Theorem psrbag0 22178

Description: The empty bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbag0	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12515	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	fconst6 6766	. . 3 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
3		c0ex 11196	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fconst 6762	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
5		incom 4170	. . . . . 6 ⊢ ({0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {0})
6		0nnn 12268	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
7		disjsn 4679	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℕ)
8	6, 7	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ∩ {0}) = ∅
9	5, 8	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ({0} ∩ ℕ) = ∅
10		fimacnvdisj 6754	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 × {0}):𝐼⟶{0} ∧ ({0} ∩ ℕ) = ∅) → (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) = ∅)
11	4, 9, 10	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) = ∅
12		0fi 9035	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
13	11, 12	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin
14	2, 13	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin)
15		psrbag0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16	15	psrbag 22032	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin)))
17	14, 16	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  {csn 4591   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6529  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  0cc0 11096  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-nn 12230  df-n0 12501

This theorem is referenced by:  mplascl  22180  subrgasclcl  22183  evlslem1  22198  tdeglem4  26182  mdegle0  26199  psrnzr  33843