MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wfis2fg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wfis2fg 6379
Description: Well-Ordered Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 17-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
wfis2fg.1 𝑦𝜓
wfis2fg.2 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜓))
wfis2fg.3 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
wfis2fg ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem wfis2fg
StepHypRef Expression
1 wefr 5679 . . 3 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
21adantr 480 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3 weso 5680 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
4 sopo 5616 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
53, 4syl 17 . . 3 (𝑅 We 𝐴𝑅 Po 𝐴)
65adantr 480 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7 simpr 484 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8 wfis2fg.3 . . 3 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓𝜑))
9 wfis2fg.1 . . 3 𝑦𝜓
10 wfis2fg.2 . . 3 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜓))
118, 9, 10frpoins2fg 6367 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝜑)
122, 6, 7, 11syl3anc 1370 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059   Po wpo 5595   Or wor 5596   Fr wfr 5638   Se wse 5639   We wwe 5640  Predcpred 6322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323
This theorem is referenced by:  wfis2f  6381  wfis2g  6382
  Copyright terms: Public domain W3C validator