Theorem ixpint 8671

Description: The intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpint	⊢ (𝐵 ≠ ∅ → X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 X𝑥 ∈ 𝐴 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ixpint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpeq2 8657	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 → X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦)
2		intiin 4985	. . . 4 ⊢ ∩ 𝐵 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐵 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦)
4	1, 3	mprg 3077	. 2 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦
5		ixpiin 8670	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 X𝑥 ∈ 𝐴 𝑦)
6	4, 5	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → X𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 X𝑥 ∈ 𝐴 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∅c0 4253  ∩ cint 4876  ∩ ciin 4922  Xcixp 8643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-fv 6426  df-ixp 8644

This theorem is referenced by: (None)