MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div4p1lem1div2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div4p1lem1div2 12489
Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
div4p1lem1div2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 6re 12324 . . . . . . 7 6 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 6 โˆˆ โ„)
3 id 22 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
42, 3, 3leadd2d 11831 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (6 โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘ + 6) โ‰ค (๐‘ + ๐‘)))
54biimpa 476 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ + 6) โ‰ค (๐‘ + ๐‘))
6 recn 11220 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
76times2d 12478 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ ยท 2) = (๐‘ + ๐‘))
87adantr 480 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท 2) = (๐‘ + ๐‘))
95, 8breqtrrd 5170 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ + 6) โ‰ค (๐‘ ยท 2))
10 4cn 12319 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„‚
1110a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
12 2cn 12309 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
1312a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
146, 11, 13addassd 11258 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ + 4) + 2) = (๐‘ + (4 + 2)))
15 4p2e6 12387 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
1615oveq2i 7425 . . . . . 6 (๐‘ + (4 + 2)) = (๐‘ + 6)
1714, 16eqtrdi 2783 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ + 4) + 2) = (๐‘ + 6))
1817breq1d 5152 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2) โ†” (๐‘ + 6) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
1918adantr 480 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ (((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2) โ†” (๐‘ + 6) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
209, 19mpbird 257 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2))
21 4re 12318 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„
2221a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
23 4ne0 12342 . . . . . . . 8 4 โ‰  0
2423a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โ‰  0)
253, 22, 24redivcld 12064 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
26 peano2re 11409 . . . . . 6 ((๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ / 4) + 1) โˆˆ โ„)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ / 4) + 1) โˆˆ โ„)
28 peano2rem 11549 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2928rehalfcld 12481 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
30 4pos 12341 . . . . . . 7 0 < 4
3121, 30pm3.2i 470 . . . . . 6 (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)
3231a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4))
33 lemul1 12088 . . . . 5 ((((๐‘ / 4) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)) โ†’ (((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐‘ / 4) + 1) ยท 4) โ‰ค (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 4)))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1369 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐‘ / 4) + 1) ยท 4) โ‰ค (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 4)))
3525recnd 11264 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„‚)
36 1cnd 11231 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
376, 11, 24divcan1d 12013 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ / 4) ยท 4) = ๐‘)
3810mullidi 11241 . . . . . . . 8 (1 ยท 4) = 4
3938a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท 4) = 4)
4037, 39oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ / 4) ยท 4) + (1 ยท 4)) = (๐‘ + 4))
4135, 11, 36, 40joinlmuladdmuld 11263 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ / 4) + 1) ยท 4) = (๐‘ + 4))
42 2t2e4 12398 . . . . . . . . 9 (2 ยท 2) = 4
4342eqcomi 2736 . . . . . . . 8 4 = (2 ยท 2)
4443a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 = (2 ยท 2))
4544oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 4) = (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท (2 ยท 2)))
4629recnd 11264 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
47 mulass 11218 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) ยท 2) = (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท (2 ยท 2)))
4847eqcomd 2733 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท (2 ยท 2)) = ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) ยท 2))
4946, 13, 13, 48syl3anc 1369 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท (2 ยท 2)) = ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) ยท 2))
5028recnd 11264 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
51 2ne0 12338 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 2 โ‰  0)
5350, 13, 52divcan1d 12013 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) = (๐‘ โˆ’ 1))
5453oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) ยท 2) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท 2))
556, 36, 13subdird 11693 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท 2) = ((๐‘ ยท 2) โˆ’ (1 ยท 2)))
5612mullidi 11241 . . . . . . . . 9 (1 ยท 2) = 2
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท 2) = 2)
5857oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ ยท 2) โˆ’ (1 ยท 2)) = ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2))
5954, 55, 583eqtrd 2771 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) ยท 2) = ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2))
6045, 49, 593eqtrd 2771 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 4) = ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2))
6141, 60breq12d 5155 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐‘ / 4) + 1) ยท 4) โ‰ค (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 4) โ†” (๐‘ + 4) โ‰ค ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2)))
623, 22readdcld 11265 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ + 4) โˆˆ โ„)
63 2re 12308 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
6463a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
653, 64remulcld 11266 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ ยท 2) โˆˆ โ„)
66 leaddsub 11712 . . . . . 6 (((๐‘ + 4) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2) โ†” (๐‘ + 4) โ‰ค ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2)))
6766bicomd 222 . . . . 5 (((๐‘ + 4) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ + 4) โ‰ค ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2) โ†” ((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1369 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ + 4) โ‰ค ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2) โ†” ((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
6934, 61, 683bitrd 305 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” ((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
7069adantr 480 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ (((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” ((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
7120, 70mpbird 257 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  4c4 12291  6c6 12293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301
This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  13824
  Copyright terms: Public domain W3C validator