difpreima 7020 . . . . . . 7 (Fun bits β†’ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…})))
6461, 62, 63mp2b 10 . . . . . 6 (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = ((β—‘bits β€œ V) βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…}))
65 bitsf1 16333 . . . . . . . . 9 bits:℀–1-1→𝒫 β„•0
66 0z 12517 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„€
67 snssi 4773 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ β„€ β†’ {0} βŠ† β„€)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† β„€
69 f1imacnv 6805 . . . . . . . . 9 ((bits:℀–1-1→𝒫 β„•0 ∧ {0} βŠ† β„€) β†’ (β—‘bits β€œ (bits β€œ {0})) = {0})
7065, 68, 69mp2an 691 . . . . . . . 8 (β—‘bits β€œ (bits β€œ {0})) = {0}
71 ffn 6673 . . . . . . . . . . . 12 (bits:β„€βŸΆπ’« β„•0 β†’ bits Fn β„€)
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 bits Fn β„€
73 fnsnfv 6925 . . . . . . . . . . 11 ((bits Fn β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ {(bitsβ€˜0)} = (bits β€œ {0}))
7472, 66, 73mp2an 691 . . . . . . . . . 10 {(bitsβ€˜0)} = (bits β€œ {0})
75 0bits 16326 . . . . . . . . . . 11 (bitsβ€˜0) = βˆ…
7675sneqi 4602 . . . . . . . . . 10 {(bitsβ€˜0)} = {βˆ…}
7774, 76eqtr3i 2767 . . . . . . . . 9 (bits β€œ {0}) = {βˆ…}
7877imaeq2i 6016 . . . . . . . 8 (β—‘bits β€œ (bits β€œ {0})) = (β—‘bits β€œ {βˆ…})
7970, 78eqtr3i 2767 . . . . . . 7 {0} = (β—‘bits β€œ {βˆ…})
8079difeq2i 4084 . . . . . 6 (V βˆ– {0}) = (V βˆ– (β—‘bits β€œ {βˆ…}))
8160, 64, 803sstr4i 3992 . . . . 5 (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– {0})
82 sspreima 7023 . . . . 5 ((Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∧ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (V βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…}))) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})))
8357, 81, 82sylancl 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (β—‘bits β€œ (V βˆ– {βˆ…}))) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})))
8454, 83eqsstrid 3997 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})))
85 ssfi 9124 . . 3 (((β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0})) ∈ Fin ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) βŠ† (β—‘(𝐴 β†Ύ 𝐽) β€œ (V βˆ– {0}))) β†’ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)
8650, 84, 85syl2anc 585 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)
87 oveq1 7369 . . . . 5 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘Ÿ supp βˆ…) = ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…))
8887eleq1d 2823 . . . 4 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ ((π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin))
8988, 9elrab2 3653 . . 3 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin))
90 zex 12515 . . . . . 6 β„€ ∈ V
91 fex 7181 . . . . . 6 ((bits:β„€βŸΆπ’« β„•0 ∧ β„€ ∈ V) β†’ bits ∈ V)
9261, 90, 91mp2an 691 . . . . 5 bits ∈ V
93 resexg 5988 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ V)
94 coexg 7871 . . . . 5 ((bits ∈ V ∧ (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∈ V) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V)
9592, 93, 94sylancr 588 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V)
96 0ex 5269 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
97 suppimacnv 8110 . . . . . . 7 (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) = (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
9896, 97mpan2 690 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) = (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
9998eleq1d 2823 . . . . 5 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V β†’ (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin ↔ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin))
10099anbi2d 630 . . . 4 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ V β†’ (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)))
10195, 100syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) supp βˆ…) ∈ Fin) ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)))
10289, 101bitrid 283 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 ↔ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∧ (β—‘(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) ∈ Fin)))
10330, 86, 102mpbir2and 712 1 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110  {copab 5172   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   supp csupp 8097   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β†‘cexp 13974  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  bitscbits 16306  πŸ­cind 32649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-bits 16309
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  33016  eulerpartlemgf  33019
  Copyright terms: Public domain W3C validator