MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div4p1lem1div2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div4p1lem1div2 12409
Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
div4p1lem1div2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 6re 12244 . . . . . . 7 6 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 6 โˆˆ โ„)
3 id 22 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
42, 3, 3leadd2d 11751 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (6 โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘ + 6) โ‰ค (๐‘ + ๐‘)))
54biimpa 478 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ + 6) โ‰ค (๐‘ + ๐‘))
6 recn 11142 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
76times2d 12398 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ ยท 2) = (๐‘ + ๐‘))
87adantr 482 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท 2) = (๐‘ + ๐‘))
95, 8breqtrrd 5134 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ + 6) โ‰ค (๐‘ ยท 2))
10 4cn 12239 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„‚
1110a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
12 2cn 12229 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
1312a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
146, 11, 13addassd 11178 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ + 4) + 2) = (๐‘ + (4 + 2)))
15 4p2e6 12307 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
1615oveq2i 7369 . . . . . 6 (๐‘ + (4 + 2)) = (๐‘ + 6)
1714, 16eqtrdi 2793 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ + 4) + 2) = (๐‘ + 6))
1817breq1d 5116 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2) โ†” (๐‘ + 6) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
1918adantr 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ (((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2) โ†” (๐‘ + 6) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
209, 19mpbird 257 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2))
21 4re 12238 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„
2221a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
23 4ne0 12262 . . . . . . . 8 4 โ‰  0
2423a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โ‰  0)
253, 22, 24redivcld 11984 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
26 peano2re 11329 . . . . . 6 ((๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ / 4) + 1) โˆˆ โ„)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ / 4) + 1) โˆˆ โ„)
28 peano2rem 11469 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2928rehalfcld 12401 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
30 4pos 12261 . . . . . . 7 0 < 4
3121, 30pm3.2i 472 . . . . . 6 (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)
3231a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4))
33 lemul1 12008 . . . . 5 ((((๐‘ / 4) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)) โ†’ (((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐‘ / 4) + 1) ยท 4) โ‰ค (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 4)))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1372 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐‘ / 4) + 1) ยท 4) โ‰ค (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 4)))
3525recnd 11184 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„‚)
36 1cnd 11151 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
376, 11, 24divcan1d 11933 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ / 4) ยท 4) = ๐‘)
3810mulid2i 11161 . . . . . . . 8 (1 ยท 4) = 4
3938a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท 4) = 4)
4037, 39oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ / 4) ยท 4) + (1 ยท 4)) = (๐‘ + 4))
4135, 11, 36, 40joinlmuladdmuld 11183 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ / 4) + 1) ยท 4) = (๐‘ + 4))
42 2t2e4 12318 . . . . . . . . 9 (2 ยท 2) = 4
4342eqcomi 2746 . . . . . . . 8 4 = (2 ยท 2)
4443a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 = (2 ยท 2))
4544oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 4) = (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท (2 ยท 2)))
4629recnd 11184 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
47 mulass 11140 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) ยท 2) = (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท (2 ยท 2)))
4847eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท (2 ยท 2)) = ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) ยท 2))
4946, 13, 13, 48syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท (2 ยท 2)) = ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) ยท 2))
5028recnd 11184 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
51 2ne0 12258 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 2 โ‰  0)
5350, 13, 52divcan1d 11933 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) = (๐‘ โˆ’ 1))
5453oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) ยท 2) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท 2))
556, 36, 13subdird 11613 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท 2) = ((๐‘ ยท 2) โˆ’ (1 ยท 2)))
5612mulid2i 11161 . . . . . . . . 9 (1 ยท 2) = 2
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท 2) = 2)
5857oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ ยท 2) โˆ’ (1 ยท 2)) = ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2))
5954, 55, 583eqtrd 2781 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) ยท 2) = ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2))
6045, 49, 593eqtrd 2781 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 4) = ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2))
6141, 60breq12d 5119 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐‘ / 4) + 1) ยท 4) โ‰ค (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท 4) โ†” (๐‘ + 4) โ‰ค ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2)))
623, 22readdcld 11185 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ + 4) โˆˆ โ„)
63 2re 12228 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
6463a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
653, 64remulcld 11186 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ ยท 2) โˆˆ โ„)
66 leaddsub 11632 . . . . . 6 (((๐‘ + 4) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2) โ†” (๐‘ + 4) โ‰ค ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2)))
6766bicomd 222 . . . . 5 (((๐‘ + 4) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ + 4) โ‰ค ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2) โ†” ((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1372 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ + 4) โ‰ค ((๐‘ ยท 2) โˆ’ 2) โ†” ((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
6934, 61, 683bitrd 305 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” ((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
7069adantr 482 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ (((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” ((๐‘ + 4) + 2) โ‰ค (๐‘ ยท 2)))
7120, 70mpbird 257 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 4) + 1) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  2c2 12209  4c4 12211  6c6 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221
This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  13741
  Copyright terms: Public domain W3C validator