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Theorem eulerpartlemgs2 32980
Description: Lemma for eulerpart 32982: The 𝐺 function also preserves partition sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
eulerpart.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgs2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π΄)) = (π‘†β€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘Ÿ,𝐴,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐺,π‘˜   𝑛,𝐹,π‘œ,π‘₯,𝑦   π‘œ,𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑛,𝑀,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑓,𝑁,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑛,𝑂,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑃,𝑔,π‘˜,𝑛   𝑅,𝑓,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑓,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(𝑧,𝑔)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑇(𝑧,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑁(𝑦,𝑧,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘œ)

Proof of Theorem eulerpartlemgs2
Dummy variables 𝑑 π‘š 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6033 . . . . . . . 8 (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† dom (πΊβ€˜π΄)
2 eulerpart.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
3 eulerpart.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
4 eulerpart.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
5 eulerpart.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
6 eulerpart.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
7 eulerpart.h . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
8 eulerpart.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
9 eulerpart.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
10 eulerpart.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
11 eulerpart.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartgbij 32972 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
13 f1of 6784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
1514ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
16 elin 3926 . . . . . . . . . . 11 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↔ ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ 𝑅))
1715, 16sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ 𝑅))
1817simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•))
19 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
20 fdm 6677 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1} β†’ dom (πΊβ€˜π΄) = β„•)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ dom (πΊβ€˜π΄) = β„•)
221, 21sseqtrid 3996 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† β„•)
2322sselda 3944 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
242, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartlemgvv 32976 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0))
2524oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = (if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜))
2623, 25syldan 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)) β†’ (((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = (if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜))
2726sumeq2dv 15588 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)(((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)(if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜))
28 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = π‘˜ β†’ (((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š ↔ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜))
29282rexbidv 3213 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜))
3029elrab 3645 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜))
3130simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜)
3231iftrued 4494 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} β†’ if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) = 1)
3332oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} β†’ (if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜) = (1 Β· π‘˜))
34 elrabi 3639 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
3534nncnd 12169 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
3635mulid2d 11173 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} β†’ (1 Β· π‘˜) = π‘˜)
3733, 36eqtrd 2776 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} β†’ (if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜) = π‘˜)
3837sumeq2i 15584 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} (if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}π‘˜
39 id 22 . . . . . . 7 (π‘˜ = ((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)) β†’ π‘˜ = ((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)))
402, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartlemgf 32979 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
4134adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4241, 24syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0))
4331adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜)
4443iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) = 1)
4542, 44eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = 1)
46 1nn 12164 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„•
4745, 46eqeltrdi 2845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ β„•)
4818, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
49 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1} β†’ (πΊβ€˜π΄) Fn β„•)
50 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΊβ€˜π΄) Fn β„• β†’ (π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ β„•)))
5148, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ β„•)))
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ (π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ ((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ β„•)))
5341, 47, 52mpbir2and 711 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•))
5453ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} β†’ π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)))
5554ssrdv 3950 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•))
56 ssfi 9117 . . . . . . . . 9 (((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin ∧ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)) β†’ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} ∈ Fin)
5740, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} ∈ Fin)
58 cnvexg 7861 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ◑𝐴 ∈ V)
59 imaexg 7852 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐴 ∈ V β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ V)
60 inex1g 5276 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ V β†’ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∈ V)
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∈ V)
62 vsnex 5386 . . . . . . . . . . . 12 {𝑑} ∈ V
63 fvex 6855 . . . . . . . . . . . 12 (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∈ V
6462, 63xpex 7687 . . . . . . . . . . 11 ({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∈ V
6564rgenw 3068 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘‘ ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∈ V
66 iunexg 7896 . . . . . . . . . 10 ((((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∈ V ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∈ V)
6761, 65, 66sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∈ V)
68 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) = βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))
692, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 68eulerpartlemgh 32978 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))):βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))–1-1-ontoβ†’{π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})
70 f1oeng 8911 . . . . . . . . 9 ((βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))):βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))–1-1-ontoβ†’{π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) β‰ˆ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})
