Theorem mbfconstlem 25662

Description: Lemma for mbfconst 25668 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfconstlem	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfconstlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 6100	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶})
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶}))
3		cnvimarndm 6101	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) = dom (𝐴 × {𝐶})
4		fconst6g 6797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶𝐵)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶𝐵)
6		frn 6743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶𝐵 → ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵)
7		imass2 6120	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵 → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
9	3, 8	eqsstrrid 4023	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) ⊆ (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
10	2, 9	eqssd 4001	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = dom (𝐴 × {𝐶}))
11		fconstg 6795	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
12	11	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
13	12	fdmd 6746	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) = 𝐴)
14	10, 13	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = 𝐴)
15		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
16	14, 15	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
17	11	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
18		incom 4209	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ {𝐶})
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐵)
20		disjsn 4711	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵)
21	19, 20	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅)
22	18, 21	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅)
23		fimacnvdisj 6786	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶} ∧ ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
24	17, 22, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
25		0mbl 25574	. . 3 ⊢ ∅ ∈ dom vol
26	24, 25	eqeltrdi 2849	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
27	16, 26	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626   × cxp 5683  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ℝcr 11154  volcvol 25498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500

This theorem is referenced by:  ismbf  25663  mbfconst  25668