Home | Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 90 of 470) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | Metamath Proof Explorer
(1-29646) |
Hilbert Space Explorer
(29647-31169) |
Users' Mathboxes
(31170-46948) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | en1b 8901 | A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) Avoid ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 24-Sep-2024.) |
โข (๐ด โ 1o โ ๐ด = {โช ๐ด}) | ||
Theorem | en1bOLD 8902 | Obsolete version of en1b 8901 as of 24-Sep-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข (๐ด โ 1o โ ๐ด = {โช ๐ด}) | ||
Theorem | reuen1 8903* | Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.) |
โข (โ!๐ฅ โ ๐ด ๐ โ {๐ฅ โ ๐ด โฃ ๐} โ 1o) | ||
Theorem | euen1 8904 | Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.) |
โข (โ!๐ฅ๐ โ {๐ฅ โฃ ๐} โ 1o) | ||
Theorem | euen1b 8905* | Two ways to express "๐ด has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) |
โข (๐ด โ 1o โ โ!๐ฅ ๐ฅ โ ๐ด) | ||
Theorem | en1uniel 8906 | A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) Avoid ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 24-Sep-2024.) |
โข (๐ โ 1o โ โช ๐ โ ๐) | ||
Theorem | en1unielOLD 8907 | Obsolete version of en1uniel 8906 as of 24-Sep-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข (๐ โ 1o โ โช ๐ โ ๐) | ||
Theorem | 2dom 8908* | A set that dominates ordinal 2 has at least 2 different members. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.) |
โข (2o โผ ๐ด โ โ๐ฅ โ ๐ด โ๐ฆ โ ๐ด ยฌ ๐ฅ = ๐ฆ) | ||
Theorem | fundmen 8909 | A function is equinumerous to its domain. Exercise 4 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 28-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) |
โข ๐น โ V โ โข (Fun ๐น โ dom ๐น โ ๐น) | ||
Theorem | fundmeng 8910 | A function is equinumerous to its domain. Exercise 4 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 17-Sep-2013.) |
โข ((๐น โ ๐ โง Fun ๐น) โ dom ๐น โ ๐น) | ||
Theorem | cnven 8911 | A relational set is equinumerous to its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) |
โข ((Rel ๐ด โง ๐ด โ ๐) โ ๐ด โ โก๐ด) | ||
Theorem | cnvct 8912 | If a set is countable, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.) |
โข (๐ด โผ ฯ โ โก๐ด โผ ฯ) | ||
Theorem | fndmeng 8913 | A function is equinumerate to its domain. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข ((๐น Fn ๐ด โง ๐ด โ ๐ถ) โ ๐ด โ ๐น) | ||
Theorem | mapsnend 8914 | Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐) โ โข (๐ โ (๐ด โm {๐ต}) โ ๐ด) | ||
Theorem | mapsnen 8915 | Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ต โ V โ โข (๐ด โm {๐ต}) โ ๐ด | ||
Theorem | snmapen 8916 | Set exponentiation: a singleton to any set is equinumerous to that singleton. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by AV, 17-Jul-2022.) |
โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ ({๐ด} โm ๐ต) โ {๐ด}) | ||
Theorem | snmapen1 8917 | Set exponentiation: a singleton to any set is equinumerous to ordinal 1. (Proposed by BJ, 17-Jul-2022.) (Contributed by AV, 17-Jul-2022.) |
โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ ({๐ด} โm ๐ต) โ 1o) | ||
Theorem | map1 8918 | Set exponentiation: ordinal 1 to any set is equinumerous to ordinal 1. Exercise 4.42(b) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.) |
โข (๐ด โ ๐ โ (1o โm ๐ด) โ 1o) | ||
Theorem | en2sn 8919 | Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) Avoid ax-pow 5319. (Revised by BTernaryTau, 31-Jul-2024.) Avoid ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 25-Sep-2024.) |
