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Theorem eulerpartlemgvv 33671
Description: Lemma for eulerpart 33677: value of the function 𝐺 evaluated. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgvv ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π΅) = if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡, 1, 0))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝑛,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘œ,π‘Ÿ,𝐴   π‘œ,𝐹   𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽   𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘œ,𝑀   𝑓,𝑁   𝑔,𝑛,𝑃   𝑅,π‘œ   𝑇,π‘œ   𝑑,𝐴,𝑛,π‘₯,𝑦   𝐡,𝑛,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐽   𝑛,𝑀,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑛   𝑑,π‘Ÿ,𝑅,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝐡(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑇(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐹(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ)   𝐽(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemgvv
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . 5 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
2 eulerpart.o . . . . 5 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
3 eulerpart.d . . . . 5 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
4 eulerpart.j . . . . 5 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
5 eulerpart.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
6 eulerpart.h . . . . 5 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
7 eulerpart.m . . . . 5 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
8 eulerpart.r . . . . 5 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
9 eulerpart.t . . . . 5 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
10 eulerpart.g . . . . 5 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 33668 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))))
1211fveq1d 6894 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π΅) = (((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))β€˜π΅))
1312adantr 479 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π΅) = (((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))β€˜π΅))
14 nnex 12224 . . 3 β„• ∈ V
15 imassrn 6071 . . . 4 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† ran 𝐹
164, 5oddpwdc 33649 . . . . 5 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„•
17 f1of 6834 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„• β†’ 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
18 frn 6725 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ ran 𝐹 βŠ† β„•)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . 4 ran 𝐹 βŠ† β„•
2015, 19sstri 3992 . . 3 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„•
21 simpr 483 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
22 indfval 33310 . . 3 ((β„• ∈ V ∧ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„• ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))β€˜π΅) = if(𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))), 1, 0))
2314, 20, 21, 22mp3an12i 1463 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))β€˜π΅) = if(𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))), 1, 0))
24 ffn 6718 . . . . . 6 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ 𝐹 Fn (𝐽 Γ— β„•0))
2516, 17, 24mp2b 10 . . . . 5 𝐹 Fn (𝐽 Γ— β„•0)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 33670 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 33662 . . . . . . . . . . 11 𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
28 f1of 6834 . . . . . . . . . . 11 (𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin) β†’ 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
3029ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . 9 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3231elin1d 4199 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ 𝒫 (𝐽 Γ— β„•0))
3332adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ 𝒫 (𝐽 Γ— β„•0))
3433elpwid 4612 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0))
35 fvelimab 6965 . . . . 5 ((𝐹 Fn (𝐽 Γ— β„•0) ∧ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡))
3625, 34, 35sylancr 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡))
374ssrab3 4081 . . . . . . . . 9 𝐽 βŠ† β„•
38 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘Ÿβ€˜π‘₯) = ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))
3938eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯) ↔ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)))
4039anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))))
4140opabbidv 5215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))})
4214, 37ssexi 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 ∈ V
43 abid2 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)} = ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)
4443fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)} ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)} ∈ V)
4642, 45opabex3 7958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))} ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))} ∈ V)
487, 41, 26, 47fvmptd3 7022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))})
49 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ π‘₯ = 𝑑)
5049eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ↔ 𝑑 ∈ 𝐽))
51 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ 𝑦 = 𝑛)
5249fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) = ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))
5351, 52eleq12d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ (𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘)))
5450, 53anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝑑 ∧ 𝑦 = 𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))))
5554cbvopabv 5222 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))} = {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))}
5648, 55eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) = {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))})
5756eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ↔ 𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))}))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9eulerpartlemt0 33664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
5958simp1bi 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•))
60 nn0ex 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„•0 ∈ V
6160, 14elmap 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
6259, 61sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
63 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Fun 𝐴)
64 funres 6591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Fun 𝐴 β†’ Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽))
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽))
66 fssres 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝐽 βŠ† β„•) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
6762, 37, 66sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
68 fdm 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0 β†’ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽) = 𝐽)
6968eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0 β†’ (𝑑 ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽) ↔ 𝑑 ∈ 𝐽))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽) ↔ 𝑑 ∈ 𝐽))
7170biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ 𝑑 ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽))
72 fvco 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∧ 𝑑 ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘) = (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘‘)))
7365, 71, 72syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘) = (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘‘)))
74 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ 𝐽 β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘‘) = (π΄β€˜π‘‘))
7574fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ 𝐽 β†’ (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘‘)) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))
7675adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘‘)) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))
7773, 76eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))
7877eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ 𝐽) β†’ (𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘) ↔ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))))
7978pm5.32da 577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘)) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))))
8079opabbidv 5215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))} = {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))})
8180eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))} ↔ 𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))}))
