Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frinfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frinfm 35324
 Description: A subset of a well-founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
frinfm ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frinfm
StepHypRef Expression
1 fri 5485 . . . . 5 (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
21ancom1s 652 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐶) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
32exp43 440 . . 3 (𝑅 Fr 𝐴 → (𝐵𝐶 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))))
433imp2 1346 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
5 ssel2 3912 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
65adantrr 716 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥𝐴)
7 vex 3445 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
8 vex 3445 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
97, 8brcnv 5721 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
109biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
1110con3i 157 . . . . . . . . 9 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1211ralimi 3128 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1312ad2antll 728 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
14 breq2 5038 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
1514rspcev 3572 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
1615ex 416 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1716ralrimivw 3150 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1817ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
196, 13, 18jca32 519 . . . . . 6 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → (𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2019ex 416 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))))
2120reximdv2 3231 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2221adantl 485 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴) → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
23223ad2antr2 1186 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
244, 23mpd 15 1 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3883  ∅c0 4246   class class class wbr 5034   Fr wfr 5479  ◡ccnv 5522 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pr 5299 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3444  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-br 5035  df-opab 5097  df-fr 5482  df-cnv 5531 This theorem is referenced by:  welb  35325
 Copyright terms: Public domain W3C validator