โข ((๐ด โ ๐ถ โง ๐ต โ ๐ท) โ {๐ด} โ {๐ต}) | ||
Theorem | en2snOLD 8920 | Obsolete version of en2sn 8919 as of 25-Sep-2024. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) Avoid ax-pow 5319. (Revised by BTernaryTau, 31-Jul-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข ((๐ด โ ๐ถ โง ๐ต โ ๐ท) โ {๐ด} โ {๐ต}) | ||
Theorem | en2snOLDOLD 8921 | Obsolete version of en2sn 8919 as of 31-Jul-2024. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข ((๐ด โ ๐ถ โง ๐ต โ ๐ท) โ {๐ด} โ {๐ต}) | ||
Theorem | snfi 8922 | A singleton is finite. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) |
โข {๐ด} โ Fin | ||
Theorem | fiprc 8923 | The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.) |
โข Fin โ V | ||
Theorem | unen 8924 | Equinumerosity of union of disjoint sets. Theorem 4 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) |
โข (((๐ด โ ๐ต โง ๐ถ โ ๐ท) โง ((๐ด โฉ ๐ถ) = โ โง (๐ต โฉ ๐ท) = โ )) โ (๐ด โช ๐ถ) โ (๐ต โช ๐ท)) | ||
Theorem | enrefnn 8925 | Equinumerosity is reflexive for finite ordinals, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike enrefg 8858). (Contributed by BTernaryTau, 31-Jul-2024.) |
โข (๐ด โ ฯ โ ๐ด โ ๐ด) | ||
Theorem | en2prd 8926 | Two unordered pairs are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 23-Dec-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ท โ ๐) & โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ท) โ โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} โ {๐ถ, ๐ท}) | ||
Theorem | enpr2d 8927 | A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 23-Dec-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐ถ) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐ท) & โข (๐ โ ยฌ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} โ 2o) | ||
Theorem | enpr2dOLD 8928 | Obsolete version of enpr2d 8927 as of 23-Dec-2024. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐ถ) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐ท) & โข (๐ โ ยฌ ๐ด = ๐ต) โ โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} โ 2o) | ||
Theorem | ssct 8929 | Any subset of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.) Avoid ax-pow 5319, ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 7-Dec-2024.) |
โข ((๐ด โ ๐ต โง ๐ต โผ ฯ) โ ๐ด โผ ฯ) | ||
Theorem | ssctOLD 8930 | Obsolete version of ssct 8929 as of 7-Dec-2024. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข ((๐ด โ ๐ต โง ๐ต โผ ฯ) โ ๐ด โผ ฯ) | ||
Theorem | difsnen 8931 | All decrements of a set are equinumerous. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) |
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ (๐ โ {๐ด}) โ (๐ โ {๐ต})) | ||
Theorem | domdifsn 8932 | Dominance over a set with one element removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.) |
โข (๐ด โบ ๐ต โ ๐ด โผ (๐ต โ {๐ถ})) | ||
Theorem | xpsnen 8933 | A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton. Proposition 4.22(c) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ต โ V โ โข (๐ด ร {๐ต}) โ ๐ด | ||
Theorem | xpsneng 8934 | A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton. Proposition 4.22(c) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) |
โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ (๐ด ร {๐ต}) โ ๐ด) | ||
Theorem | xp1en 8935 | One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) |
โข (๐ด โ ๐ โ (๐ด ร 1o) โ ๐ด) | ||
