Theorem fimacnvdisj 6586

Description: The preimage of a class disjoint with a mapping's codomain is empty. (Contributed by FL, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnvdisj	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (◡𝐹 “ 𝐶) = ∅)

Proof of Theorem fimacnvdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5551	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 = dom ◡𝐹
2		frn 6541	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	eqsstrrid 3940	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → dom ◡𝐹 ⊆ 𝐵)
5		ssdisj 4364	. . 3 ⊢ ((dom ◡𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
6	4, 5	sylancom 591	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
7		imadisj 5937	. 2 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐶) = ∅ ↔ (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
8	6, 7	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) = ∅) → (◡𝐹 “ 𝐶) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∩ cin 3856   ⊆ wss 3857  ∅c0 4227  ^◡ccnv 5539  dom cdm 5540  ran crn 5541   “ cima 5543  ⟶wf 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pr 5311

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3403  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-br 5044  df-opab 5106  df-xp 5546  df-cnv 5548  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-f 6373

This theorem is referenced by:  vdwmc2  16513  gsumval3a  19260  psrbag0  20992  mbfconstlem  24496  itg1val2  24553  ofpreima2  30695