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Theorem eulerpartlemgvv 33364
Description: Lemma for eulerpart 33370: value of the function 𝐺 evaluated. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgvv ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π΅) = if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡, 1, 0))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝑛,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘œ,π‘Ÿ,𝐴   π‘œ,𝐹   𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽   𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘œ,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,π‘œ   𝑇,π‘œ   𝑑,𝐴,𝑛,π‘₯,𝑦   𝐡,𝑛,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐽   𝑛,𝑀,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑛   𝑑,π‘Ÿ,𝑅,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝐡(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑇(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐹(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ)   𝐽(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemgvv
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . 5 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
2 eulerpart.o . . . . 5 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
3 eulerpart.d . . . . 5 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
4 eulerpart.j . . . . 5 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
5 eulerpart.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
6 eulerpart.h . . . . 5 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
7 eulerpart.m . . . . 5 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
8 eulerpart.r . . . . 5 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
9 eulerpart.t . . . . 5 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
10 eulerpart.g . . . . 5 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 33361 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))))
1211fveq1d 6891 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π΅) = (((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))β€˜π΅))
1312adantr 482 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π΅) = (((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))β€˜π΅))
14 nnex 12215 . . 3 β„• ∈ V
15 imassrn 6069 . . . 4 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† ran 𝐹
164, 5oddpwdc 33342 . . . . 5 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„•
17 f1of 6831 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„• β†’ 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
18 frn 6722 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ ran 𝐹 βŠ† β„•)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . 4 ran 𝐹 βŠ† β„•
2015, 19sstri 3991 . . 3 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„•
21 simpr 486 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
22 indfval 33003 . . 3 ((β„• ∈ V ∧ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„• ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))β€˜π΅) = if(𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))), 1, 0))
2314, 20, 21, 22mp3an12i 1466 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))β€˜π΅) = if(𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))), 1, 0))
24 ffn 6715 . . . . . 6 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ 𝐹 Fn (𝐽 Γ— β„•0))
2516, 17, 24mp2b 10 . . . . 5 𝐹 Fn (𝐽 Γ— β„•0)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 33363 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 33355 . . . . . . . . . . 11 𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
28 f1of 6831 . . . . . . . . . . 11 (𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin) β†’ 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
3029ffvelcdmi 7083 . . . . . . . . 9 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3231elin1d 4198 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ 𝒫 (𝐽 Γ— β„•0))
3332adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ 𝒫 (𝐽 Γ— β„•0))
3433elpwid 4611 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0))
35 fvelimab 6962 . . . . 5 ((𝐹 Fn (𝐽 Γ— β„•0) ∧ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡))
3625, 34, 35sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡))
374ssrab3 4080 . . . . . . . . 9 𝐽 βŠ† β„•
38 fveq1 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘Ÿβ€˜π‘₯) = ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))
3938eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯) ↔ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)))
4039anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))))
4140opabbidv 5214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))})
4214, 37ssexi 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 ∈ V
43 abid2 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)} = ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)
4443fvexi 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)} ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)} ∈ V)
4642, 45opabex3 7951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))} ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))} ∈ V)
487, 41, 26, 47fvmptd3 7019 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))})
49 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ π‘₯ = 𝑑)
5049eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ↔ 𝑑 ∈ 𝐽))
51 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ 𝑦 = 𝑛)
5249fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) = ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))
5351, 52eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ (𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘)))
5450, 53anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))))
5554cbvopabv 5221 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))} = {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))}
5648, 55eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) = {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))})
5756eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ↔ 𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))}))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9eulerpartlemt0 33357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
5958simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•))
60 nn0ex 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„•0 ∈ V
6160, 14elmap 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
6259, 61sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
63 ffun 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Fun 𝐴)
64 funres 6588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Fun 𝐴 β†’ Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽))
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽))
66 fssres 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝐽 βŠ† β„•) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
6762, 37, 66sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
68 fdm 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0 β†’ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽) = 𝐽)
6968eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0 β†’ (𝑑 ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽) ↔ 𝑑 ∈ 𝐽))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽) ↔ 𝑑 ∈ 𝐽))
7170biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑑 ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽))
72 fvco 6987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∧ 𝑑 ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘) = (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘‘)))
7365, 71, 72syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘) = (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘‘)))
74 fvres 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ 𝐽 β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘‘) = (π΄β€˜π‘‘))
7574fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ 𝐽 β†’ (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘‘)) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))
7675adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘‘)) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))
7773, 76eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))
7877eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘) ↔ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))))