Theorem | endisj 8936* | Any two sets are equinumerous to two disjoint sets. Exercise 4.39 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 16-Apr-2004.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ต โ V โ โข โ๐ฅโ๐ฆ((๐ฅ โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ต) โง (๐ฅ โฉ ๐ฆ) = โ ) | ||
Theorem | undom 8937 | Dominance law for union. Proposition 4.24(a) of [Mendelson] p. 257. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5319. (Revised by BTernaryTau, 4-Dec-2024.) |
โข (((๐ด โผ ๐ต โง ๐ถ โผ ๐ท) โง (๐ต โฉ ๐ท) = โ ) โ (๐ด โช ๐ถ) โผ (๐ต โช ๐ท)) | ||
Theorem | undomOLD 8938 | Obsolete version of undom 8937 as of 4-Dec-2024. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข (((๐ด โผ ๐ต โง ๐ถ โผ ๐ท) โง (๐ต โฉ ๐ท) = โ ) โ (๐ด โช ๐ถ) โผ (๐ต โช ๐ท)) | ||
Theorem | xpcomf1o 8939* | The canonical bijection from (๐ด ร ๐ต) to (๐ต ร ๐ด). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.) |
โข ๐น = (๐ฅ โ (๐ด ร ๐ต) โฆ โช โก{๐ฅ}) โ โข ๐น:(๐ด ร ๐ต)โ1-1-ontoโ(๐ต ร ๐ด) | ||
Theorem | xpcomco 8940* | Composition with the bijection of xpcomf1o 8939 swaps the arguments to a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) |
โข ๐น = (๐ฅ โ (๐ด ร ๐ต) โฆ โช โก{๐ฅ}) & โข ๐บ = (๐ฆ โ ๐ต, ๐ง โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ โข (๐บ โ ๐น) = (๐ง โ ๐ด, ๐ฆ โ ๐ต โฆ ๐ถ) | ||
Theorem | xpcomen 8941 | Commutative law for equinumerosity of Cartesian product. Proposition 4.22(d) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 5-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ต โ V โ โข (๐ด ร ๐ต) โ (๐ต ร ๐ด) | ||
Theorem | xpcomeng 8942 | Commutative law for equinumerosity of Cartesian product. Proposition 4.22(d) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 27-Mar-2006.) |
โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ (๐ด ร ๐ต) โ (๐ต ร ๐ด)) | ||
Theorem | xpsnen2g 8943 | A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.) |
โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ ({๐ด} ร ๐ต) โ ๐ต) | ||
Theorem | xpassen 8944 | Associative law for equinumerosity of Cartesian product. Proposition 4.22(e) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 22-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ต โ V & โข ๐ถ โ V โ โข ((๐ด ร ๐ต) ร ๐ถ) โ (๐ด ร (๐ต ร ๐ถ)) | ||
Theorem | xpdom2 8945 | Dominance law for Cartesian product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) |
โข ๐ถ โ V โ โข (๐ด โผ ๐ต โ (๐ถ ร ๐ด) โผ (๐ถ ร ๐ต)) | ||
Theorem | xpdom2g 8946 | Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) |
โข ((๐ถ โ ๐ โง ๐ด โผ ๐ต) โ (๐ถ ร ๐ด) โผ (๐ถ ร ๐ต)) | ||
Theorem | xpdom1g 8947 | Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) |
โข ((๐ถ โ ๐ โง ๐ด โผ ๐ต) โ (๐ด ร ๐ถ) โผ (๐ต ร ๐ถ)) | ||
Theorem | xpdom3 8948 | A set is dominated by its Cartesian product with a nonempty set. Exercise 6 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) |
โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ โง ๐ต โ โ ) โ ๐ด โผ (๐ด ร ๐ต)) | ||
Theorem | xpdom1 8949 | Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by NM, 29-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.) |
โข ๐ถ โ V โ โข (๐ด โผ ๐ต โ (๐ด ร ๐ถ) โผ (๐ต ร ๐ถ)) | ||
Theorem | domunsncan 8950 | A singleton cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ต โ V โ โข ((ยฌ ๐ด โ ๐ โง ยฌ ๐ต โ ๐) โ (({๐ด} โช ๐) โผ ({๐ต} โช ๐) โ ๐ โผ ๐)) | ||
Theorem | omxpenlem 8951* | Lemma for omxpen 8952. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-May-2015.) |
โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ต, ๐ฆ โ ๐ด โฆ ((๐ด ยทo ๐ฅ) +o ๐ฆ)) โ โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ ๐น:(๐ต ร ๐ด)โ1-1-ontoโ(๐ด ยทo ๐ต)) | ||
