Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemt 34061
Description: Lemma for eulerpart 34072. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemt ((β„•0 ↑m 𝐽) ∩ 𝑅) = ran (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ (π‘š β†Ύ 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘š,𝐽   𝑅,π‘š   𝑇,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemt
Dummy variable π‘œ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8866 . . . . . . . . . 10 (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) β†’ π‘œ:π½βŸΆβ„•0)
21adantr 479 . . . . . . . . 9 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ π‘œ:π½βŸΆβ„•0)
3 c0ex 11238 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
43fconst 6781 . . . . . . . . . 10 ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}):(β„• βˆ– 𝐽)⟢{0}
54a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}):(β„• βˆ– 𝐽)⟢{0})
6 disjdif 4472 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∩ (β„• βˆ– 𝐽)) = βˆ…
76a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (𝐽 ∩ (β„• βˆ– 𝐽)) = βˆ…)
8 fun 6757 . . . . . . . . 9 (((π‘œ:π½βŸΆβ„•0 ∧ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}):(β„• βˆ– 𝐽)⟢{0}) ∧ (𝐽 ∩ (β„• βˆ– 𝐽)) = βˆ…) β†’ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):(𝐽 βˆͺ (β„• βˆ– 𝐽))⟢(β„•0 βˆͺ {0}))
92, 5, 7, 8syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):(𝐽 βˆͺ (β„• βˆ– 𝐽))⟢(β„•0 βˆͺ {0}))
10 eulerpart.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
11 ssrab2 4074 . . . . . . . . . . 11 {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧} βŠ† β„•
1210, 11eqsstri 4012 . . . . . . . . . 10 𝐽 βŠ† β„•
13 undif 4482 . . . . . . . . . 10 (𝐽 βŠ† β„• ↔ (𝐽 βˆͺ (β„• βˆ– 𝐽)) = β„•)
1412, 13mpbi 229 . . . . . . . . 9 (𝐽 βˆͺ (β„• βˆ– 𝐽)) = β„•
15 0nn0 12517 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„•0
16 snssi 4812 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„•0 β†’ {0} βŠ† β„•0)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {0} βŠ† β„•0
18 ssequn2 4182 . . . . . . . . . 10 ({0} βŠ† β„•0 ↔ (β„•0 βˆͺ {0}) = β„•0)
1917, 18mpbi 229 . . . . . . . . 9 (β„•0 βˆͺ {0}) = β„•0
2014, 19feq23i 6715 . . . . . . . 8 ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):(𝐽 βˆͺ (β„• βˆ– 𝐽))⟢(β„•0 βˆͺ {0}) ↔ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):β„•βŸΆβ„•0)
219, 20sylib 217 . . . . . . 7 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):β„•βŸΆβ„•0)
22 nn0ex 12508 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
23 nnex 12248 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
2422, 23elmap 8888 . . . . . . 7 ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):β„•βŸΆβ„•0)
2521, 24sylibr 233 . . . . . 6 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (β„•0 ↑m β„•))
26 cnvun 6147 . . . . . . . . 9 β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) = (β—‘π‘œ βˆͺ β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}))
2726imaeq1i 6060 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) = ((β—‘π‘œ βˆͺ β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•)
28 imaundir 6155 . . . . . . . 8 ((β—‘π‘œ βˆͺ β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) = ((β—‘π‘œ β€œ β„•) βˆͺ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•))
2927, 28eqtri 2753 . . . . . . 7 (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) = ((β—‘π‘œ β€œ β„•) βˆͺ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•))
30 vex 3467 . . . . . . . . . . 11 π‘œ ∈ V
31 cnveq 5875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = π‘œ β†’ ◑𝑓 = β—‘π‘œ)
3231imaeq1d 6062 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = π‘œ β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (β—‘π‘œ β€œ β„•))
3332eleq1d 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = π‘œ β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin))
34 eulerpart.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
3530, 33, 34elab2 3669 . . . . . . . . . 10 (π‘œ ∈ 𝑅 ↔ (β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin)
3635biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘œ ∈ 𝑅 β†’ (β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin)
3736adantl 480 . . . . . . . 8 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin)
38 cnvxp 6161 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) = ({0} Γ— (β„• βˆ– 𝐽))
3938dmeqi 5906 . . . . . . . . . . . . 13 dom β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) = dom ({0} Γ— (β„• βˆ– 𝐽))
40 2nn 12315 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„•
41 2z 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„€
42 iddvds 16246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ β„€ β†’ 2 βˆ₯ 2)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 βˆ₯ 2
44 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 2 β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ 2))
4544notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 2 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 2))
4645, 10elrab2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ 𝐽 ↔ (2 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 2))
4746simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ 𝐽 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 2)
