Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemt 33358
Description: Lemma for eulerpart 33369. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemt ((β„•0 ↑m 𝐽) ∩ 𝑅) = ran (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ (π‘š β†Ύ 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘š,𝐽   𝑅,π‘š   𝑇,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemt
Dummy variable π‘œ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8839 . . . . . . . . . 10 (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) β†’ π‘œ:π½βŸΆβ„•0)
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ π‘œ:π½βŸΆβ„•0)
3 c0ex 11204 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
43fconst 6774 . . . . . . . . . 10 ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}):(β„• βˆ– 𝐽)⟢{0}
54a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}):(β„• βˆ– 𝐽)⟢{0})
6 disjdif 4470 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∩ (β„• βˆ– 𝐽)) = βˆ…
76a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (𝐽 ∩ (β„• βˆ– 𝐽)) = βˆ…)
8 fun 6750 . . . . . . . . 9 (((π‘œ:π½βŸΆβ„•0 ∧ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}):(β„• βˆ– 𝐽)⟢{0}) ∧ (𝐽 ∩ (β„• βˆ– 𝐽)) = βˆ…) β†’ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):(𝐽 βˆͺ (β„• βˆ– 𝐽))⟢(β„•0 βˆͺ {0}))
92, 5, 7, 8syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):(𝐽 βˆͺ (β„• βˆ– 𝐽))⟢(β„•0 βˆͺ {0}))
10 eulerpart.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
11 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . 11 {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧} βŠ† β„•
1210, 11eqsstri 4015 . . . . . . . . . 10 𝐽 βŠ† β„•
13 undif 4480 . . . . . . . . . 10 (𝐽 βŠ† β„• ↔ (𝐽 βˆͺ (β„• βˆ– 𝐽)) = β„•)
1412, 13mpbi 229 . . . . . . . . 9 (𝐽 βˆͺ (β„• βˆ– 𝐽)) = β„•
15 0nn0 12483 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„•0
16 snssi 4810 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„•0 β†’ {0} βŠ† β„•0)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {0} βŠ† β„•0
18 ssequn2 4182 . . . . . . . . . 10 ({0} βŠ† β„•0 ↔ (β„•0 βˆͺ {0}) = β„•0)
1917, 18mpbi 229 . . . . . . . . 9 (β„•0 βˆͺ {0}) = β„•0
2014, 19feq23i 6708 . . . . . . . 8 ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):(𝐽 βˆͺ (β„• βˆ– 𝐽))⟢(β„•0 βˆͺ {0}) ↔ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):β„•βŸΆβ„•0)
219, 20sylib 217 . . . . . . 7 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):β„•βŸΆβ„•0)
22 nn0ex 12474 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
23 nnex 12214 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
2422, 23elmap 8861 . . . . . . 7 ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})):β„•βŸΆβ„•0)
2521, 24sylibr 233 . . . . . 6 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (β„•0 ↑m β„•))
26 cnvun 6139 . . . . . . . . 9 β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) = (β—‘π‘œ βˆͺ β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}))
2726imaeq1i 6054 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) = ((β—‘π‘œ βˆͺ β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•)
28 imaundir 6147 . . . . . . . 8 ((β—‘π‘œ βˆͺ β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) = ((β—‘π‘œ β€œ β„•) βˆͺ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•))
2927, 28eqtri 2760 . . . . . . 7 (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) = ((β—‘π‘œ β€œ β„•) βˆͺ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•))
30 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 π‘œ ∈ V
31 cnveq 5871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = π‘œ β†’ ◑𝑓 = β—‘π‘œ)
3231imaeq1d 6056 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = π‘œ β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (β—‘π‘œ β€œ β„•))
3332eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = π‘œ β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin))
34 eulerpart.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
3530, 33, 34elab2 3671 . . . . . . . . . 10 (π‘œ ∈ 𝑅 ↔ (β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin)
3635biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘œ ∈ 𝑅 β†’ (β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin)
3736adantl 482 . . . . . . . 8 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin)
38 cnvxp 6153 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) = ({0} Γ— (β„• βˆ– 𝐽))
3938dmeqi 5902 . . . . . . . . . . . . 13 dom β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) = dom ({0} Γ— (β„• βˆ– 𝐽))
40 2nn 12281 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„•
41 2z 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„€
42 iddvds 16209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ β„€ β†’ 2 βˆ₯ 2)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 βˆ₯ 2
44 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 2 β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ 2))
4544notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 2 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 2))
4645, 10elrab2 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ 𝐽 ↔ (2 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 2))