Theorem | omxpen 8952 | The cardinal and ordinal products are always equinumerous. Exercise 10 of [TakeutiZaring] p. 89. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) |
โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ (๐ด ร ๐ต)) | ||
Theorem | omf1o 8953* | Construct an explicit bijection from ๐ด ยทo ๐ต to ๐ต ยทo ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) |
โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ต, ๐ฆ โ ๐ด โฆ ((๐ด ยทo ๐ฅ) +o ๐ฆ)) & โข ๐บ = (๐ฅ โ ๐ต, ๐ฆ โ ๐ด โฆ ((๐ต ยทo ๐ฆ) +o ๐ฅ)) โ โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐บ โ โก๐น):(๐ด ยทo ๐ต)โ1-1-ontoโ(๐ต ยทo ๐ด)) | ||
Theorem | pw2f1olem 8954* | Lemma for pw2f1o 8955. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐ถ) โ โข (๐ โ ((๐ โ ๐ซ ๐ด โง ๐บ = (๐ง โ ๐ด โฆ if(๐ง โ ๐, ๐ถ, ๐ต))) โ (๐บ โ ({๐ต, ๐ถ} โm ๐ด) โง ๐ = (โก๐บ โ {๐ถ})))) | ||
Theorem | pw2f1o 8955* | The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with an unordered pair base of ordinal 2. Generalized from Proposition 10.44 of [TakeutiZaring] p. 96. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐ถ) & โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ซ ๐ด โฆ (๐ง โ ๐ด โฆ if(๐ง โ ๐ฅ, ๐ถ, ๐ต))) โ โข (๐ โ ๐น:๐ซ ๐ดโ1-1-ontoโ({๐ต, ๐ถ} โm ๐ด)) | ||
Theorem | pw2eng 8956 | The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2o. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) |
โข (๐ด โ ๐ โ ๐ซ ๐ด โ (2o โm ๐ด)) | ||
Theorem | pw2en 8957 | The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2. Proposition 10.44 of [TakeutiZaring] p. 96. This is Metamath 100 proof #52. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) |
โข ๐ด โ V โ โข ๐ซ ๐ด โ (2o โm ๐ด) | ||
Theorem | fopwdom 8958 | Covering implies injection on power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.) |
โข ((๐น โ ๐ โง ๐น:๐ดโontoโ๐ต) โ ๐ซ ๐ต โผ ๐ซ ๐ด) | ||
Theorem | enfixsn 8959* | Given two equipollent sets, a bijection can always be chosen which fixes a single point. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.) |
โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ โ๐(๐:๐โ1-1-ontoโ๐ โง (๐โ๐ด) = ๐ต)) | ||
Theorem | sucdom2OLD 8960 | Obsolete version of sucdom2 9084 as of 4-Dec-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข (๐ด โบ ๐ต โ suc ๐ด โผ ๐ต) | ||
Theorem | sbthlem1 8961* | Lemma for sbth 8971. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ท = {๐ฅ โฃ (๐ฅ โ ๐ด โง (๐ โ (๐ต โ (๐ โ ๐ฅ))) โ (๐ด โ ๐ฅ))} โ โข โช ๐ท โ (๐ด โ (๐ โ (๐ต โ (๐ โ โช ๐ท)))) | ||
Theorem | sbthlem2 8962* | Lemma for sbth 8971. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ท = {๐ฅ โฃ (๐ฅ โ ๐ด โง (๐ โ (๐ต โ (๐ โ ๐ฅ))) โ (๐ด โ ๐ฅ))} โ โข (ran ๐ โ ๐ด โ (๐ด โ (๐ โ (๐ต โ (๐ โ โช ๐ท)))) โ โช ๐ท) | ||
Theorem | sbthlem3 8963* | Lemma for sbth 8971. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ท = {๐ฅ โฃ (๐ฅ โ ๐ด โง (๐ โ (๐ต โ (๐ โ ๐ฅ))) โ (๐ด โ ๐ฅ))} โ โข (ran ๐ โ ๐ด โ (๐ โ (๐ต โ (๐ โ โช ๐ท))) = (๐ด โ โช ๐ท)) | ||
Theorem | sbthlem4 8964* | Lemma for sbth 8971. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ท = {๐ฅ โฃ (๐ฅ โ ๐ด โง (๐ โ (๐ต โ (๐ โ ๐ฅ))) โ (๐ด โ ๐ฅ))} โ โข (((dom ๐ = ๐ต โง ran ๐ โ ๐ด) โง Fun โก๐) โ (โก๐ โ (๐ด โ โช ๐ท)) = (๐ต โ (๐ โ โช ๐ท))) | ||
Theorem | sbthlem5 8965* | Lemma for sbth 8971. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ท = {๐ฅ โฃ (๐ฅ โ ๐ด โง (๐ โ (๐ต โ (๐ โ ๐ฅ))) โ (๐ด โ ๐ฅ))} & โข ๐ป = ((๐ โพ โช ๐ท) โช (โก๐ โพ (๐ด โ โช ๐ท))) โ โข ((dom ๐ = ๐ด โง ran ๐ โ ๐ด) โ dom ๐ป = ๐ด) | ||
