Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frinfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frinfm 37743
Description: A subset of a well-founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
frinfm ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem frinfm
StepHypRef Expression
1 fri 5641 . . . . 5 (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
21ancom1s 653 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐶) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
32exp43 436 . . 3 (𝑅 Fr 𝐴 → (𝐵𝐶 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))))
433imp2 1349 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
5 ssel2 3977 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
65adantrr 717 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥𝐴)
7 vex 3483 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
8 vex 3483 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
97, 8brcnv 5892 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
109biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
1110con3i 154 . . . . . . . . 9 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1211ralimi 3082 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1312ad2antll 729 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
14 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
1514rspcev 3621 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
1615ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1716ralrimivw 3149 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1817ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
196, 13, 18jca32 515 . . . . . 6 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)) → (𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2019ex 412 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (𝑥𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))))
2120reximdv2 3163 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2221adantl 481 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝐵𝐴) → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
23223ad2antr2 1189 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
244, 23mpd 15 1 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3950  c0 4332   class class class wbr 5142   Fr wfr 5633  ccnv 5683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-fr 5636  df-cnv 5692
This theorem is referenced by:  welb  37744
  Copyright terms: Public domain W3C validator