4746simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ 𝐽 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 2)
4843, 47mt2 199 . . . . . . . . . . . . . . 15 Β¬ 2 ∈ 𝐽
49 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ (β„• βˆ– 𝐽) ↔ (2 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 ∈ 𝐽))
5040, 48, 49mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (β„• βˆ– 𝐽)
51 ne0i 4333 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ (β„• βˆ– 𝐽) β†’ (β„• βˆ– 𝐽) β‰  βˆ…)
52 dmxp 5926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„• βˆ– 𝐽) β‰  βˆ… β†’ dom ({0} Γ— (β„• βˆ– 𝐽)) = {0})
5350, 51, 52mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 dom ({0} Γ— (β„• βˆ– 𝐽)) = {0}
5439, 53eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 dom β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) = {0}
5554ineq1i 4207 . . . . . . . . . . 11 (dom β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) ∩ β„•) = ({0} ∩ β„•)
56 incom 4200 . . . . . . . . . . 11 (β„• ∩ {0}) = ({0} ∩ β„•)
57 0nnn 12244 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 0 ∈ β„•
58 disjsn 4714 . . . . . . . . . . . 12 ((β„• ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ β„•)
5957, 58mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (β„• ∩ {0}) = βˆ…
6055, 56, 593eqtr2i 2766 . . . . . . . . . 10 (dom β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) ∩ β„•) = βˆ…
61 imadisj 6076 . . . . . . . . . 10 ((β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) = βˆ… ↔ (dom β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) ∩ β„•) = βˆ…)
6260, 61mpbir 230 . . . . . . . . 9 (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) = βˆ…
63 0fin 9167 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ Fin
6462, 63eqeltri 2829 . . . . . . . 8 (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) ∈ Fin
65 unfi 9168 . . . . . . . 8 (((β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ ((β—‘π‘œ β€œ β„•) βˆͺ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•)) ∈ Fin)
6637, 64, 65sylancl 586 . . . . . . 7 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ ((β—‘π‘œ β€œ β„•) βˆͺ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•)) ∈ Fin)
6729, 66eqeltrid 2837 . . . . . 6 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) ∈ Fin)
68 cnvimass 6077 . . . . . . . . 9 (β—‘π‘œ β€œ β„•) βŠ† dom π‘œ
6968, 2fssdm 6734 . . . . . . . 8 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (β—‘π‘œ β€œ β„•) βŠ† 𝐽)
70 0ss 4395 . . . . . . . . . 10 βˆ… βŠ† 𝐽
7162, 70eqsstri 4015 . . . . . . . . 9 (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) βŠ† 𝐽
7271a1i 11 . . . . . . . 8 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•) βŠ† 𝐽)
7369, 72unssd 4185 . . . . . . 7 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ ((β—‘π‘œ β€œ β„•) βˆͺ (β—‘((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β€œ β„•)) βŠ† 𝐽)
7429, 73eqsstrid 4029 . . . . . 6 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) βŠ† 𝐽)
75 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
76 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
77 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
78 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
79 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
80 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
81 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
8275, 76, 77, 10, 78, 79, 80, 34, 81eulerpartlemt0 33356 . . . . . 6 ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘(π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
8325, 67, 74, 82syl3anbrc 1343 . . . . 5 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (𝑇 ∩ 𝑅))
84 resundir 5994 . . . . . 6 ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β†Ύ 𝐽) = ((π‘œ β†Ύ 𝐽) βˆͺ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽))
85 ffn 6714 . . . . . . . 8 (π‘œ:π½βŸΆβ„•0 β†’ π‘œ Fn 𝐽)
86 fnresdm 6666 . . . . . . . . 9 (π‘œ Fn 𝐽 β†’ (π‘œ β†Ύ 𝐽) = π‘œ)
87 disjdifr 4471 . . . . . . . . . . 11 ((β„• βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…
88 fnconstg 6776 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ β„•0 β†’ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) Fn (β„• βˆ– 𝐽))
89 fnresdisj 6667 . . . . . . . . . . . 12 (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) Fn (β„• βˆ– 𝐽) β†’ (((β„• βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ… ↔ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽) = βˆ…))
9015, 88, 89mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (((β„• βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ… ↔ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽) = βˆ…)
9187, 90mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽) = βˆ…
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘œ Fn 𝐽 β†’ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽) = βˆ…)
9386, 92uneq12d 4163 . . . . . . . 8 (π‘œ Fn 𝐽 β†’ ((π‘œ β†Ύ 𝐽) βˆͺ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽)) = (π‘œ βˆͺ βˆ…))
942, 85, 933syl 18 . . . . . . 7 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ ((π‘œ β†Ύ 𝐽) βˆͺ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽)) = (π‘œ βˆͺ βˆ…))
