Theorem itg1val2 25656

Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1val2	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem itg1val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1val 25655	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
3		simpr2 1195	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴)
4	3	sselda 3963	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		simpr3 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))
6	5	sselda 3963	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
7		eldifi 4111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		i1fima2sn 25652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
11	6, 10	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 11273	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11271	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℂ)
14	4, 13	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℂ)
15		i1ff 25648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
17		ffrn 6729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
19		eldifn 4112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ¬ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
21		eldif 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {0}))
22		simplr3 1217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))
23	22	ssdifssd 4127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})))
25	23, 24	sseldd 3964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
26		eldifn 4112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
28	27	biantrud 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {0})))
29	21, 28	bitr4id 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐹))
30	20, 29	mtbid 324	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝐹)
31		disjsn 4691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ ran 𝐹)
32	30, 31	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅)
33		fimacnvdisj 6766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ran 𝐹 ∧ (ran 𝐹 ∩ {𝑥}) = ∅) → (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∅)
34	18, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (◡𝐹 “ {𝑥}) = ∅)
35	34	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = (vol‘∅))
36		0mbl 25511	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ dom vol
37		mblvol 25502	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (vol‘∅) = (vol*‘∅)
39		ovol0 25465	. . . . . . 7 ⊢ (vol*‘∅) = 0
40	38, 39	eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ (vol‘∅) = 0
41	35, 40	eqtrdi 2785	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = 0)
42	41	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = (𝑥 · 0))
43		eldifi 4111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
44	43, 8	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
45	44	recnd 11271	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
46	45	mul01d 11442	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · 0) = 0)
47	42, 46	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = 0)
48		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ Fin)
49	3, 14, 47, 48	fsumss 15744	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
50	2, 49	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (ℝ ∖ {0}))) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3928   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606  ^◡ccnv 5664  dom cdm 5665  ran crn 5666   “ cima 5668  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Fincfn 8967  ℂcc 11135  ℝcr 11136  0cc0 11137   · cmul 11142  Σcsu 15705  vol*covol 25434  volcvol 25435  ∫₁citg1 25587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-dju 9923  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xadd 13137  df-ioo 13373  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-sum 15706  df-xmet 21320  df-met 21321  df-ovol 25436  df-vol 25437  df-mbf 25591  df-itg1 25592

This theorem is referenced by:  itg1addlem4  25671  itg1climres  25686