Theorem wfis2fg 6312

Description: Well-Ordered Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 17-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis2fg.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
wfis2fg.2	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis2fg.3	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis2fg	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem wfis2fg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5615	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3		weso 5616	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
4		sopo 5552	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8		wfis2fg.3	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
9		wfis2fg.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
10		wfis2fg.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
11	8, 9, 10	frpoins2fg 6303	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
12	2, 6, 7, 11	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   Po wpo 5531   Or wor 5532   Fr wfr 5575   Se wse 5576   We wwe 5577  Predcpred 6259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260

This theorem is referenced by:  wfis2f  6313  wfis2g  6314