Theorem vdwmc2 16916

Description: Expand out the definition of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwmc.1	⊢ 𝑋 ∈ V
vdwmc.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
vdwmc.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
vdwmc2.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
vdwmc2	⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚,𝐹   𝐾,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑐   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑚)   𝑋(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem vdwmc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwmc.1	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
2		vdwmc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		vdwmc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
4	1, 2, 3	vdwmc 16915	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
5		vdwapid1 16912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑))
6	5	ne0d 4335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
7	6	3expb 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
8	7	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
9		ssn0 4400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ∧ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅)
10	9	expcom 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅ → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
12		disjsn 4715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐 ∈ 𝑅)
13	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
14		fimacnvdisj 6769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑅 ∧ (𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅) → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅)
15	14	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑅 → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
18	12, 17	biimtrrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑐 ∈ 𝑅 → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
19	18	necon1ad 2957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅ → 𝑐 ∈ 𝑅))
20	11, 19	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐 ∈ 𝑅))
21	20	rexlimdvva 3211	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐 ∈ 𝑅))
22	21	pm4.71rd 563	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
23	22	exbidv 1924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
24		df-rex 3071	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
25	23, 24	bitr4di 288	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
26		vdwmc2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
27	3, 26	ffvelcdmd 7087	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑅)
28	27	ne0d 4335	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
29		1nn 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
30	29	ne0ii 4337	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≠ ∅
31		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝐾 = 0)
32	31	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (AP‘𝐾) = (AP‘0))
33	32	oveqd 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = (𝑎(AP‘0)𝑑))
34		vdwap0 16913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
35	34	adantll 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
36	33, 35	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = ∅)
37		0ss 4396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})
38	36, 37	eqsstrdi 4036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
39	38	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
40		r19.2z 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
41	30, 39, 40	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
42	41	ralrimiva 3146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
43		r19.2z 4494	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
44	30, 42, 43	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
45	44	ralrimivw 3150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∀𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
46		r19.2z 4494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
47	28, 45, 46	syl2an2r 683	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
48		rexex 3076	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
49	47, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
50	49, 47	2thd 264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
51		elnn0 12478	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
52	2, 51	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
53	25, 50, 52	mpjaodan 957	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
54		vdwapval 16910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
55	54	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
56	2, 55	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
57	56	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
58	57	albidv 1923	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
59		dfss2 3968	. . . . 5 ⊢ ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
60		ralcom4 3283	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
61		ovex 7444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ V
62		eleq1 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
63	61, 62	ceqsalv 3511	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
64	63	ralbii 3093	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
65		r19.23v 3182	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
66	65	albii 1821	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
67	60, 64, 66	3bitr3i 300	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
68	58, 59, 67	3bitr4g 313	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
69	68	2rexbidva 3217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
70	69	rexbidv 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
71	4, 53, 70	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ...cfz 13488  APcvdwa 16902   MonoAP cvdwm 16903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-vdwap 16905  df-vdwmc 16906

This theorem is referenced by:  vdw  16931