Theorem psrbag0 19855

Description: The empty bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbag0	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11636	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	fconst6 6333	. . 3 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
3		c0ex 10351	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fconst 6329	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
5		incom 4033	. . . . . 6 ⊢ ({0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {0})
6		0nnn 11388	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
7		disjsn 4466	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℕ)
8	6, 7	mpbir 223	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ∩ {0}) = ∅
9	5, 8	eqtri 2850	. . . . 5 ⊢ ({0} ∩ ℕ) = ∅
10		fimacnvdisj 6321	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 × {0}):𝐼⟶{0} ∧ ({0} ∩ ℕ) = ∅) → (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) = ∅)
11	4, 9, 10	mp2an 685	. . . 4 ⊢ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) = ∅
12		0fin 8458	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
13	11, 12	eqeltri 2903	. . 3 ⊢ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin
14	2, 13	pm3.2i 464	. 2 ⊢ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin)
15		psrbag0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16	15	psrbag 19726	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin)))
17	14, 16	mpbiri 250	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {crab 3122   ∩ cin 3798  ∅c0 4145  {csn 4398   × cxp 5341  ^◡ccnv 5342   “ cima 5346  ⟶wf 6120  (class class class)co 6906   ↑_𝑚 cmap 8123  Fincfn 8223  0cc0 10253  ℕcn 11351  ℕ₀cn0 11619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-nn 11352  df-n0 11620

This theorem is referenced by:  mplascl  19857  subrgasclcl  19860  evlslem1  19876  tdeglem4  24220  mdegle0  24237