Theorem | sbthlem6 8966* | Lemma for sbth 8971. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ท = {๐ฅ โฃ (๐ฅ โ ๐ด โง (๐ โ (๐ต โ (๐ โ ๐ฅ))) โ (๐ด โ ๐ฅ))} & โข ๐ป = ((๐ โพ โช ๐ท) โช (โก๐ โพ (๐ด โ โช ๐ท))) โ โข ((ran ๐ โ ๐ต โง ((dom ๐ = ๐ต โง ran ๐ โ ๐ด) โง Fun โก๐)) โ ran ๐ป = ๐ต) | ||
Theorem | sbthlem7 8967* | Lemma for sbth 8971. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ท = {๐ฅ โฃ (๐ฅ โ ๐ด โง (๐ โ (๐ต โ (๐ โ ๐ฅ))) โ (๐ด โ ๐ฅ))} & โข ๐ป = ((๐ โพ โช ๐ท) โช (โก๐ โพ (๐ด โ โช ๐ท))) โ โข ((Fun ๐ โง Fun โก๐) โ Fun ๐ป) | ||
Theorem | sbthlem8 8968* | Lemma for sbth 8971. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ท = {๐ฅ โฃ (๐ฅ โ ๐ด โง (๐ โ (๐ต โ (๐ โ ๐ฅ))) โ (๐ด โ ๐ฅ))} & โข ๐ป = ((๐ โพ โช ๐ท) โช (โก๐ โพ (๐ด โ โช ๐ท))) โ โข ((Fun โก๐ โง (((Fun ๐ โง dom ๐ = ๐ต) โง ran ๐ โ ๐ด) โง Fun โก๐)) โ Fun โก๐ป) | ||
Theorem | sbthlem9 8969* | Lemma for sbth 8971. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ท = {๐ฅ โฃ (๐ฅ โ ๐ด โง (๐ โ (๐ต โ (๐ โ ๐ฅ))) โ (๐ด โ ๐ฅ))} & โข ๐ป = ((๐ โพ โช ๐ท) โช (โก๐ โพ (๐ด โ โช ๐ท))) โ โข ((๐:๐ดโ1-1โ๐ต โง ๐:๐ตโ1-1โ๐ด) โ ๐ป:๐ดโ1-1-ontoโ๐ต) | ||
Theorem | sbthlem10 8970* | Lemma for sbth 8971. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ท = {๐ฅ โฃ (๐ฅ โ ๐ด โง (๐ โ (๐ต โ (๐ โ ๐ฅ))) โ (๐ด โ ๐ฅ))} & โข ๐ป = ((๐ โพ โช ๐ท) โช (โก๐ โพ (๐ด โ โช ๐ท))) & โข ๐ต โ V โ โข ((๐ด โผ ๐ต โง ๐ต โผ ๐ด) โ ๐ด โ ๐ต) | ||
Theorem | sbth 8971 |
Schroeder-Bernstein Theorem. Theorem 18 of [Suppes] p. 95. This
theorem states that if set ๐ด is smaller (has lower cardinality)
than
๐ต and vice-versa, then ๐ด and
๐ต
are equinumerous (have the
same cardinality). The interesting thing is that this can be proved
without invoking the Axiom of Choice, as we do here. The theorem can
also be proved from the axiom of choice and the linear order of the
cardinal numbers, but our development does not provide the linear order
of cardinal numbers until much later and in ways that depend on
Schroeder-Bernstein.
The main proof consists of lemmas sbthlem1 8961 through sbthlem10 8970; this final piece mainly changes bound variables to eliminate the hypotheses of sbthlem10 8970. We follow closely the proof in Suppes, which you should consult to understand our proof at a higher level. Note that Suppes' proof, which is credited to J. M. Whitaker, does not require the Axiom of Infinity. In the Intuitionistic Logic Explorer (ILE) the Schroeder-Bernstein Theorem has been proven equivalent to the law of the excluded middle (LEM), and in ILE the LEM is not accepted as necessarily true; see https://us.metamath.org/ileuni/exmidsbth.html 8970. This is Metamath 100 proof #25. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.) |
โข ((๐ด โผ ๐ต โง ๐ต โผ ๐ด) โ ๐ด โ ๐ต) | ||
Theorem | sbthb 8972 | Schroeder-Bernstein Theorem and its converse. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.) |
โข ((๐ด โผ ๐ต โง ๐ต โผ ๐ด) โ ๐ด โ ๐ต) | ||
Theorem | sbthcl 8973 | Schroeder-Bernstein Theorem in class form. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.) |
โข โ = ( โผ โฉ โก โผ ) | ||
Theorem | dfsdom2 8974 | Alternate definition of strict dominance. Compare Definition 3 of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.) |
โข โบ = ( โผ โ โก โผ ) | ||
Theorem | brsdom2 8975 | Alternate definition of strict dominance. Definition 3 of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) |
โข ๐ด โ V & โข ๐ต โ V โ โข (๐ด โบ ๐ต โ (๐ด โผ ๐ต โง ยฌ ๐ต โผ ๐ด)) | ||
Theorem | sdomnsym 8976 | Strict dominance is asymmetric. Theorem 21(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.) |