82 elopab 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))} ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))))
8381, 82bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))} ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))))))
84 ancom 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
85 anass 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
8684, 85bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
87862exbii 1849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
88 df-rex 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ↔ βˆƒπ‘›(𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
8988anbi2i 621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
9089exbii 1848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
91 df-rex 3069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
92 exdistr 1956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
9390, 91, 923bitr4i 302 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑑 ∈ 𝐽 ∧ (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
9487, 93bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘›(𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)
9583, 94bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ {βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∣ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘‘))} ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
9657, 95bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
9796biimpa 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)
9897adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)
99 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
10099adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©))
101 bitsss 16373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) βŠ† β„•0
102101sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
103102anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))
104103ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) β†’ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))
105 opelxp 5713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) ↔ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ β„•0))
1064, 5oddpwdcv 33650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑(2nd β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)) Β· (1st β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)))
107 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑 ∈ V
108 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛 ∈ V
109107, 108op2nd 7988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2nd β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = 𝑛
110109oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑(2nd β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)) = (2↑𝑛)
111107, 108op1st 7987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1st β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = 𝑑
112110, 111oveq12i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑(2nd β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)) Β· (1st β€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©)) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑)
113106, 112eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑))
114105, 113sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑))
115104, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑))
116100, 115eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) β†’ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€))
117116ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ (𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© β†’ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€)))
118117reximdvva 3203 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€)))
11998, 118mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€))
120 ssrexv 4052 . . . . . . . . 9 (𝐽 βŠ† β„• β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€)))
12137, 119, 120mpsyl 68 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€))
122121adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (πΉβ€˜π‘€) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€))
123 eqeq2 2742 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘€) = 𝐡 β†’ (((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
124123rexbidv 3176 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘€) = 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
125124adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (πΉβ€˜π‘€) = 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
126125rexbidv 3176 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (πΉβ€˜π‘€) = 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
127122, 126mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝑀 ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∧ (πΉβ€˜π‘€) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡)
128127r19.29an 3156 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡)
129 simp-5l 781 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅))
130 simpllr 772 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
131 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
13268eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0 β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽) ↔ π‘₯ ∈ 𝐽))
13367, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽) ↔ π‘₯ ∈ 𝐽))
134133biimpar 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽))
135 fvco 6990 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐴 β†Ύ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐴 β†Ύ 𝐽)) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) = (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘₯)))
13665, 134, 135syl2an2r 681 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) = (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘₯)))
137 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘₯))
138137fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘₯)) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
139138adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (bitsβ€˜((𝐴 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘₯)) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
140136, 139eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
141129, 130, 140syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
142131, 141eleqtrrd 2834 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))
14348eleq2d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))}))
144 opabidw 5525 . . . . . . . . . 10 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯)))
145143, 144bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))))
146145biimpar 476 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))β€˜π‘₯))) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))
147129, 130, 142, 146syl12anc 833 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))
148 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
14934ad4antr 728 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0))
150149, 147sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0))
151 opeq1 4874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘₯ β†’ βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©)
152151eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘₯ β†’ (βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0)))
153151fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
154 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((2↑𝑦) Β· 𝑑) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
155153, 154eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑) ↔ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯)))
156152, 155imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯))))
157 opeq2 4875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 β†’ βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© = βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©)
158157eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 β†’ (βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) ↔ βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0)))
159157fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©))
160 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑦 β†’ (2↑𝑛) = (2↑𝑦))
161160oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑))
162159, 161eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑) ↔ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑)))
163158, 162imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ©) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑)) ↔ (βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑))))
164163, 113chvarvv 2000 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘‘, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· 𝑑))
165156, 164chvarvv 2000 . . . . . . . . 9 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
166 eqeq2 2742 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯) ↔ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡))