7978pm5.32da 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘)) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))))
8079opabbidv 5214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))} = {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))})
8180eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))} ↔ 𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))}))
82 elopab 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))} ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))))
8381, 82bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))} ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))))))
84 ancom 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
85 anass 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
8684, 85bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
87862exbii 1852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
88 df-rex 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ↔ βˆƒπ‘›(𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
8988anbi2i 624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
9089exbii 1851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
91 df-rex 3072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
92 exdistr 1959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
9390, 91, 923bitr4i 303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
9487, 93bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)
9583, 94bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))} ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
9657, 95bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
9796biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)
9897adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)
99 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
10099adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
101 bitsss 16364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) βŠ† β„•0
102101sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
103102anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))
104103ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) β†’ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))
105 opelxp 5712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))
1064, 5oddpwdcv 33343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑(2nd β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)) Β· (1st β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
107 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑 ∈ V
108 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛 ∈ V
109107, 108op2nd 7981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2nd β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = 𝑛
110109oveq2i 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑(2nd β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)) = (2↑𝑛)
111107, 108op1st 7980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1st β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = 𝑑
112110, 111oveq12i 7418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑(2nd β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)) Β· (1st β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑)
113106, 112eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑))
114105, 113sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑))
115104, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑))
116100, 115eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) β†’ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€))
117116ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ (𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© β†’ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€)))
118117reximdvva 3206 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€)))
11998, 118mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€))
120 ssrexv 4051 . . . . . . . . 9 (𝐽 βŠ† β„• β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€)))
12137, 119, 120mpsyl 68 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€))
122121adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (πΉβ€˜π‘€) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€))
123 eqeq2 2745 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘€) = 𝐡 β†’ (((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
124123rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘€) = 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
125124adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (πΉβ€˜π‘€) = 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
126125rexbidv 3179 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (πΉβ€˜π‘€) = 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
127122, 126mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (πΉβ€˜π‘€) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡)
128127r19.29an 3159 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡)
129 simp-5l 784 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅))
130 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
131 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
13268eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0 β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽) ↔ π‘₯ ∈ 𝐽))
13367, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽) ↔ π‘₯ ∈ 𝐽))
134133biimpar 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽))
135 fvco 6987 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) = (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘₯)))
13665, 134, 135syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) = (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘₯)))
137 fvres 6908 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘₯))
138137fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘₯)) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
139138adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘₯)) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
140136, 139eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
141129, 130, 140syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
142131, 141eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))
14348eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))}))
144 opabidw 5524 . . . . . . . . . 10 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)))
145143, 144bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))))
146145biimpar 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))
147129, 130, 142, 146syl12anc 836 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))
148 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
14934ad4antr 731 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0))
150149, 147sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0))
151 opeq1 4873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘₯ β†’ βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©)
152151eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘₯ β†’ (βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0)))
153151fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
154 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((2↑𝑦) Β· 𝑑) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
155153, 154eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑) ↔ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯)))
156152, 155imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯))))
157 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 β†’ βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© = βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©)
158157eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 β†’ (βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) ↔ βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0)))
159157fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©))
160 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑦 β†’ (2↑𝑛) = (2↑𝑦))
161160oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑))
162159, 161eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑) ↔ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑)))
163158, 162imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑)) ↔ (βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑))))
164163, 113chvarvv 2003 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑))
165156, 164chvarvv 2003 . . . . . . . . 9 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
