Theorem welb 37696

Description: A nonempty subset of a well-ordered set has a lower bound. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
welb	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (◡𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem welb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wess 5686	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 We 𝐵))
2	1	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 We 𝐵)
3		weso 5691	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐵 → 𝑅 Or 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
5		cnvso 6319	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 ↔ ◡𝑅 Or 𝐵)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ◡𝑅 Or 𝐵)
7	6	3ad2antr2 1189	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ◡𝑅 Or 𝐵)
8		wefr 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐵 → 𝑅 Fr 𝐵)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐵)
10	9	3ad2antr2 1189	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Fr 𝐵)
11		ssidd 4032	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
12	11	3anim2i 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
14		frinfm 37695	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
15	10, 13, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
16	7, 15	jca 511	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (◡𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166   Or wor 5606   Fr wfr 5649   We wwe 5651  ^◡ccnv 5699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-cnv 5708

This theorem is referenced by: (None)