Theorem fri 5582

Description: A nonempty subset of an 𝑅-well-founded class has an 𝑅-minimal element (inference form). (Contributed by BJ, 16-Nov-2024.) (Proof shortened by BJ, 19-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fri	⊢ (((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem fri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Fr 𝐴)
2		simprl 771	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		simpll 767	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
4		simprr 773	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ≠ ∅)
5	1, 2, 3, 4	frd 5581	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   Fr wfr 5574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-v 3432  df-dif 3893  df-ss 3907  df-pw 4544  df-sn 4569  df-fr 5577

This theorem is referenced by:  frc  5587  fr2nr  5601  frminex  5603  wereu  5620  wereu2  5621  frpomin  6298  fr3nr  7719  frfi  9188  fimax2g  9189  fimin2g  9405  wofib  9453  wemapso  9459  wemapso2lem  9460  noinfep  9572  cflim2  10176  isfin1-3  10299  fin12  10326  fpwwe2lem11  10555  fpwwe2lem12  10556  fpwwe2  10557  bnj110  35016  frinfm  38070  fdc  38080  fnwe2lem2  43497  sswfaxreg  45432