Theorem vdwmc2 16912

Description: Expand out the definition of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwmc.1	⊢ 𝑋 ∈ V
vdwmc.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
vdwmc.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
vdwmc2.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
vdwmc2	⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚,𝐹   𝐾,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑐   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑚)   𝑋(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem vdwmc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwmc.1	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
2		vdwmc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		vdwmc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
4	1, 2, 3	vdwmc 16911	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
5		vdwapid1 16908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑))
6	5	ne0d 4336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
7	6	3expb 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
8	7	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
9		ssn0 4401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ∧ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅)
10	9	expcom 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅ → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → (◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
12		disjsn 4716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐 ∈ 𝑅)
13	3	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑅)
14		fimacnvdisj 6770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑅 ∧ (𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅) → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅)
15	14	ex 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑅 → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
17	16	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
18	12, 17	biimtrrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑐 ∈ 𝑅 → (◡𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
19	18	necon1ad 2958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((◡𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅ → 𝑐 ∈ 𝑅))
20	11, 19	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐 ∈ 𝑅))
21	20	rexlimdvva 3212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐 ∈ 𝑅))
22	21	pm4.71rd 564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
23	22	exbidv 1925	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
24		df-rex 3072	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ 𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
25	23, 24	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
26		vdwmc2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
27	3, 26	ffvelcdmd 7088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑅)
28	27	ne0d 4336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
29		1nn 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
30	29	ne0ii 4338	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≠ ∅
31		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝐾 = 0)
32	31	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (AP‘𝐾) = (AP‘0))
33	32	oveqd 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = (𝑎(AP‘0)𝑑))
34		vdwap0 16909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
35	34	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
36	33, 35	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = ∅)
37		0ss 4397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})
38	36, 37	eqsstrdi 4037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
39	38	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
40		r19.2z 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
41	30, 39, 40	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
42	41	ralrimiva 3147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
43		r19.2z 4495	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
44	30, 42, 43	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
45	44	ralrimivw 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∀𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
46		r19.2z 4495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
47	28, 45, 46	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
48		rexex 3077	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
49	47, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
50	49, 47	2thd 265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
51		elnn0 12474	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
52	2, 51	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
53	25, 50, 52	mpjaodan 958	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
54		vdwapval 16906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
55	54	3expb 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
56	2, 55	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
57	56	imbi1d 342	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
58	57	albidv 1924	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))))
59		dfss2 3969	. . . . 5 ⊢ ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
60		ralcom4 3284	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
61		ovex 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ V
62		eleq1 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
63	61, 62	ceqsalv 3512	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
64	63	ralbii 3094	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
65		r19.23v 3183	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
66	65	albii 1822	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
67	60, 64, 66	3bitr3i 301	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
68	58, 59, 67	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
69	68	2rexbidva 3218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
70	69	rexbidv 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
71	4, 53, 70	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11444  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ...cfz 13484  APcvdwa 16898   MonoAP cvdwm 16899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-vdwap 16901  df-vdwmc 16902

This theorem is referenced by:  vdw  16927