MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwmc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwmc2 15962
Description: Expand out the definition of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwmc.1 𝑋 ∈ V
vdwmc.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
vdwmc.3 (𝜑𝐹:𝑋𝑅)
vdwmc2.4 (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
vdwmc2 (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚,𝐹   𝐾,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑐   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑚)   𝑋(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem vdwmc2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwmc.1 . . 3 𝑋 ∈ V
2 vdwmc.2 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
3 vdwmc.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋𝑅)
41, 2, 3vdwmc 15961 . 2 (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
5 vdwapid1 15958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑))
65ne0d 4086 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
763expb 1149 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
87adantll 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
9 ssn0 4138 . . . . . . . . . 10 (((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ∧ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅) → (𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅)
109expcom 402 . . . . . . . . 9 ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅ → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) → (𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) → (𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
12 disjsn 4402 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐𝑅)
133adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋𝑅)
14 fimacnvdisj 6265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋𝑅 ∧ (𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅) → (𝐹 “ {𝑐}) = ∅)
1514ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋𝑅 → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
1716adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
1812, 17syl5bir 234 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑐𝑅 → (𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
1918necon1ad 2954 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅ → 𝑐𝑅))
2011, 19syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐𝑅))
2120rexlimdvva 3185 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐𝑅))
2221pm4.71rd 558 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑐𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))))
2322exbidv 2016 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))))
24 df-rex 3061 . . . 4 (∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
2523, 24syl6bbr 280 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
26 vdwmc2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑋)
273, 26ffvelrnd 6550 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑅)
2827ne0d 4086 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
2928adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 = 0) → 𝑅 ≠ ∅)
30 1nn 11287 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
3130ne0ii 4088 . . . . . . . 8 ℕ ≠ ∅
32 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝐾 = 0)
3332fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (AP‘𝐾) = (AP‘0))
3433oveqd 6859 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = (𝑎(AP‘0)𝑑))
35 vdwap0 15959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
3635adantll 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
3734, 36eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = ∅)
38 0ss 4134 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ⊆ (𝐹 “ {𝑐})
3937, 38syl6eqss 3815 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4039ralrimiva 3113 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
41 r19.2z 4219 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4231, 40, 41sylancr 581 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4342ralrimiva 3113 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 = 0) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
44 r19.2z 4219 . . . . . . . 8 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4531, 43, 44sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4645ralrimivw 3114 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 = 0) → ∀𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
47 r19.2z 4219 . . . . . 6 ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4829, 46, 47syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝐾 = 0) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
49 rexex 3148 . . . . 5 (∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
5048, 49syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐾 = 0) → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
5150, 482thd 256 . . 3 ((𝜑𝐾 = 0) → (∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
52 elnn0 11540 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
532, 52sylib 209 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
5425, 51, 53mpjaodan 981 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
55 vdwapval 15956 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
56553expb 1149 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
572, 56sylan 575 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
5857imbi1d 332 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐}))))
5958albidv 2015 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐}))))
60 dfss2 3749 . . . . 5 ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
61 ralcom4 3377 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
62 ovex 6874 . . . . . . . 8 (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ V
63 eleq1 2832 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6462, 63ceqsalv 3386 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
6564ralbii 3127 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
66 r19.23v 3170 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6766albii 1914 . . . . . 6 (∀𝑥𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6861, 65, 673bitr3i 292 . . . . 5 (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6959, 60, 683bitr4g 305 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
70692rexbidva 3203 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
7170rexbidv 3199 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
724, 54, 713bitrd 296 1 (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107  wal 1650   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  c0 4079  {csn 4334   class class class wbr 4809  ccnv 5276  cima 5280  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  cn 11274  0cn0 11538  ...cfz 12533  APcvdwa 15948   MonoAP cvdwm 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-vdwap 15951  df-vdwmc 15952
This theorem is referenced by:  vdw  15977
  Copyright terms: Public domain W3C validator