Proof of Theorem div4p1lem1div2
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | 6re 12356 | . . . . . . 7
⊢ 6 ∈
ℝ | 
| 2 | 1 | a1i 11 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 6 ∈
ℝ) | 
| 3 |  | id 22 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈
ℝ) | 
| 4 | 2, 3, 3 | leadd2d 11858 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤
𝑁 ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁))) | 
| 5 | 4 | biimpa 476 | . . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤
𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁)) | 
| 6 |  | recn 11245 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈
ℂ) | 
| 7 | 6 | times2d 12510 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁)) | 
| 8 | 7 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤
𝑁) → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁)) | 
| 9 | 5, 8 | breqtrrd 5171 | . . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤
𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)) | 
| 10 |  | 4cn 12351 | . . . . . . . 8
⊢ 4 ∈
ℂ | 
| 11 | 10 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈
ℂ) | 
| 12 |  | 2cn 12341 | . . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℂ | 
| 13 | 12 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈
ℂ) | 
| 14 | 6, 11, 13 | addassd 11283 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + (4 + 2))) | 
| 15 |  | 4p2e6 12419 | . . . . . . 7
⊢ (4 + 2) =
6 | 
| 16 | 15 | oveq2i 7442 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 + (4 + 2)) = (𝑁 + 6) | 
| 17 | 14, 16 | eqtrdi 2793 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + 6)) | 
| 18 | 17 | breq1d 5153 | . . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))) | 
| 19 | 18 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤
𝑁) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))) | 
| 20 | 9, 19 | mpbird 257 | . 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤
𝑁) → ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)) | 
| 21 |  | 4re 12350 | . . . . . . . 8
⊢ 4 ∈
ℝ | 
| 22 | 21 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈
ℝ) | 
| 23 |  | 4ne0 12374 | . . . . . . . 8
⊢ 4 ≠
0 | 
| 24 | 23 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠
0) | 
| 25 | 3, 22, 24 | redivcld 12095 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈
ℝ) | 
| 26 |  | peano2re 11434 | . . . . . 6
⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ →
((𝑁 / 4) + 1) ∈
ℝ) | 
| 27 | 25, 26 | syl 17 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈
ℝ) | 
| 28 |  | peano2rem 11576 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈
ℝ) | 
| 29 | 28 | rehalfcld 12513 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈
ℝ) | 
| 30 |  | 4pos 12373 | . . . . . . 7
⊢ 0 <
4 | 
| 31 | 21, 30 | pm3.2i 470 | . . . . . 6
⊢ (4 ∈
ℝ ∧ 0 < 4) | 
| 32 | 31 | a1i 11 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (4 ∈
ℝ ∧ 0 < 4)) | 
| 33 |  | lemul1 12119 | . . . . 5
⊢ ((((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧
((𝑁 − 1) / 2) ∈
ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) ·
4))) | 
| 34 | 27, 29, 32, 33 | syl3anc 1373 | . . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤
(((𝑁 − 1) / 2)
· 4))) | 
| 35 | 25 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈
ℂ) | 
| 36 |  | 1cnd 11256 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈
ℂ) | 
| 37 | 6, 11, 24 | divcan1d 12044 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) · 4) = 𝑁) | 
| 38 | 10 | mullidi 11266 | . . . . . . . 8
⊢ (1
· 4) = 4 | 
| 39 | 38 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1
· 4) = 4) | 
| 40 | 37, 39 | oveq12d 7449 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) · 4) + (1 ·
4)) = (𝑁 +
4)) | 
| 41 | 35, 11, 36, 40 | joinlmuladdmuld 11288 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) · 4) = (𝑁 + 4)) | 
| 42 |  | 2t2e4 12430 | . . . . . . . . 9
⊢ (2
· 2) = 4 | 
| 43 | 42 | eqcomi 2746 | . . . . . . . 8
⊢ 4 = (2
· 2) | 
| 44 | 43 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 = (2
· 2)) | 
| 45 | 44 | oveq2d 7447 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) =
(((𝑁 − 1) / 2)
· (2 · 2))) | 
| 46 | 29 | recnd 11289 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈
ℂ) | 
| 47 |  | mulass 11243 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ
∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) =
(((𝑁 − 1) / 2)
· (2 · 2))) | 
| 48 | 47 | eqcomd 2743 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ
∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) =
((((𝑁 − 1) / 2)
· 2) · 2)) | 
| 49 | 46, 13, 13, 48 | syl3anc 1373 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · (2
· 2)) = ((((𝑁
− 1) / 2) · 2) · 2)) | 
| 50 | 28 | recnd 11289 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈
ℂ) | 
| 51 |  | 2ne0 12370 | . . . . . . . . . 10
⊢ 2 ≠
0 | 
| 52 | 51 | a1i 11 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ≠
0) | 
| 53 | 50, 13, 52 | divcan1d 12044 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 2) =
(𝑁 −
1)) | 
| 54 | 53 | oveq1d 7446 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2)
· 2) = ((𝑁 −
1) · 2)) | 
| 55 | 6, 36, 13 | subdird 11720 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) · 2) =
((𝑁 · 2) − (1
· 2))) | 
| 56 | 12 | mullidi 11266 | . . . . . . . . 9
⊢ (1
· 2) = 2 | 
| 57 | 56 | a1i 11 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1
· 2) = 2) | 
| 58 | 57 | oveq2d 7447 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 · 2) − (1 ·
2)) = ((𝑁 · 2)
− 2)) | 
| 59 | 54, 55, 58 | 3eqtrd 2781 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2)
· 2) = ((𝑁 ·
2) − 2)) | 
| 60 | 45, 49, 59 | 3eqtrd 2781 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) =
((𝑁 · 2) −
2)) | 
| 61 | 41, 60 | breq12d 5156 | . . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤
(((𝑁 − 1) / 2)
· 4) ↔ (𝑁 + 4)
≤ ((𝑁 · 2)
− 2))) | 
| 62 | 3, 22 | readdcld 11290 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 4) ∈
ℝ) | 
| 63 |  | 2re 12340 | . . . . . 6
⊢ 2 ∈
ℝ | 
| 64 | 63 | a1i 11 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈
ℝ) | 
| 65 | 3, 64 | remulcld 11291 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) ∈
ℝ) | 
| 66 |  | leaddsub 11739 | . . . . . 6
⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2
∈ ℝ ∧ (𝑁
· 2) ∈ ℝ) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2))) | 
| 67 | 66 | bicomd 223 | . . . . 5
⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2
∈ ℝ ∧ (𝑁
· 2) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))) | 
| 68 | 62, 64, 65, 67 | syl3anc 1373 | . . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))) | 
| 69 | 34, 61, 68 | 3bitrd 305 | . . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))) | 
| 70 | 69 | adantr 480 | . 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤
𝑁) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))) | 
| 71 | 20, 70 | mpbird 257 | 1
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤
𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) /
2)) |