Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frinfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frinfm 33953
Description: A subset of a well-founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
frinfm ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frinfm
StepHypRef Expression
1 fri 5239 . . . . 5 (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
21ancom1s 643 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐶) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
32exp43 427 . . 3 (𝑅 Fr 𝐴 → (𝐵𝐶 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))))
433imp2 1458 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
5 ssel2 3756 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
65adantrr 708 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥𝐴)
7 vex 3353 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
8 vex 3353 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
97, 8brcnv 5473 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
109biimpi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
1110con3i 151 . . . . . . . . 9 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1211ralimi 3099 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1312ad2antll 720 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
14 breq2 4813 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
1514rspcev 3461 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
1615ex 401 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1716ralrimivw 3114 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1817ad2antrl 719 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
196, 13, 18jca32 511 . . . . . 6 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → (𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2019ex 401 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))))
2120reximdv2 3160 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2221adantl 473 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴) → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
23223ad2antr2 1240 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
244, 23mpd 15 1 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809   Fr wfr 5233  ccnv 5276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-br 4810  df-opab 4872  df-fr 5236  df-cnv 5285
This theorem is referenced by:  welb  33954
  Copyright terms: Public domain W3C validator