MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconstlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfconstlem 25572
Description: Lemma for mbfconst 25578 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconstlem ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfconstlem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6080 . . . . . 6 ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶})
21a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶}))
3 cnvimarndm 6081 . . . . . 6 ((𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) = dom (𝐴 × {𝐶})
4 fconst6g 6780 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵 → (𝐴 × {𝐶}):𝐴𝐵)
54adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴𝐵)
6 frn 6723 . . . . . . 7 ((𝐴 × {𝐶}):𝐴𝐵 → ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵)
7 imass2 6101 . . . . . . 7 (ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵 → ((𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
93, 8eqsstrrid 4022 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) ⊆ ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
102, 9eqssd 3990 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = dom (𝐴 × {𝐶}))
11 fconstg 6778 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
1211ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
1312fdmd 6727 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) = 𝐴)
1410, 13eqtrd 2765 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = 𝐴)
15 simpll 765 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
1614, 15eqeltrd 2825 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
1711ad2antlr 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
18 incom 4195 . . . . 5 ({𝐶} ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ {𝐶})
19 simpr 483 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ¬ 𝐶𝐵)
20 disjsn 4711 . . . . . 6 ((𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶𝐵)
2119, 20sylibr 233 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅)
2218, 21eqtrid 2777 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅)
23 fimacnvdisj 6769 . . . 4 (((𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶} ∧ ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
2417, 22, 23syl2anc 582 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
25 0mbl 25484 . . 3 ∅ ∈ dom vol
2624, 25eqeltrdi 2833 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
2716, 26pm2.61dan 811 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3939  wss 3940  c0 4318  {csn 4624   × cxp 5670  ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673  cima 5675  wf 6538  cr 11135  volcvol 25408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xadd 13123  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-xmet 21274  df-met 21275  df-ovol 25409  df-vol 25410
This theorem is referenced by:  ismbf  25573  mbfconst  25578
  Copyright terms: Public domain W3C validator