MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1val2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1val2 25641
Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1val2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem itg1val2
StepHypRef Expression
1 itg1val 25640 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
21adantr 479 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
3 simpr2 1192 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴)
43sselda 3982 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
65sselda 3982 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}))
7 eldifi 4127 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9 i1fima2sn 25637 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
109adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
116, 10syldan 589 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
128, 11remulcld 11284 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
1312recnd 11282 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ β„‚)
144, 13syldan 589 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ β„‚)
15 i1ff 25633 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
17 ffrn 6741 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
19 eldifn 4128 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
2019adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
21 eldif 3959 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ↔ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {0}))
22 simplr3 1214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
2322ssdifssd 4143 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})) βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
24 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})))
2523, 24sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}))
26 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {0})
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {0})
2827biantrud 530 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ↔ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {0})))
2921, 28bitr4id 289 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ↔ π‘₯ ∈ ran 𝐹))
3020, 29mtbid 323 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
31 disjsn 4720 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
3230, 31sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (ran 𝐹 ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
33 fimacnvdisj 6780 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆran 𝐹 ∧ (ran 𝐹 ∩ {π‘₯}) = βˆ…) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = βˆ…)
3418, 32, 33syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = βˆ…)
3534fveq2d 6906 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (volβ€˜βˆ…))
36 0mbl 25496 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ dom vol
37 mblvol 25487 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7 (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…)
39 ovol0 25450 . . . . . . 7 (vol*β€˜βˆ…) = 0
4038, 39eqtri 2756 . . . . . 6 (volβ€˜βˆ…) = 0
4135, 40eqtrdi 2784 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = 0)
4241oveq2d 7442 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) = (π‘₯ Β· 0))
43 eldifi 4127 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
4443, 8sylan2 591 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4544recnd 11282 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4645mul01d 11453 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
4742, 46eqtrd 2768 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) = 0)
48 simpr1 1191 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
493, 14, 47, 48fsumss 15713 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
502, 49eqtrd 2768 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  {csn 4632  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β€œ cima 5685  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148   Β· cmul 11153  Ξ£csu 15674  vol*covol 25419  volcvol 25420  βˆ«1citg1 25572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xadd 13135  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-xmet 21286  df-met 21287  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25656  itg1addlem4OLD  25657  itg1climres  25672
  Copyright terms: Public domain W3C validator