Theorem mbfconstlem 25126

Description: Lemma for mbfconst 25132 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfconstlem	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfconstlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 6077	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶})
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶}))
3		cnvimarndm 6078	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) = dom (𝐴 × {𝐶})
4		fconst6g 6777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶𝐵)
5	4	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶𝐵)
6		frn 6721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶𝐵 → ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵)
7		imass2 6098	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵 → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
9	3, 8	eqsstrrid 4030	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) ⊆ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
10	2, 9	eqssd 3998	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = dom (𝐴 × {𝐶}))
11		fconstg 6775	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
12	11	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
13	12	fdmd 6725	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) = 𝐴)
14	10, 13	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = 𝐴)
15		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
16	14, 15	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
17	11	ad2antlr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
18		incom 4200	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ {𝐶})
19		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐵)
20		disjsn 4714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵)
21	19, 20	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅)
22	18, 21	eqtrid 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅)
23		fimacnvdisj 6766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶} ∧ ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
24	17, 22, 23	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
25		0mbl 25038	. . 3 ⊢ ∅ ∈ dom vol
26	24, 25	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
27	16, 26	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627   × cxp 5673  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   “ cima 5678  ⟶wf 6536  ℝcr 11105  volcvol 24962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20922  df-met 20923  df-ovol 24963  df-vol 24964

This theorem is referenced by:  ismbf  25127  mbfconst  25132