Theorem vdwmc2 16891

Description: Expand out the definition of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwmc.1	⊢ 𝑋 ∈ V
vdwmc.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
vdwmc.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
vdwmc2.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
vdwmc2	⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚,𝐹   𝐾,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑐   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑚)   𝑋(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem vdwmc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwmc.1	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
2		vdwmc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		vdwmc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
4	1, 2, 3	vdwmc 16890	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
5		vdwapid1 16887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑))
6	5	ne0d 4293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
7	6	3expb 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
8	7	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
9		ssn0 4355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ∧ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅)
10	9	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅ → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
12		disjsn 4663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐 ∈ 𝑅)
13	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
14		fimacnvdisj 6702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑅 ∧ (𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅) → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅)
15	14	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑅 → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
18	12, 17	biimtrrid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑐 ∈ 𝑅 → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
19	18	necon1ad 2942	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅ → 𝑐 ∈ 𝑅))
20	11, 19	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐 ∈ 𝑅))
21	20	rexlimdvva 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐 ∈ 𝑅))
22	21	pm4.71rd 562	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
23	22	exbidv 1921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
24		df-rex 3054	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
25	23, 24	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
26		vdwmc2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
27	3, 26	ffvelcdmd 7019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑅)
28	27	ne0d 4293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
29		1nn 12139	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
30	29	ne0ii 4295	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≠ ∅
31		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝐾 = 0)
32	31	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (AP‘𝐾) = (AP‘0))
33	32	oveqd 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = (𝑎(AP‘0)𝑑))
34		vdwap0 16888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
35	34	adantll 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
36	33, 35	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = ∅)
37		0ss 4351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})
38	36, 37	eqsstrdi 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
39	38	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
40		r19.2z 4446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
41	30, 39, 40	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
42	41	ralrimiva 3121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
43		r19.2z 4446	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
44	30, 42, 43	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
45	44	ralrimivw 3125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∀𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
46		r19.2z 4446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
47	28, 45, 46	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
48		rexex 3059	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
49	47, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
50	49, 47	2thd 265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
51		elnn0 12386	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
52	2, 51	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
53	25, 50, 52	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
54		vdwapval 16885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
55	54	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
56	2, 55	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
57	56	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
58	57	albidv 1920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
59		df-ss 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
60		ralcom4 3255	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
61		ovex 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ V
62		eleq1 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
63	61, 62	ceqsalv 3476	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
64	63	ralbii 3075	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
65		r19.23v 3156	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
66	65	albii 1819	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
67	60, 64, 66	3bitr3i 301	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
68	58, 59, 67	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
69	68	2rexbidva 3192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
70	69	rexbidv 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
71	4, 53, 70	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  {csn 4577   class class class wbr 5092  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ...cfz 13410  APcvdwa 16877   MonoAP cvdwm 16878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-vdwap 16880  df-vdwmc 16881

This theorem is referenced by:  vdw  16906