Theorem div4p1lem1div2 12382

Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
div4p1lem1div2	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 12221	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ)
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3, 3	leadd2d 11718	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
5	4	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁))
6		recn 11102	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	times2d 12371	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
9	5, 8	breqtrrd 5121	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))
10		4cn 12216	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℂ)
12		2cn 12206	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
14	6, 11, 13	addassd 11140	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + (4 + 2)))
15		4p2e6 12279	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 2) = 6
16	15	oveq2i 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + (4 + 2)) = (𝑁 + 6)
17	14, 16	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + 6))
18	17	breq1d 5103	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
20	9, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))
21		4re 12215	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
23		4ne0 12239	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
25	3, 22, 24	redivcld 11955	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
26		peano2re 11292	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
28		peano2rem 11434	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
29	28	rehalfcld 12374	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
30		4pos 12238	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
31	21, 30	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
33		lemul1 11979	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
34	27, 29, 32, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
35	25	recnd 11146	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℂ)
36		1cnd 11113	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
37	6, 11, 24	divcan1d 11904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) · 4) = 𝑁)
38	10	mullidi 11123	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 4) = 4
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 4) = 4)
40	37, 39	oveq12d 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) · 4) + (1 · 4)) = (𝑁 + 4))
41	35, 11, 36, 40	joinlmuladdmuld 11145	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) · 4) = (𝑁 + 4))
42		2t2e4 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
43	42	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 = (2 · 2))
45	44	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
46	29	recnd 11146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
47		mulass 11100	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
48	47	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
49	46, 13, 13, 48	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
50	28	recnd 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
51		2ne0 12235	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
53	50, 13, 52	divcan1d 11904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 2) = (𝑁 − 1))
54	53	oveq1d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 − 1) · 2))
55	6, 36, 13	subdird 11580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) · 2) = ((𝑁 · 2) − (1 · 2)))
56	12	mullidi 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 2) = 2
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 2) = 2)
58	57	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 · 2) − (1 · 2)) = ((𝑁 · 2) − 2))
59	54, 55, 58	3eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 · 2) − 2))
60	45, 49, 59	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = ((𝑁 · 2) − 2))
61	41, 60	breq12d 5106	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
62	3, 22	readdcld 11147	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 4) ∈ ℝ)
63		2re 12205	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
65	3, 64	remulcld 11148	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) ∈ ℝ)
66		leaddsub 11599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
67	66	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
69	34, 61, 68	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
70	69	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
71	20, 70	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  ℝcr 11011  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015   · cmul 11017   < clt 11152   ≤ cle 11153   − cmin 11350   / cdiv 11780  2c2 12186  4c4 12188  6c6 12190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  13745