โข (๐ด โบ ๐ต โ ยฌ ๐ต โบ ๐ด) | ||
Theorem | domnsym 8977 | Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) |
โข (๐ด โผ ๐ต โ ยฌ ๐ต โบ ๐ด) | ||
Theorem | 0domg 8978 | Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-pow 5319, ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.) |
โข (๐ด โ ๐ โ โ โผ ๐ด) | ||
Theorem | 0domgOLD 8979 | Obsolete version of 0domg 8978 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข (๐ด โ ๐ โ โ โผ ๐ด) | ||
Theorem | dom0 8980 | A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) Avoid ax-pow 5319, ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.) |
โข (๐ด โผ โ โ ๐ด = โ ) | ||
Theorem | dom0OLD 8981 | Obsolete version of dom0 8980 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข (๐ด โผ โ โ ๐ด = โ ) | ||
Theorem | 0sdomg 8982 | A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) Avoid ax-pow 5319, ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.) |
โข (๐ด โ ๐ โ (โ โบ ๐ด โ ๐ด โ โ )) | ||
Theorem | 0sdomgOLD 8983 | Obsolete version of 0sdomg 8982 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข (๐ด โ ๐ โ (โ โบ ๐ด โ ๐ด โ โ )) | ||
Theorem | 0dom 8984 | Any set dominates the empty set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) |
โข ๐ด โ V โ โข โ โผ ๐ด | ||
Theorem | 0sdom 8985 | A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.) |
โข ๐ด โ V โ โข (โ โบ ๐ด โ ๐ด โ โ ) | ||
Theorem | sdom0 8986 | The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) Avoid ax-pow 5319, ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.) |
โข ยฌ ๐ด โบ โ | ||
Theorem | sdom0OLD 8987 | Obsolete version of sdom0 8986 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข ยฌ ๐ด โบ โ | ||
Theorem | sdomdomtr 8988 | Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) |
โข ((๐ด โบ ๐ต โง ๐ต โผ ๐ถ) โ ๐ด โบ ๐ถ) | ||
Theorem | sdomentr 8989 | Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) |
โข ((๐ด โบ ๐ต โง ๐ต โ ๐ถ) โ ๐ด โบ ๐ถ) | ||
Theorem | domsdomtr 8990 | Transitivity of dominance and strict dominance. Theorem 22(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) |
โข ((๐ด โผ ๐ต โง ๐ต โบ ๐ถ) โ ๐ด โบ ๐ถ) | ||
Theorem | ensdomtr 8991 | Transitivity of equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) |
โข ((๐ด โ ๐ต โง ๐ต โบ ๐ถ) โ ๐ด โบ ๐ถ) | ||
Theorem | sdomirr 8992 | Strict dominance is irreflexive. Theorem 21(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) |
โข ยฌ ๐ด โบ ๐ด | ||
Theorem | sdomtr 8993 | Strict dominance is transitive. Theorem 21(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.) |
โข ((๐ด โบ ๐ต โง ๐ต โบ ๐ถ) โ ๐ด โบ ๐ถ) | ||
Theorem | sdomn2lp 8994 | Strict dominance has no 2-cycle loops. (Contributed by NM, 6-May-2008.) |
โข ยฌ (๐ด โบ ๐ต โง ๐ต โบ ๐ด) | ||
Theorem | enen1 8995 | Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.) |
โข (๐ด โ ๐ต โ (๐ด โ ๐ถ โ ๐ต โ ๐ถ)) | ||
Theorem | enen2 8996 | Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.) |
โข (๐ด โ ๐ต โ (๐ถ โ ๐ด โ ๐ถ โ ๐ต)) | ||
Theorem | domen1 8997 | Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.) |
โข (๐ด โ ๐ต โ (๐ด โผ ๐ถ โ ๐ต โผ ๐ถ)) | ||
Theorem | domen2 8998 | Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.) |
โข (๐ด โ ๐ต โ (๐ถ โผ ๐ด โ ๐ถ โผ ๐ต)) | ||
Theorem | sdomen1 8999 | Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.) |
โข (๐ด โ ๐ต โ (๐ด โบ ๐ถ โ ๐ต โบ ๐ถ)) | ||
Theorem | sdomen2 9000 | Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.) |
โข (๐ด โ ๐ต โ (๐ถ โบ ๐ด โ ๐ถ โบ ๐ต)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |