Theorem itg1val2 25719

Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1val2	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem itg1val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1val 25718	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
3		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴)
4	3	sselda 3983	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))
6	5	sselda 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
7		eldifi 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		i1fima2sn 25715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
11	6, 10	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 11291	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11289	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℂ)
14	4, 13	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℂ)
15		i1ff 25711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
17		ffrn 6749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
19		eldifn 4132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ¬ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
21		eldif 3961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {0}))
22		simplr3 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))
23	22	ssdifssd 4147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})))
25	23, 24	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
26		eldifn 4132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
28	27	biantrud 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {0})))
29	21, 28	bitr4id 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐹))
30	20, 29	mtbid 324	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝐹)
31		disjsn 4711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ ran 𝐹)
32	30, 31	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅)
33		fimacnvdisj 6786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ (ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅) → (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∅)
34	18, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∅)
35	34	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = (vol‘∅))
36		0mbl 25574	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ dom vol
37		mblvol 25565	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
39		ovol0 25528	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘∅) = 0
40	38, 39	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ (vol‘∅) = 0
41	35, 40	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = 0)
42	41	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = (𝑥 · 0))
43		eldifi 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
44	43, 8	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
45	44	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
46	45	mul01d 11460	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · 0) = 0)
47	42, 46	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = 0)
48		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ Fin)
49	3, 14, 47, 48	fsumss 15761	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
50	2, 49	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  Σcsu 15722  vol*covol 25497  volcvol 25498  ∫₁citg1 25650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655

This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25734  itg1climres  25749