95 un0 4389 . . . . . . 7 (π‘œ βˆͺ βˆ…) = π‘œ
9694, 95eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ ((π‘œ β†Ύ 𝐽) βˆͺ (((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0}) β†Ύ 𝐽)) = π‘œ)
9784, 96eqtr2id 2785 . . . . 5 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ π‘œ = ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β†Ύ 𝐽))
98 reseq1 5973 . . . . . 6 (π‘š = (π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β†’ (π‘š β†Ύ 𝐽) = ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β†Ύ 𝐽))
9998rspceeqv 3632 . . . . 5 (((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = ((π‘œ βˆͺ ((β„• βˆ– 𝐽) Γ— {0})) β†Ύ 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽))
10083, 97, 99syl2anc 584 . . . 4 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽))
101 simpr 485 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽))
102 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅))
10375, 76, 77, 10, 78, 79, 80, 34, 81eulerpartlemt0 33356 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (π‘š ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘š β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
104102, 103sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘š ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘š β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
105104simp1d 1142 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘š ∈ (β„•0 ↑m β„•))
10622, 23elmap 8861 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ π‘š:β„•βŸΆβ„•0)
107105, 106sylib 217 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘š:β„•βŸΆβ„•0)
108 fssres 6754 . . . . . . . . 9 ((π‘š:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝐽 βŠ† β„•) β†’ (π‘š β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
109107, 12, 108sylancl 586 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘š β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
11010, 23rabex2 5333 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ V
11122, 110elmap 8861 . . . . . . . 8 ((π‘š β†Ύ 𝐽) ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ↔ (π‘š β†Ύ 𝐽):π½βŸΆβ„•0)
112109, 111sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘š β†Ύ 𝐽) ∈ (β„•0 ↑m 𝐽))
113101, 112eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽))
114 ffun 6717 . . . . . . . . . 10 (π‘š:β„•βŸΆβ„•0 β†’ Fun π‘š)
115 respreima 7064 . . . . . . . . . 10 (Fun π‘š β†’ (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•) = ((β—‘π‘š β€œ β„•) ∩ 𝐽))
116107, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•) = ((β—‘π‘š β€œ β„•) ∩ 𝐽))
117104simp2d 1143 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin)
118 infi 9264 . . . . . . . . . 10 ((β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin β†’ ((β—‘π‘š β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∈ Fin)
119117, 118syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ ((β—‘π‘š β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∈ Fin)
120116, 119eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•) ∈ Fin)
121 vex 3478 . . . . . . . . . 10 π‘š ∈ V
122121resex 6027 . . . . . . . . 9 (π‘š β†Ύ 𝐽) ∈ V
123 cnveq 5871 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (π‘š β†Ύ 𝐽) β†’ ◑𝑓 = β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽))
124123imaeq1d 6056 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (π‘š β†Ύ 𝐽) β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•))
125124eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (π‘š β†Ύ 𝐽) β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•) ∈ Fin))
126122, 125, 34elab2 3671 . . . . . . . 8 ((π‘š β†Ύ 𝐽) ∈ 𝑅 ↔ (β—‘(π‘š β†Ύ 𝐽) β€œ β„•) ∈ Fin)
127120, 126sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘š β†Ύ 𝐽) ∈ 𝑅)
128101, 127eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ π‘œ ∈ 𝑅)
129113, 128jca 512 . . . . 5 ((π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅))
130129rexlimiva 3147 . . . 4 (βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽) β†’ (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅))
131100, 130impbii 208 . . 3 ((π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽))
132131abbii 2802 . 2 {π‘œ ∣ (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅)} = {π‘œ ∣ βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)}
133 df-in 3954 . 2 ((β„•0 ↑m 𝐽) ∩ 𝑅) = {π‘œ ∣ (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∧ π‘œ ∈ 𝑅)}
134 eqid 2732 . . 3 (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ (π‘š β†Ύ 𝐽)) = (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ (π‘š β†Ύ 𝐽))
135134rnmpt 5952 . 2 ran (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ (π‘š β†Ύ 𝐽)) = {π‘œ ∣ βˆƒπ‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅)π‘œ = (π‘š β†Ύ 𝐽)}
136132, 133, 1353eqtr4i 2770 1 ((β„•0 ↑m 𝐽) ∩ 𝑅) = ran (π‘š ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ (π‘š β†Ύ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147  {copab 5209   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628   βˆ₯ cdvds 16193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-dvds 16194
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  33359
  Copyright terms: Public domain W3C validator