MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconstlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfconstlem 25144
Description: Lemma for mbfconst 25150 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconstlem ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfconstlem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6081 . . . . . 6 ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶})
21a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶}))
3 cnvimarndm 6082 . . . . . 6 ((𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) = dom (𝐴 × {𝐶})
4 fconst6g 6781 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵 → (𝐴 × {𝐶}):𝐴𝐵)
54adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴𝐵)
6 frn 6725 . . . . . . 7 ((𝐴 × {𝐶}):𝐴𝐵 → ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵)
7 imass2 6102 . . . . . . 7 (ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵 → ((𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
93, 8eqsstrrid 4032 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) ⊆ ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
102, 9eqssd 4000 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = dom (𝐴 × {𝐶}))
11 fconstg 6779 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
1211ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
1312fdmd 6729 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) = 𝐴)
1410, 13eqtrd 2773 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = 𝐴)
15 simpll 766 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
1614, 15eqeltrd 2834 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
1711ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
18 incom 4202 . . . . 5 ({𝐶} ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ {𝐶})
19 simpr 486 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ¬ 𝐶𝐵)
20 disjsn 4716 . . . . . 6 ((𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶𝐵)
2119, 20sylibr 233 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅)
2218, 21eqtrid 2785 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅)
23 fimacnvdisj 6770 . . . 4 (((𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶} ∧ ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
2417, 22, 23syl2anc 585 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
25 0mbl 25056 . . 3 ∅ ∈ dom vol
2624, 25eqeltrdi 2842 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
2716, 26pm2.61dan 812 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3948  wss 3949  c0 4323  {csn 4629   × cxp 5675  ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  cima 5680  wf 6540  cr 11109  volcvol 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982
This theorem is referenced by:  ismbf  25145  mbfconst  25150
  Copyright terms: Public domain W3C validator