Proof of Theorem frinfm
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fri 5512 |
. . . . 5
⊢ (((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) |
2 | 1 | ancom1s 653 |
. . . 4
⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) |
3 | 2 | exp43 440 |
. . 3
⊢ (𝑅 Fr 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))) |
4 | 3 | 3imp2 1351 |
. 2
⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) |
5 | | ssel2 3895 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
6 | 5 | adantrr 717 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
7 | | vex 3412 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑥 ∈ V |
8 | | vex 3412 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑦 ∈ V |
9 | 7, 8 | brcnv 5751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥) |
10 | 9 | biimpi 219 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) |
11 | 10 | con3i 157 |
. . . . . . . . 9
⊢ (¬
𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥◡𝑅𝑦) |
12 | 11 | ralimi 3083 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦) |
13 | 12 | ad2antll 729 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦) |
14 | | breq2 5057 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑦◡𝑅𝑥)) |
15 | 14 | rspcev 3537 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦◡𝑅𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧) |
16 | 15 | ex 416 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)) |
17 | 16 | ralrimivw 3106 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)) |
18 | 17 | ad2antrl 728 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)) |
19 | 6, 13, 18 | jca32 519 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))) |
20 | 19 | ex 416 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))) |
21 | 20 | reximdv2 3190 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))) |
22 | 21 | adantl 485 |
. . 3
⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))) |
23 | 22 | 3ad2antr2 1191 |
. 2
⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))) |
24 | 4, 23 | mpd 15 |
1
⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))) |