Theorem vdwmc2 17034

Description: Expand out the definition of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwmc.1	⊢ 𝑋 ∈ V
vdwmc.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
vdwmc.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
vdwmc2.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
vdwmc2	⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚,𝐹   𝐾,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑐   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑚)   𝑋(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem vdwmc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwmc.1	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
2		vdwmc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		vdwmc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
4	1, 2, 3	vdwmc 17033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
5		vdwapid1 17030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑))
6	5	ne0d 4295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
7	6	3expb 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
8	7	adantll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
9		ssn0 4362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ∧ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅)
10	9	expcom 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅ → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
11	8, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
12		disjsn 4677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐 ∈ 𝑅)
13	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
14		fimacnvdisj 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑅 ∧ (𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅) → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅)
15	14	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑅 → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
16	13, 15	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
18	12, 17	biimtrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑐 ∈ 𝑅 → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
19	18	necon1ad 2975	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅ → 𝑐 ∈ 𝑅))
20	11, 19	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐 ∈ 𝑅))
21	20	rexlimdvva 3222	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐 ∈ 𝑅))
22	21	pm4.71rd 571	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
23	22	exbidv 1951	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
24		df-rex 3090	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
25	23, 24	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
26		vdwmc2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
27	3, 26	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑅)
28	27	ne0d 4295	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
29		1nn 12239	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
30	29	ne0ii 4297	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≠ ∅
31		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝐾 = 0)
32	31	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (AP‘𝐾) = (AP‘0))
33	32	oveqd 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = (𝑎(AP‘0)𝑑))
34		vdwap0 17031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
35	34	adantll 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
36	33, 35	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = ∅)
37		0ss 4357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})
38	36, 37	eqsstrdi 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
39	38	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
40		r19.2z 4460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
41	30, 39, 40	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
42	41	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
43		r19.2z 4460	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
44	30, 42, 43	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
45	44	ralrimivw 3161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∀𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
46		r19.2z 4460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
47	28, 45, 46	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
48		rexex 3095	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
49	47, 48	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
50	49, 47	2thd 268	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
51		elnn0 12501	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
52	2, 51	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
53	25, 50, 52	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
54		vdwapval 17028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
55	54	3expb 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
56	2, 55	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
57	56	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
58	57	albidv 1950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
59		df-ss 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
60		ralcom4 3291	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
61		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ V
62		eleq1 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
63	61, 62	ceqsalv 3494	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
64	63	ralbii 3111	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
65		r19.23v 3192	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
66	65	albii 1849	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
67	60, 64, 66	3bitr3i 304	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
68	58, 59, 67	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
69	68	2rexbidva 3228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
70	69	rexbidv 3189	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
71	4, 53, 70	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589   class class class wbr 5109  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  APcvdwa 17020   MonoAP cvdwm 17021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-vdwap 17023  df-vdwmc 17024

This theorem is referenced by:  vdw  17049