MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwmc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwmc2 17017
Description: Expand out the definition of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwmc.1 𝑋 ∈ V
vdwmc.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
vdwmc.3 (𝜑𝐹:𝑋𝑅)
vdwmc2.4 (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
vdwmc2 (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑐,𝑑,𝑚,𝐹   𝐾,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚   𝜑,𝑐   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑚)   𝑋(𝑚,𝑎,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem vdwmc2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwmc.1 . . 3 𝑋 ∈ V
2 vdwmc.2 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
3 vdwmc.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋𝑅)
41, 2, 3vdwmc 17016 . 2 (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
5 vdwapid1 17013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑))
65ne0d 4342 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
763expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
87adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅)
9 ssn0 4404 . . . . . . . . . 10 (((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ∧ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅) → (𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅)
109expcom 413 . . . . . . . . 9 ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ≠ ∅ → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) → (𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) → (𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅))
12 disjsn 4711 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ ↔ ¬ 𝑐𝑅)
133adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋𝑅)
14 fimacnvdisj 6786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋𝑅 ∧ (𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅) → (𝐹 “ {𝑐}) = ∅)
1514ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋𝑅 → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑅 ∩ {𝑐}) = ∅ → (𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
1812, 17biimtrrid 243 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑐𝑅 → (𝐹 “ {𝑐}) = ∅))
1918necon1ad 2957 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝐹 “ {𝑐}) ≠ ∅ → 𝑐𝑅))
2011, 19syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐𝑅))
2120rexlimdvva 3213 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) → 𝑐𝑅))
2221pm4.71rd 562 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑐𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))))
2322exbidv 1921 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))))
24 df-rex 3071 . . . 4 (∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐(𝑐𝑅 ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
2523, 24bitr4di 289 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ) → (∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
26 vdwmc2.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
273, 26ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑅)
2827ne0d 4342 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
29 1nn 12277 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
3029ne0ii 4344 . . . . . . . 8 ℕ ≠ ∅
31 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝐾 = 0)
3231fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (AP‘𝐾) = (AP‘0))
3332oveqd 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = (𝑎(AP‘0)𝑑))
34 vdwap0 17014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
3534adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘0)𝑑) = ∅)
3633, 35eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) = ∅)
37 0ss 4400 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ⊆ (𝐹 “ {𝑐})
3836, 37eqsstrdi 4028 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
3938ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
40 r19.2z 4495 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4130, 39, 40sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐾 = 0) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4241ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 = 0) → ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
43 r19.2z 4495 . . . . . . . 8 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4430, 42, 43sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4544ralrimivw 3150 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 = 0) → ∀𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
46 r19.2z 4495 . . . . . 6 ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4728, 45, 46syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝜑𝐾 = 0) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
48 rexex 3076 . . . . 5 (∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
4947, 48syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐾 = 0) → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
5049, 472thd 265 . . 3 ((𝜑𝐾 = 0) → (∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
51 elnn0 12528 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
522, 51sylib 218 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
5325, 50, 52mpjaodan 961 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
54 vdwapval 17011 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
55543expb 1121 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
562, 55sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
5756imbi1d 341 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐}))))
5857albidv 1920 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐}))))
59 df-ss 3968 . . . . 5 ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
60 ralcom4 3286 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
61 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ V
62 eleq1 2829 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6361, 62ceqsalv 3521 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
6463ralbii 3093 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))∀𝑥(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
65 r19.23v 3183 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6665albii 1819 . . . . . 6 (∀𝑥𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6760, 64, 663bitr3i 301 . . . . 5 (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑥(∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6858, 59, 673bitr4g 314 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
69682rexbidva 3220 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
7069rexbidv 3179 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘𝐾)𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
714, 53, 703bitrd 305 1 (𝜑 → (𝐾 MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087  wal 1538   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  ...cfz 13547  APcvdwa 17003   MonoAP cvdwm 17004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-vdwap 17006  df-vdwmc 17007
This theorem is referenced by:  vdw  17032
  Copyright terms: Public domain W3C validator