Theorem mbfconstlem 25619

Description: Lemma for mbfconst 25625 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfconstlem	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfconstlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 6041	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶})
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶}))
3		cnvimarndm 6042	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) = dom (𝐴 × {𝐶})
4		fconst6g 6723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶𝐵)
5	4	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶𝐵)
6		frn 6669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶𝐵 → ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵)
7		imass2 6061	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵 → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
9	3, 8	eqsstrrid 3961	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) ⊆ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
10	2, 9	eqssd 3939	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = dom (𝐴 × {𝐶}))
11		fconstg 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
12	11	ad2antlr 733	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
13	12	fdmd 6672	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) = 𝐴)
14	10, 13	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = 𝐴)
15		simpll 772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
16	14, 15	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
17	11	ad2antlr 733	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
18		incom 4145	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ {𝐶})
19		disjsn 4650	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵)
20	19	bilanri 507	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅)
21	18, 20	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅)
22		fimacnvdisj 6712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶} ∧ ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
23	17, 21, 22	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
24		0mbl 25531	. . 3 ⊢ ∅ ∈ dom vol
25	23, 24	eqeltrdi 2848	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
26	16, 25	pm2.61dan 818	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  ⟶wf 6488  ℝcr 11035  volcvol 25455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xadd 13062  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647  df-xmet 21347  df-met 21348  df-ovol 25456  df-vol 25457

This theorem is referenced by:  ismbf  25620  mbfconst  25625