MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fri 5510
Description: Property of well-founded relation (one direction of definition). (Contributed by NM, 18-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
fri (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fri
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fr 5507 . . 3 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑧𝑦𝑧 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
2 sseq1 3990 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝐴𝐵𝐴))
3 neeq1 3076 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
42, 3anbi12d 632 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))
5 raleq 3404 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑦𝑧 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
65rexeqbi1dv 3403 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (∃𝑥𝑧𝑦𝑧 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
74, 6imbi12d 347 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → (((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑧𝑦𝑧 ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ((𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
87spcgv 3593 . . 3 (𝐵𝐶 → (∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑧𝑦𝑧 ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ((𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
91, 8syl5bi 244 . 2 (𝐵𝐶 → (𝑅 Fr 𝐴 → ((𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
109imp31 420 1 (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  wal 1528   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  wss 3934  c0 4289   class class class wbr 5057   Fr wfr 5504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-v 3495  df-in 3941  df-ss 3950  df-fr 5507
This theorem is referenced by:  frc  5514  fr2nr  5526  frminex  5528  wereu  5544  wereu2  5545  fr3nr  7486  frfi  8755  fimax2g  8756  fimin2g  8953  wofib  9001  wemapso  9007  wemapso2lem  9008  noinfep  9115  cflim2  9677  isfin1-3  9800  fin12  9827  fpwwe2lem12  10055  fpwwe2lem13  10056  fpwwe2  10057  bnj110  32118  frpomin  33066  frinfm  34992  fdc  35002  fnwe2lem2  39631
  Copyright terms: Public domain W3C validator