4843, 47mt2 199 . . . . . . . . . . . . . . 15 Β¬ 2 ∈ 𝐽
49 eldif 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ (β„• βˆ– 𝐽) ↔ (2 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 ∈ 𝐽))
5040, 48, 49mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (β„• βˆ– 𝐽)
51 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ (β„• βˆ– 𝐽) β†’ (β„• βˆ– 𝐽) β‰  βˆ…)
52 dmxp 5930 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„• βˆ– 𝐽) β‰  βˆ… β†’ dom ({0} Γ— (β„• βˆ– 𝐽)) = {0})
5350, 51, 52mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 dom ({0} Γ— (β„• βˆ– 𝐽)) = {0}
5439, 53eqtri 2753 . . . . . . . . . . . 12 dom β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) = {0}
5554ineq1i 4207 . . . . . . . . . . 11 (dom β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) ∩ β„•) = ({0} ∩ β„•)
56 incom 4200 . . . . . . . . . . 11 (β„• ∩ {0}) = ({0} ∩ β„•)
57 0nnn 12278 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 0 ∈ β„•
58 disjsn 4716 . . . . . . . . . . . 12 ((β„• ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ β„•)
5957, 58mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (β„• ∩ {0}) = βˆ…
6055, 56, 593eqtr2i 2759 . . . . . . . . . 10 (dom β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) ∩ β„•) = βˆ…
61 imadisj 6083 . . . . . . . . . 10 ((β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) = βˆ… ↔ (dom β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) ∩ β„•) = βˆ…)
6260, 61mpbir 230 . . . . . . . . 9 (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) = βˆ…
63 0fin 9194 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ Fin
6462, 63eqeltri 2821 . . . . . . . 8 (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) ∈ Fin
65 unfi 9195 . . . . . . . 8 (((β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ ((β—‘π‘œ β€œ β„•) βˆͺ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•)) ∈ Fin)
6637, 64, 65sylancl 584 . . . . . . 7 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ ((β—‘π‘œ β€œ β„•) βˆͺ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•)) ∈ Fin)
6729, 66eqeltrid 2829 . . . . . 6 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) ∈ Fin)
68 cnvimass 6085 . . . . . . . . 9 (β—‘π‘œ β€œ β„•) βŠ† dom π‘œ
6968, 2fssdm 6740 . . . . . . . 8 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (β—‘π‘œ β€œ β„•) βŠ† 𝐽)
70 0ss 4397 . . . . . . . . . 10 βˆ… βŠ† 𝐽
7162, 70eqsstri 4012 . . . . . . . . 9 (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) βŠ† 𝐽
7271a1i 11 . . . . . . . 8 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) βŠ† 𝐽)
7369, 72unssd 4185 . . . . . . 7 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ ((β—‘π‘œ β€œ β„•) βˆͺ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•)) βŠ† 𝐽)
7429, 73eqsstrid 4026 . . . . . 6 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) βŠ† 𝐽)
75 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
76 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
77 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
78 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
79 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
80 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
81 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
8275, 76, 77, 10, 78, 79, 80, 34, 81eulerpartlemt0 34059 . . . . . 6 ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
8325, 67, 74, 82syl3anbrc 1340 . . . . 5 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (𝑇 ∩ 𝑅))
84 resundir 5999 . . . . . 6 ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β†Ύ 𝐽) = ((π‘œ β†Ύ 𝐽) βˆͺ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽))
85 ffn 6721 . . . . . . . 8 (π‘œ:π½βŸΆβ„•0 β†’ π‘œ Fn 𝐽)
86 fnresdm 6673 . . . . . . . . 9 (π‘œ Fn 𝐽 β†’ (π‘œ β†Ύ 𝐽) = π‘œ)
87 disjdifr 4473 . . . . . . . . . . 11 ((β„• βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…
88 fnconstg 6783 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ β„•0 β†’ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) Fn (β„• βˆ– 𝐽))
89 fnresdisj 6674 . . . . . . . . . . . 12 (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) Fn (β„• βˆ– 𝐽) β†’ (((β„• βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ… ↔ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽) = βˆ…))
9015, 88, 89mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (((β„• βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ… ↔ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽) = βˆ…)
9187, 90mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽) = βˆ…
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘œ Fn 𝐽 β†’ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽) = βˆ…)
9386, 92uneq12d 4162 . . . . . . . 8 (π‘œ Fn 𝐽 β†’ ((π‘œ β†Ύ 𝐽) βˆͺ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽)) = (π‘œ βˆͺ βˆ…))
942, 85, 933syl 18 . . . . . . 7 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ ((π‘œ β†Ύ 𝐽) βˆͺ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽)) = (π‘œ βˆͺ βˆ…))
95 un0 4391 . . . . . . 7 (π‘œ βˆͺ βˆ…) = π‘œ
9694, 95eqtrdi 2781 . . . . . 6 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ ((π‘œ β†Ύ 𝐽) βˆͺ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽)) = π‘œ)
