Theorem welb 38445

Description: A nonempty subset of a well-ordered set has a lower bound. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
welb	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (◡𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem welb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wess 5649	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 We 𝐵))
2	1	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 We 𝐵)
3		weso 5654	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐵 → 𝑅 Or 𝐵)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
5		cnvso 6293	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 ↔ ◡𝑅 Or 𝐵)
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ◡𝑅 Or 𝐵)
7	6	3ad2antr2 1208	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ◡𝑅 Or 𝐵)
8		wefr 5653	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐵 → 𝑅 Fr 𝐵)
9	2, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐵)
10	9	3ad2antr2 1208	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝑅 Fr 𝐵)
11		ssidd 3961	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
12	11	3anim2i 1171	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
14		frinfm 38444	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
15	10, 13, 14	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
16	7, 15	jca 521	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (◡𝑅 Or 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   Or wor 5570   Fr wfr 5613   We wwe 5615  ^◡ccnv 5662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-cnv 5671

This theorem is used by: (None)