Theorem psrbag0 21998

Description: The empty bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbag0	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbag0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12396	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	fconst6 6713	. . 3 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
3		c0ex 11106	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fconst 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶{0}
5		incom 4159	. . . . . 6 ⊢ ({0} ∩ ℕ) = (ℕ ∩ {0})
6		0nnn 12161	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
7		disjsn 4664	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℕ)
8	6, 7	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ∩ {0}) = ∅
9	5, 8	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ({0} ∩ ℕ) = ∅
10		fimacnvdisj 6701	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 × {0}):𝐼⟶{0} ∧ ({0} ∩ ℕ) = ∅) → (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) = ∅)
11	4, 9, 10	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) = ∅
12		0fi 8964	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
13	11, 12	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin
14	2, 13	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin)
15		psrbag0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16	15	psrbag 21855	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐼 × {0}) “ ℕ) ∈ Fin)))
17	14, 16	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ∩ cin 3901  ∅c0 4283  {csn 4576   × cxp 5614  ^◡ccnv 5615   “ cima 5619  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  0cc0 11006  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-nn 12126  df-n0 12382

This theorem is referenced by:  mplascl  22000  subrgasclcl  22003  evlslem1  22018  tdeglem4  25993  mdegle0  26010