Theorem psrbag0 21615

Description: The empty bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbag0	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12484	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	fconst6 6779	. . 3 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
3		c0ex 11205	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fconst 6775	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
5		incom 4201	. . . . . 6 ⊢ ({0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {0})
6		0nnn 12245	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
7		disjsn 4715	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℕ)
8	6, 7	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ∩ {0}) = ∅
9	5, 8	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ({0} ∩ ℕ) = ∅
10		fimacnvdisj 6767	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 × {0}):𝐼⟶{0} ∧ ({0} ∩ ℕ) = ∅) → (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) = ∅)
11	4, 9, 10	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) = ∅
12		0fin 9168	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
13	11, 12	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin
14	2, 13	pm3.2i 472	. 2 ⊢ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin)
15		psrbag0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16	15	psrbag 21462	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin)))
17	14, 16	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ∩ cin 3947  ∅c0 4322  {csn 4628   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ⟶wf 6537  (class class class)co 7406   ↑_m cmap 8817  Fincfn 8936  0cc0 11107  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-nn 12210  df-n0 12470

This theorem is referenced by:  mplascl  21617  subrgasclcl  21620  evlslem1  21637  tdeglem4  25569  tdeglem4OLD  25570  mdegle0  25587