Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  welb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem welb 36245
Description: A nonempty subset of a well-ordered set has a lower bound. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
welb ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem welb
StepHypRef Expression
1 wess 5624 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐵))
21impcom 409 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 We 𝐵)
3 weso 5628 . . . . 5 (𝑅 We 𝐵𝑅 Or 𝐵)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
5 cnvso 6244 . . . 4 (𝑅 Or 𝐵𝑅 Or 𝐵)
64, 5sylib 217 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
763ad2antr2 1190 . 2 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Or 𝐵)
8 wefr 5627 . . . . 5 (𝑅 We 𝐵𝑅 Fr 𝐵)
92, 8syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝐵𝐴) → 𝑅 Fr 𝐵)
1093ad2antr2 1190 . . 3 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Fr 𝐵)
11 ssidd 3971 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵𝐵)
12113anim2i 1154 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅))
1312adantl 483 . . 3 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅))
14 frinfm 36244 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐵𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1510, 13, 14syl2anc 585 . 2 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
167, 15jca 513 1 ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → (𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3914  c0 4286   class class class wbr 5109   Or wor 5548   Fr wfr 5589   We wwe 5591  ccnv 5636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5110  df-opab 5172  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-cnv 5645
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator