MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconstlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfconstlem 23911
Description: Lemma for mbfconst 23917 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconstlem ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfconstlem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5825 . . . . . 6 ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶})
21a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ⊆ dom (𝐴 × {𝐶}))
3 cnvimarndm 5826 . . . . . 6 ((𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) = dom (𝐴 × {𝐶})
4 fconst6g 6436 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵 → (𝐴 × {𝐶}):𝐴𝐵)
54adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴𝐵)
6 frn 6388 . . . . . . 7 ((𝐴 × {𝐶}):𝐴𝐵 → ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵)
7 imass2 5841 . . . . . . 7 (ran (𝐴 × {𝐶}) ⊆ 𝐵 → ((𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ ran (𝐴 × {𝐶})) ⊆ ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
93, 8eqsstrrid 3937 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) ⊆ ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵))
102, 9eqssd 3906 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = dom (𝐴 × {𝐶}))
11 fconstg 6434 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
1211ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
1312fdmd 6391 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → dom (𝐴 × {𝐶}) = 𝐴)
1410, 13eqtrd 2831 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = 𝐴)
15 simpll 763 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
1614, 15eqeltrd 2883 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
1711ad2antlr 723 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶})
18 incom 4099 . . . . 5 ({𝐶} ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ {𝐶})
19 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ¬ 𝐶𝐵)
20 disjsn 4554 . . . . . 6 ((𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶𝐵)
2119, 20sylibr 235 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐵 ∩ {𝐶}) = ∅)
2218, 21syl5eq 2843 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅)
23 fimacnvdisj 6425 . . . 4 (((𝐴 × {𝐶}):𝐴⟶{𝐶} ∧ ({𝐶} ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
2417, 22, 23syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) = ∅)
25 0mbl 23823 . . 3 ∅ ∈ dom vol
2624, 25syl6eqel 2891 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
2716, 26pm2.61dan 809 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐶}) “ 𝐵) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  cin 3858  wss 3859  c0 4211  {csn 4472   × cxp 5441  ccnv 5442  dom cdm 5443  ran crn 5444  cima 5446  wf 6221  cr 10382  volcvol 23747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xadd 12358  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-xmet 20220  df-met 20221  df-ovol 23748  df-vol 23749
This theorem is referenced by:  ismbf  23912  mbfconst  23917
  Copyright terms: Public domain W3C validator