9784, 96eqtr2id 2778 . . . . 5 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ π‘œ = ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β†Ύ 𝐽))
98 reseq1 5978 . . . . . 6 (π‘š = (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β†’ (π‘š β†Ύ 𝐽) = ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β†Ύ 𝐽))
9998rspceeqv 3629 . . . . 5 (((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β†Ύ 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽))
10083, 97, 99syl2anc 582 . . . 4 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽))
101 simpr 483 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽))
102 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅))
10375, 76, 77, 10, 78, 79, 80, 34, 81eulerpartlemt0 34059 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (π‘š ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘š β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
104102, 103sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘š ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘š β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
105104simp1d 1139 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘š ∈ (β„•0 ↑m β„•))
10622, 23elmap 8888 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ π‘š:β„•βŸΆβ„•0)
107105, 106sylib 217 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘š:β„•βŸΆβ„•0)
108 fssres 6761 . . . . . . . . 9 ((π‘š:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝐽 βŠ† β„•) β†’ (π‘š β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
109107, 12, 108sylancl 584 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘š β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
11010, 23rabex2 5336 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ V
11122, 110elmap 8888 . . . . . . . 8 ((π‘š β†Ύ 𝐽) ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ↔ (π‘š β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
112109, 111sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘š β†Ύ 𝐽) ∈ (β„•0 ↑m 𝐽))
113101, 112eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽))
114 ffun 6724 . . . . . . . . . 10 (π‘š:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Fun π‘š)
115 respreima 7072 . . . . . . . . . 10 (Fun π‘š β†’ (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•) = ((β—‘π‘š β€œ β„•) ∩ 𝐽))
116107, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•) = ((β—‘π‘š β€œ β„•) ∩ 𝐽))
117104simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin)
118 infi 9291 . . . . . . . . . 10 ((β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin β†’ ((β—‘π‘š β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∈ Fin)
119117, 118syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ ((β—‘π‘š β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∈ Fin)
120116, 119eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•) ∈ Fin)
121 vex 3467 . . . . . . . . . 10 π‘š ∈ V
122121resex 6033 . . . . . . . . 9 (π‘š β†Ύ 𝐽) ∈ V
123 cnveq 5875 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (π‘š β†Ύ 𝐽) β†’ ◑𝑓 = β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽))
124123imaeq1d 6062 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (π‘š β†Ύ 𝐽) β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•))
125124eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (π‘š β†Ύ 𝐽) β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•) ∈ Fin))
126122, 125, 34elab2 3669 . . . . . . . 8 ((π‘š β†Ύ 𝐽) ∈ 𝑅 ↔ (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•) ∈ Fin)
127120, 126sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘š β†Ύ 𝐽) ∈ 𝑅)
128101, 127eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘œ ∈ 𝑅)
129113, 128jca 510 . . . . 5 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅))
130129rexlimiva 3137 . . . 4 (βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽) β†’ (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅))
131100, 130impbii 208 . . 3 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽))
132131abbii 2795 . 2 {π‘œ ∣ (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅)} = {π‘œ ∣ βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)}
133 df-in 3952 . 2 ((β„•0 ↑m 𝐽) ∩ 𝑅) = {π‘œ ∣ (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅)}
134 eqid 2725 . . 3 (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ (π‘š β†Ύ 𝐽)) = (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ (π‘š β†Ύ 𝐽))
135134rnmpt 5956 . 2 ran (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ (π‘š β†Ύ 𝐽)) = {π‘œ ∣ βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)}
136132, 133, 1353eqtr4i 2763 1 ((β„•0 ↑m 𝐽) ∩ 𝑅) = ran (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ (π‘š β†Ύ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βˆ– cdif 3942   βˆͺ cun 3943   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6541   Fn wfn 6542  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   supp csupp 8163   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143   ≀ cle 11279  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β†‘cexp 14058  Ξ£csu 15664   βˆ₯ cdvds 16230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-dvds 16231
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  34062
  Copyright terms: Public domain W3C validator