MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fri 5642
Description: A nonempty subset of an 𝑅-well-founded class has an 𝑅-minimal element (inference form). (Contributed by BJ, 16-Nov-2024.) (Proof shortened by BJ, 19-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
fri (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem fri
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . 2 (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Fr 𝐴)
2 simprl 771 . 2 (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵𝐴)
3 simpll 767 . 2 (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵𝐶)
4 simprr 773 . 2 (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ≠ ∅)
51, 2, 3, 4frd 5641 1 (((𝐵𝐶𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   Fr wfr 5634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-v 3482  df-dif 3954  df-ss 3968  df-pw 4602  df-sn 4627  df-fr 5637
This theorem is referenced by:  frc  5648  fr2nr  5662  frminex  5664  wereu  5681  wereu2  5682  frpomin  6361  fr3nr  7792  frfi  9321  fimax2g  9322  fimin2g  9537  wofib  9585  wemapso  9591  wemapso2lem  9592  noinfep  9700  cflim2  10303  isfin1-3  10426  fin12  10453  fpwwe2lem11  10681  fpwwe2lem12  10682  fpwwe2  10683  bnj110  34872  frinfm  37742  fdc  37752  fnwe2lem2  43063  sswfaxreg  45004
  Copyright terms: Public domain W3C validator