MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wfis2fg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wfis2fg 6310
Description: Well-Ordered Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 17-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
wfis2fg.1 𝑦𝜓
wfis2fg.2 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜓))
wfis2fg.3 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
wfis2fg ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem wfis2fg
StepHypRef Expression
1 wefr 5623 . . 3 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
21adantr 481 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3 weso 5624 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
4 sopo 5564 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
53, 4syl 17 . . 3 (𝑅 We 𝐴𝑅 Po 𝐴)
65adantr 481 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7 simpr 485 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8 wfis2fg.3 . . 3 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓𝜑))
9 wfis2fg.1 . . 3 𝑦𝜓
10 wfis2fg.2 . . 3 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜓))
118, 9, 10frpoins2fg 6298 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝜑)
122, 6, 7, 11syl3anc 1371 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wnf 1785  wcel 2106  wral 3064   Po wpo 5543   Or wor 5544   Fr wfr 5585   Se wse 5586   We wwe 5587  Predcpred 6252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-br 5106  df-opab 5168  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-cnv 5641  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253
This theorem is referenced by:  wfis2f  6312  wfis2g  6313
  Copyright terms: Public domain W3C validator