MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1val2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1val2 25568
Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1val2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem itg1val2
StepHypRef Expression
1 itg1val 25567 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
21adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
3 simpr2 1192 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴)
43sselda 3977 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
65sselda 3977 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}))
7 eldifi 4121 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9 i1fima2sn 25564 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
109adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
116, 10syldan 590 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
128, 11remulcld 11248 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
1312recnd 11246 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ β„‚)
144, 13syldan 590 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ β„‚)
15 i1ff 25560 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
17 ffrn 6725 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
19 eldifn 4122 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
2019adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
21 eldif 3953 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ↔ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {0}))
22 simplr3 1214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
2322ssdifssd 4137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})) βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})))
2523, 24sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}))
26 eldifn 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {0})
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {0})
2827biantrud 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ↔ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {0})))
2921, 28bitr4id 290 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ↔ π‘₯ ∈ ran 𝐹))
3020, 29mtbid 324 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
31 disjsn 4710 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
3230, 31sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (ran 𝐹 ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
33 fimacnvdisj 6763 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆran 𝐹 ∧ (ran 𝐹 ∩ {π‘₯}) = βˆ…) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = βˆ…)
3418, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = βˆ…)
3534fveq2d 6889 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (volβ€˜βˆ…))
36 0mbl 25423 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ dom vol
37 mblvol 25414 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7 (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…)
39 ovol0 25377 . . . . . . 7 (vol*β€˜βˆ…) = 0
4038, 39eqtri 2754 . . . . . 6 (volβ€˜βˆ…) = 0
4135, 40eqtrdi 2782 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = 0)
4241oveq2d 7421 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) = (π‘₯ Β· 0))
43 eldifi 4121 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
4443, 8sylan2 592 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4544recnd 11246 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4645mul01d 11417 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
4742, 46eqtrd 2766 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) = 0)
48 simpr1 1191 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
493, 14, 47, 48fsumss 15677 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
502, 49eqtrd 2766 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  Ξ£csu 15638  vol*covol 25346  volcvol 25347  βˆ«1citg1 25499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25583  itg1addlem4OLD  25584  itg1climres  25599
  Copyright terms: Public domain W3C validator