Theorem wfis2fg 6244

Description: Well-Ordered Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 17-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis2fg.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
wfis2fg.2	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis2fg.3	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis2fg	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem wfis2fg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5570	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3		weso 5571	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
4		sopo 5513	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8		wfis2fg.3	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
9		wfis2fg.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
10		wfis2fg.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
11	8, 9, 10	frpoins2fg 6232	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
12	2, 6, 7, 11	syl3anc 1369	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   Po wpo 5492   Or wor 5493   Fr wfr 5532   Se wse 5533   We wwe 5534  Predcpred 6190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191

This theorem is referenced by:  wfis2f  6246  wfis2g  6247