Theorem psrbag0 22109

Description: The empty bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbag0	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12568	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	fconst6 6811	. . 3 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
3		c0ex 11284	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fconst 6807	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
5		incom 4230	. . . . . 6 ⊢ ({0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {0})
6		0nnn 12329	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
7		disjsn 4736	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℕ)
8	6, 7	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ∩ {0}) = ∅
9	5, 8	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ({0} ∩ ℕ) = ∅
10		fimacnvdisj 6799	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 × {0}):𝐼⟶{0} ∧ ({0} ∩ ℕ) = ∅) → (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) = ∅)
11	4, 9, 10	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) = ∅
12		0fi 9108	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
13	11, 12	eqeltri 2840	. . 3 ⊢ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin
14	2, 13	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin)
15		psrbag0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16	15	psrbag 21960	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin)))
17	14, 16	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  {csn 4648   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  0cc0 11184  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-nn 12294  df-n0 12554

This theorem is referenced by:  mplascl  22111  subrgasclcl  22114  evlslem1  22129  tdeglem4  26119  mdegle0  26136