166 eqeq2 2745 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯) ↔ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡))
167166biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡 ∧ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡)
168165, 167sylan2 594 . . . . . . . 8 ((((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡 ∧ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡)
169148, 150, 168syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡)
170 fveqeq2 6898 . . . . . . . 8 (𝑀 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((πΉβ€˜π‘€) = 𝐡 ↔ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡))
171170rspcev 3613 . . . . . . 7 ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∧ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡)
172147, 169, 171syl2anc 585 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡)
173 oveq2 7414 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = ((2↑𝑛) Β· π‘₯))
174173eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = π‘₯ β†’ (((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡 ↔ ((2↑𝑛) Β· π‘₯) = 𝐡))
175160oveq1d 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((2↑𝑛) Β· π‘₯) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
176175eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 β†’ (((2↑𝑛) Β· π‘₯) = 𝐡 ↔ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
177174, 176sylan9bb 511 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = π‘₯ ∧ 𝑛 = 𝑦) β†’ (((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡 ↔ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
178 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 = π‘₯ ∧ 𝑛 = 𝑦) β†’ 𝑑 = π‘₯)
179178fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 = π‘₯ ∧ 𝑛 = 𝑦) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = (π΄β€˜π‘₯))
180179fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = π‘₯ ∧ 𝑛 = 𝑦) β†’ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
181177, 180cbvrexdva2 3346 . . . . . . . 8 (𝑑 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
182181cbvrexvw 3236 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
183 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦 𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)
184 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ β„•
185 nfre1 3283 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘¦βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡
186184, 185nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
187183, 186nfan 1903 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦(𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
188 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
18962ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
190189adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
191 elnn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„•0 ↔ ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘₯) = 0))
192190, 191sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘₯) = 0))
193 n0i 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) β†’ Β¬ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = βˆ…)
194193adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ Β¬ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = βˆ…)
195 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π΄β€˜π‘₯) = 0 β†’ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = (bitsβ€˜0))
196 0bits 16377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (bitsβ€˜0) = βˆ…
197195, 196eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π΄β€˜π‘₯) = 0 β†’ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = βˆ…)
198194, 197nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘₯) = 0)
199192, 198olcnd 876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ β„•)
20058simp3bi 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽)
201200sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ 𝑛 ∈ 𝐽)
202 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
203202notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑛 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
204203, 4elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ 𝐽 ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
205204simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ 𝐽 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)
206201, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)
207206ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘› ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)
208 ffn 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ 𝐴 Fn β„•)
209 elpreima 7057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 Fn β„• β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•)))
21062, 208, 2093syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•)))
211210imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ ((𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
212 impexp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
213211, 212bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))))
214213ralbidv2 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
215207, 214mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
216 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (π΄β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘›))
217216eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• ↔ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•))
218 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ π‘₯ ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
219218notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯ ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
220217, 219imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯) ↔ ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
221220cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
222215, 221sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯))
223222r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯))
224223imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘₯) ∈ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯)
225199, 224syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯)
226 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = π‘₯ β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ π‘₯))
227226notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = π‘₯ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯))
228227, 4elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝐽 ↔ (π‘₯ ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯))
229188, 225, 228sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
230229adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
231230adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
232 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
233187, 231, 232r19.29af 3266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
234233, 232jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
235234ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)))
236235reximdv2 3165 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
237236imp 408 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
238237adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
239182, 238sylan2b 595 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
240172, 239r19.29vva 3214 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡)
241128, 240impbida 800 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
24236, 241bitrd 279 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
243242ifbid 4551 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ if(𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))), 1, 0) = if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡, 1, 0))
24413, 23, 2433eqtrd 2777 1 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π΅) = if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  1st c1st 7970  2nd c2nd 7971   supp csupp 8143   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936  0cc0 11107  1c1 11108   Β· cmul 11112   ≀ cle 11246  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β†‘cexp 14024  Ξ£csu 15629   βˆ₯ cdvds 16194  bitscbits 16357  πŸ­cind 32997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-bits 16360  df-ind 32998
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