MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1val2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1val2 25208
Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1val2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem itg1val2
StepHypRef Expression
1 itg1val 25207 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
21adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
3 simpr2 1195 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴)
43sselda 3982 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
65sselda 3982 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}))
7 eldifi 4126 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9 i1fima2sn 25204 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
109adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
116, 10syldan 591 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
128, 11remulcld 11246 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
1312recnd 11244 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ β„‚)
144, 13syldan 591 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ β„‚)
15 i1ff 25200 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
17 ffrn 6731 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
19 eldifn 4127 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
2019adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
21 eldif 3958 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ↔ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {0}))
22 simplr3 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
2322ssdifssd 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})) βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})))
2523, 24sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}))
26 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– {0}) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {0})
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {0})
2827biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ↔ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {0})))
2921, 28bitr4id 289 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ↔ π‘₯ ∈ ran 𝐹))
3020, 29mtbid 323 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
31 disjsn 4715 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
3230, 31sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (ran 𝐹 ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
33 fimacnvdisj 6769 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆran 𝐹 ∧ (ran 𝐹 ∩ {π‘₯}) = βˆ…) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = βˆ…)
3418, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) = βˆ…)
3534fveq2d 6895 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (volβ€˜βˆ…))
36 0mbl 25063 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ dom vol
37 mblvol 25054 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7 (volβ€˜βˆ…) = (vol*β€˜βˆ…)
39 ovol0 25017 . . . . . . 7 (vol*β€˜βˆ…) = 0
4038, 39eqtri 2760 . . . . . 6 (volβ€˜βˆ…) = 0
4135, 40eqtrdi 2788 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = 0)
4241oveq2d 7427 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) = (π‘₯ Β· 0))
43 eldifi 4126 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
4443, 8sylan2 593 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4544recnd 11244 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4645mul01d 11415 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
4742, 46eqtrd 2772 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) = 0)
48 simpr1 1194 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
493, 14, 47, 48fsumss 15673 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
502, 49eqtrd 2772 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  Ξ£csu 15634  vol*covol 24986  volcvol 24987  βˆ«1citg1 25139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-xmet 20943  df-met 20944  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25223  itg1addlem4OLD  25224  itg1climres  25239
  Copyright terms: Public domain W3C validator