Theorem div4p1lem1div2 11895

Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
div4p1lem1div2	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 11730	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ)
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3, 3	leadd2d 11238	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
5	4	biimpa 479	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁))
6		recn 10630	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	times2d 11884	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
8	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
9	5, 8	breqtrrd 5097	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))
10		4cn 11725	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℂ)
12		2cn 11715	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
14	6, 11, 13	addassd 10666	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + (4 + 2)))
15		4p2e6 11793	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 2) = 6
16	15	oveq2i 7170	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + (4 + 2)) = (𝑁 + 6)
17	14, 16	syl6eq 2875	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + 6))
18	17	breq1d 5079	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
19	18	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
20	9, 19	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))
21		4re 11724	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
23		4ne0 11748	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
25	3, 22, 24	redivcld 11471	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
26		peano2re 10816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
28		peano2rem 10956	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
29	28	rehalfcld 11887	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
30		4pos 11747	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
31	21, 30	pm3.2i 473	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
33		lemul1 11495	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
34	27, 29, 32, 33	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
35	25	recnd 10672	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℂ)
36		1cnd 10639	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
37	6, 11, 24	divcan1d 11420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) · 4) = 𝑁)
38	10	mulid2i 10649	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 4) = 4
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 4) = 4)
40	37, 39	oveq12d 7177	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) · 4) + (1 · 4)) = (𝑁 + 4))
41	35, 11, 36, 40	joinlmuladdmuld 10671	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) · 4) = (𝑁 + 4))
42		2t2e4 11804	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
43	42	eqcomi 2833	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 = (2 · 2))
45	44	oveq2d 7175	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
46	29	recnd 10672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
47		mulass 10628	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
48	47	eqcomd 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
49	46, 13, 13, 48	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
50	28	recnd 10672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
51		2ne0 11744	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
53	50, 13, 52	divcan1d 11420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 2) = (𝑁 − 1))
54	53	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 − 1) · 2))
55	6, 36, 13	subdird 11100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) · 2) = ((𝑁 · 2) − (1 · 2)))
56	12	mulid2i 10649	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 2) = 2
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 2) = 2)
58	57	oveq2d 7175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 · 2) − (1 · 2)) = ((𝑁 · 2) − 2))
59	54, 55, 58	3eqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 · 2) − 2))
60	45, 49, 59	3eqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = ((𝑁 · 2) − 2))
61	41, 60	breq12d 5082	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
62	3, 22	readdcld 10673	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 4) ∈ ℝ)
63		2re 11714	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
64	63	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
65	3, 64	remulcld 10674	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) ∈ ℝ)
66		leaddsub 11119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
67	66	bicomd 225	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
69	34, 61, 68	3bitrd 307	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
70	69	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
71	20, 70	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545   < clt 10678   ≤ cle 10679   − cmin 10873   / cdiv 11300  2c2 11695  4c4 11697  6c6 11699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  13208