7167, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) β‰ˆ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})
72 enfii 9133 . . . . . . . 8 (({π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} ∈ Fin ∧ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) β‰ˆ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∈ Fin)
7357, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) ∈ Fin)
74 fvres 6861 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) β†’ ((𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))))β€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
7574adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))))β€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
76 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) βŠ† 𝐽
77 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽))
7876, 77sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐽)
7978snssd 4769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ {𝑑} βŠ† 𝐽)
80 bitsss 16306 . . . . . . . . . . . . 13 (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) βŠ† β„•0
81 xpss12 5648 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑑} βŠ† 𝐽 ∧ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) βŠ† β„•0) β†’ ({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0))
8279, 80, 81sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ ({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0))
8382ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0))
84 iunss 5005 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0))
8583, 84sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) βŠ† (𝐽 Γ— β„•0))
8685sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ— β„•0))
875, 6oddpwdcv 32955 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝐽 Γ— β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = ((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)))
8886, 87syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = ((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)))
8975, 88eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))))β€˜π‘€) = ((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)))
9041nncnd 12169 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
9139, 73, 69, 89, 90fsumf1o 15608 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}π‘˜ = Σ𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)))
9238, 91eqtrid 2788 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} (if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜) = Σ𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)))
93 ax-1cn 11109 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
94 0cn 11147 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
9593, 94ifcli 4533 . . . . . . . 8 if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) ∈ β„‚
9695a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) ∈ β„‚)
97 ssrab2 4037 . . . . . . . . 9 {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} βŠ† β„•
98 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})
9997, 98sselid 3942 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
10099nncnd 12169 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
10196, 100mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) β†’ (if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜) ∈ β„‚)
102 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})) β†’ π‘˜ ∈ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}))
103102eldifbd 3923 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})
10422ssdifssd 4102 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) βŠ† β„•)
105104sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
10630notbii 319 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} ↔ Β¬ (π‘˜ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜))
107 imnan 400 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜) ↔ Β¬ (π‘˜ ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜))
108106, 107sylbb2 237 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜))
109103, 105, 108sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})) β†’ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜)
110109iffalsed 4497 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})) β†’ if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) = 0)
111110oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})) β†’ (if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜) = (0 Β· π‘˜))
112 nnsscn 12158 . . . . . . . . . 10 β„• βŠ† β„‚
113104, 112sstrdi 3956 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š}) βŠ† β„‚)
114113sselda 3944 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
115114mul02d 11353 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})) β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
116111, 115eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ ((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βˆ– {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š})) β†’ (if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜) = 0)
11755, 101, 116, 40fsumss 15610 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘š ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘š} (if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)(if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜))
11892, 117eqtr3d 2778 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Σ𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)) = Ξ£π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)(if(βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = π‘˜, 1, 0) Β· π‘˜))
1192, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemt0 32969 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
120119simp1bi 1145 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•))
121 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
123122adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
124 cnvimass 6033 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† dom 𝐴
125124, 122fssdm 6688 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† β„•)
126125adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† β„•)
127 inss1 4188 . . . . . . . . . . . 12 ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) βŠ† (◑𝐴 β€œ β„•)
128127, 77sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ 𝑑 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•))
129126, 128sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
130123, 129ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ (π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
131 bitsfi 16317 . . . . . . . . 9 ((π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∈ Fin)
132130, 131syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)) ∈ Fin)
133129nncnd 12169 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
134 2cnd 12231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ 2 ∈ β„‚)
135 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))
13680, 135sselid 3942 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
137134, 136expcld 14051 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
138137anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
139132, 133, 138fsummulc1 15670 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))(2↑𝑛) Β· 𝑑) = Σ𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑))
140139sumeq2dv 15588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Σ𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)(Σ𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))(2↑𝑛) Β· 𝑑) = Σ𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)Σ𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑))
141 bitsinv1 16322 . . . . . . . . 9 ((π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0 β†’ Σ𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))(2↑𝑛) = (π΄β€˜π‘‘))
142141oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0 β†’ (Σ𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))(2↑𝑛) Β· 𝑑) = ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
