Theorem itg1val2 23956

Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1val2	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem itg1val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1val 23955	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
3		simpr2 1186	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴)
4	3	sselda 3884	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		simpr3 1187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))
6	5	sselda 3884	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
7		eldifi 4019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		i1fima2sn 23952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
11	6, 10	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 10506	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10504	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℂ)
14	4, 13	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℂ)
15		i1ff 23948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
16	15	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
17		ffrn 6386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
19		eldifn 4020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ¬ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
21		simplr3 1208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))
22	21	ssdifssd 4035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
23		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})))
24	22, 23	sseldd 3885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
25		eldifn 4020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
27	26	biantrud 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {0})))
28		eldif 3864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {0}))
29	27, 28	syl6rbbr 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐹))
30	20, 29	mtbid 325	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝐹)
31		disjsn 4548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ ran 𝐹)
32	30, 31	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅)
33		fimacnvdisj 6417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ (ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅) → (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∅)
34	18, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∅)
35	34	fveq2d 6534	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = (vol‘∅))
36		0mbl 23811	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ dom vol
37		mblvol 23802	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
39		ovol0 23765	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘∅) = 0
40	38, 39	eqtri 2817	. . . . . 6 ⊢ (vol‘∅) = 0
41	35, 40	syl6eq 2845	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = 0)
42	41	oveq2d 7023	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = (𝑥 · 0))
43		eldifi 4019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
44	43, 8	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
45	44	recnd 10504	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
46	45	mul01d 10675	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · 0) = 0)
47	42, 46	eqtrd 2829	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = 0)
48		simpr1 1185	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ Fin)
49	3, 14, 47, 48	fsumss 14903	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
50	2, 49	eqtrd 2829	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ∖ cdif 3851   ∩ cin 3853   ⊆ wss 3854  ∅c0 4206  {csn 4466  ^◡ccnv 5434  dom cdm 5435  ran crn 5436   “ cima 5438  ⟶wf 6213  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  Fincfn 8347  ℂcc 10370  ℝcr 10371  0cc0 10372   · cmul 10377  Σcsu 14864  vol*covol 23734  volcvol 23735  ∫₁citg1 23887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-dju 9165  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xadd 12347  df-ioo 12581  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-clim 14667  df-sum 14865  df-xmet 20208  df-met 20209  df-ovol 23736  df-vol 23737  df-mbf 23891  df-itg1 23892

This theorem is referenced by:  itg1addlem4  23971  itg1climres  23986