167166biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡 ∧ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡)
168165, 167sylan2 591 . . . . . . . 8 ((((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡 ∧ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐽 Γ— β„•0)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡)
169148, 150, 168syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡)
170 fveqeq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑀 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((πΉβ€˜π‘€) = 𝐡 ↔ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡))
171170rspcev 3613 . . . . . . 7 ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∧ (πΉβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡)
172147, 169, 171syl2anc 582 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡)
173 oveq2 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = ((2↑𝑛) Β· π‘₯))
174173eqeq1d 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = π‘₯ β†’ (((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡 ↔ ((2↑𝑛) Β· π‘₯) = 𝐡))
175160oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 β†’ ((2↑𝑛) Β· π‘₯) = ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
176175eqeq1d 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 β†’ (((2↑𝑛) Β· π‘₯) = 𝐡 ↔ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
177174, 176sylan9bb 508 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = π‘₯ ∧ 𝑛 = 𝑦) β†’ (((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡 ↔ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
178 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 = π‘₯ ∧ 𝑛 = 𝑦) β†’ 𝑑 = π‘₯)
179178fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 = π‘₯ ∧ 𝑛 = 𝑦) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = (π΄β€˜π‘₯))
180179fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = π‘₯ ∧ 𝑛 = 𝑦) β†’ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) = (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
181177, 180cbvrexdva2 3343 . . . . . . . 8 (𝑑 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
182181cbvrexvw 3233 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
183 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦 𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)
184 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ β„•
185 nfre1 3280 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘¦βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡
186184, 185nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
187183, 186nfan 1900 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦(𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
188 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
18962ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
190189adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
191 elnn0 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„•0 ↔ ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘₯) = 0))
192190, 191sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π΄β€˜π‘₯) = 0))
193 n0i 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) β†’ Β¬ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = βˆ…)
194193adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ Β¬ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = βˆ…)
195 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π΄β€˜π‘₯) = 0 β†’ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = (bitsβ€˜0))
196 0bits 16386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (bitsβ€˜0) = βˆ…
197195, 196eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π΄β€˜π‘₯) = 0 β†’ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = βˆ…)
198194, 197nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘₯) = 0)
199192, 198olcnd 873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ β„•)
20058simp3bi 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽)
201200sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ 𝑛 ∈ 𝐽)
202 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
203202notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑛 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
204203, 4elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ 𝐽 ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
205204simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ 𝐽 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)
206201, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)
207206ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘› ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)
208 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ 𝐴 Fn β„•)
209 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 Fn β„• β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•)))
21062, 208, 2093syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•)))
211210imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ ((𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
212 impexp 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
213211, 212bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((𝑛 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))))
214213ralbidv2 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (◑𝐴 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
215207, 214mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
216 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (π΄β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘›))
217216eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• ↔ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„•))
218 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ π‘₯ ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
219218notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯ ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
220217, 219imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯) ↔ ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
221220cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((π΄β€˜π‘›) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
222215, 221sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯))
223222r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘₯) ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯))
224223imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘₯) ∈ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯)
225199, 224syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯)
226 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = π‘₯ β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ π‘₯))
227226notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = π‘₯ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯))
228227, 4elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝐽 ↔ (π‘₯ ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘₯))
229188, 225, 228sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
230229adantlrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
231230adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))) ∧ ((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
232 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
233187, 231, 232r19.29af 3263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
234233, 232jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
235234ex 411 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)))
236235reximdv2 3162 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡))
237236imp 405 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
238237adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
239182, 238sylan2b 592 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘₯))((2↑𝑦) Β· π‘₯) = 𝐡)
240172, 239r19.29vva 3211 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡)
241128, 240impbida 797 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))(πΉβ€˜π‘€) = 𝐡 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
24236, 241bitrd 278 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡))
243242ifbid 4552 . 2 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ if(𝐡 ∈ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))), 1, 0) = if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡, 1, 0))
24413, 23, 2433eqtrd 2774 1 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π΅) = if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = 𝐡, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  {cab 2707  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978   supp csupp 8150   ↑m cmap 8824  Fincfn 8943  0cc0 11114  1c1 11115   Β· cmul 11119   ≀ cle 11255  β„•cn 12218  2c2 12273  β„•0cn0 12478  β†‘cexp 14033  Ξ£csu 15638   βˆ₯ cdvds 16203  bitscbits 16366  πŸ­cind 33304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16204  df-bits 16369  df-ind 33305
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  33675
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