Theorem welb 38103

Description: A nonempty subset of a well-ordered set has a lower bound. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
welb	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (◡𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem welb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wess 5604	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 We 𝐵))
2	1	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 We 𝐵)
3		weso 5609	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐵 → 𝑅 Or 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
5		cnvso 6239	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 ↔ ◡𝑅 Or 𝐵)
6	4, 5	sylib 219	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ◡𝑅 Or 𝐵)
7	6	3ad2antr2 1196	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ◡𝑅 Or 𝐵)
8		wefr 5608	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐵 → 𝑅 Fr 𝐵)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐵)
10	9	3ad2antr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Fr 𝐵)
11		ssidd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
12	11	3anim2i 1159	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
13	12	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
14		frinfm 38102	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
15	10, 13, 14	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
16	7, 15	jca 516	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (◡𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   class class class wbr 5072   Or wor 5525   Fr wfr 5568   We wwe 5570  ^◡ccnv 5617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-cnv 5626

This theorem is referenced by: (None)