Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frinfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frinfm 36651
Description: A subset of a well-founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
frinfm ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem frinfm
StepHypRef Expression
1 fri 5637 . . . . 5 (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
21ancom1s 652 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐶) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
32exp43 438 . . 3 (𝑅 Fr 𝐴 → (𝐵𝐶 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))))
433imp2 1350 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
5 ssel2 3978 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
65adantrr 716 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥𝐴)
7 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
8 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
97, 8brcnv 5883 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
109biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
1110con3i 154 . . . . . . . . 9 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1211ralimi 3084 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1312ad2antll 728 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
14 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
1514rspcev 3613 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
1615ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1716ralrimivw 3151 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1817ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
196, 13, 18jca32 517 . . . . . 6 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → (𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2019ex 414 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))))
2120reximdv2 3165 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2221adantl 483 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴) → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
23223ad2antr2 1190 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
244, 23mpd 15 1 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149   Fr wfr 5629  ccnv 5676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-fr 5632  df-cnv 5685
This theorem is referenced by:  welb  36652
  Copyright terms: Public domain W3C validator