143130, 142syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))(2↑𝑛) Β· 𝑑) = ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
144143sumeq2dv 15588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Σ𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)(Σ𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))(2↑𝑛) Β· 𝑑) = Σ𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
145 vex 3449 . . . . . . . . . 10 𝑑 ∈ V
146 vex 3449 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ V
147145, 146op2ndd 7932 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘€) = 𝑛)
148147oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© β†’ (2↑(2nd β€˜π‘€)) = (2↑𝑛))
149145, 146op1std 7931 . . . . . . . 8 (𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© β†’ (1st β€˜π‘€) = 𝑑)
150148, 149oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑀 = βŸ¨π‘‘, π‘›βŸ© β†’ ((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)) = ((2↑𝑛) Β· 𝑑))
151 inss2 4189 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∩ 𝑅) βŠ† 𝑅
152151sseli 3940 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴 ∈ 𝑅)
153 cnveq 5829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐴 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐴)
154153imaeq1d 6012 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐴 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐴 β€œ β„•))
155154eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐴 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
156155, 9elab2g 3632 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
157152, 156mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin)
158 ssfi 9117 . . . . . . . 8 (((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) βŠ† (◑𝐴 β€œ β„•)) β†’ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∈ Fin)
159157, 127, 158sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∈ Fin)
160133adantrr 715 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
161137, 160mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ (𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) ∧ 𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))) β†’ ((2↑𝑛) Β· 𝑑) ∈ β„‚)
162150, 159, 132, 161fsum2d 15656 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Σ𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)Σ𝑛 ∈ (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘))((2↑𝑛) Β· 𝑑) = Σ𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)))
163140, 144, 1623eqtr3d 2784 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Σ𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) = Σ𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)))
164 inss1 4188 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∩ 𝑅) βŠ† 𝑇
165164sseli 3940 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴 ∈ 𝑇)
166154sseq1d 3975 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐴 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
167166, 10elrab2 3648 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑇 ↔ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
168167simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽)
169165, 168syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽)
170 df-ss 3927 . . . . . . 7 ((◑𝐴 β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) = (◑𝐴 β€œ β„•))
171169, 170sylib 217 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽) = (◑𝐴 β€œ β„•))
172171sumeq1d 15586 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Σ𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
173163, 172eqtr3d 2778 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Σ𝑀 ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∩ 𝐽)({𝑑} Γ— (bitsβ€˜(π΄β€˜π‘‘)))((2↑(2nd β€˜π‘€)) Β· (1st β€˜π‘€)) = Σ𝑑 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
17427, 118, 1733eqtr2d 2782 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)(((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Σ𝑑 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
175 fveq2 6842 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑑 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘‘))
176 id 22 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑑 β†’ π‘˜ = 𝑑)
177175, 176oveq12d 7375 . . . 4 (π‘˜ = 𝑑 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
178177cbvsumv 15581 . . 3 Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Σ𝑑 ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑)
179174, 178eqtr4di 2794 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)(((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
180 0nn0 12428 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
181 1nn0 12429 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•0
182 prssi 4781 . . . . . . . 8 ((0 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ {0, 1} βŠ† β„•0)
183180, 181, 182mp2an 690 . . . . . . 7 {0, 1} βŠ† β„•0
184 fss 6685 . . . . . . 7 (((πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1} ∧ {0, 1} βŠ† β„•0) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„•0)
185183, 184mpan2 689 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1} β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„•0)
186 nn0ex 12419 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
187 nnex 12159 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
188186, 187elmap 8809 . . . . . . 7 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„•0)
189188biimpri 227 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„•0 β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (β„•0 ↑m β„•))
19019, 185, 1893syl 18 . . . . 5 ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (β„•0 ↑m β„•))
191190anim1i 615 . . . 4 (((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π΄) ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ 𝑅))
192 elin 3926 . . . 4 ((πΊβ€˜π΄) ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↔ ((πΊβ€˜π΄) ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ 𝑅))
193191, 16, 1923imtr4i 291 . . 3 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅))
194 eulerpart.s . . . 4 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
1959, 194eulerpartlemsv2 32958 . . 3 ((πΊβ€˜π΄) ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π΄)) = Ξ£π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)(((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
19615, 193, 1953syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π΄)) = Ξ£π‘˜ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•)(((πΊβ€˜π΄)β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
197120, 152elind 4154 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ 𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅))
1989, 194eulerpartlemsv2 32958 . . 3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
199197, 198syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ β„•)((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
200179, 196, 1993eqtr4d 2786 1 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π΄)) = (π‘†β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2713  βˆ€wral 3064  βˆƒwrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445   βˆ– cdif 3907   ∩ cin 3909   βŠ† wss 3910  βˆ…c0 4282  ifcif 4486  π’« cpw 4560  {csn 4586  {cpr 4588  βŸ¨cop 4592  βˆͺ ciun 4954   class class class wbr 5105  {copab 5167   ↦ cmpt 5188   Γ— cxp 5631  β—‘ccnv 5632  dom cdm 5633   β†Ύ cres 5635   β€œ cima 5636   ∘ ccom 5637   Fn wfn 6491  βŸΆwf 6492  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6495  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920   supp csupp 8092   ↑m cmap 8765   β‰ˆ cen 8880  Fincfn 8883  β„‚cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   Β· cmul 11056   ≀ cle 11190  β„•cn 12153  2c2 12208  β„•0cn0 12413  β†‘cexp 13967  Ξ£csu 15570   βˆ₯ cdvds 16136  bitscbits 16299  πŸ­cind 32609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-bits 16302  df-ind 32610
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  32981
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