Theorem itg1val2 25048

Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1val2	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem itg1val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1val 25047	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
3		simpr2 1195	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴)
4	3	sselda 3944	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		simpr3 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))
6	5	sselda 3944	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
7		eldifi 4086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		i1fima2sn 25044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
11	6, 10	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11183	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℂ)
14	4, 13	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℂ)
15		i1ff 25040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
16	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
17		ffrn 6682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
19		eldifn 4087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ¬ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
21		eldif 3920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {0}))
22		simplr3 1217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))
23	22	ssdifssd 4102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
24		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})))
25	23, 24	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
26		eldifn 4087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
28	27	biantrud 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {0})))
29	21, 28	bitr4id 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐹))
30	20, 29	mtbid 323	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝐹)
31		disjsn 4672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ ran 𝐹)
32	30, 31	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅)
33		fimacnvdisj 6720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ (ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅) → (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∅)
34	18, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∅)
35	34	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = (vol‘∅))
36		0mbl 24903	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ dom vol
37		mblvol 24894	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
39		ovol0 24857	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘∅) = 0
40	38, 39	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (vol‘∅) = 0
41	35, 40	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = 0)
42	41	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = (𝑥 · 0))
43		eldifi 4086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
44	43, 8	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
45	44	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
46	45	mul01d 11354	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · 0) = 0)
47	42, 46	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = 0)
48		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ Fin)
49	3, 14, 47, 48	fsumss 15610	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
50	2, 49	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3907   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634   “ cima 5636  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  Σcsu 15570  vol*covol 24826  volcvol 24827  ∫₁citg1 24979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984

This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25063  itg1addlem4OLD  25064  itg1climres  25079