Theorem itg1val2 25661

Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1val2	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem itg1val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1val 25660	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
3		simpr2 1197	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴)
4	3	sselda 3922	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		simpr3 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))
6	5	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
7		eldifi 4072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		i1fima2sn 25657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
11	6, 10	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 11166	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℂ)
14	4, 13	syldan 592	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℂ)
15		i1ff 25653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
16	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
17		ffrn 6675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
19		eldifn 4073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ¬ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
21		eldif 3900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {0}))
22		simplr3 1219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))
23	22	ssdifssd 4088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})))
25	23, 24	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
26		eldifn 4073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
28	27	biantrud 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {0})))
29	21, 28	bitr4id 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐹))
30	20, 29	mtbid 324	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝐹)
31		disjsn 4656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ ran 𝐹)
32	30, 31	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅)
33		fimacnvdisj 6712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ (ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅) → (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∅)
34	18, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∅)
35	34	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = (vol‘∅))
36		0mbl 25516	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ dom vol
37		mblvol 25507	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
39		ovol0 25470	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘∅) = 0
40	38, 39	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (vol‘∅) = 0
41	35, 40	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = 0)
42	41	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = (𝑥 · 0))
43		eldifi 4072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
44	43, 8	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
45	44	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
46	45	mul01d 11336	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · 0) = 0)
47	42, 46	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = 0)
48		simpr1 1196	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ Fin)
49	3, 14, 47, 48	fsumss 15678	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
50	2, 49	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   · cmul 11034  Σcsu 15639  vol*covol 25439  volcvol 25440  ∫₁citg1 25592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-xmet 21337  df-met 21338  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596  df-itg1 25597

This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25676  itg1climres  25691