MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div4p1lem1div2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div4p1lem1div2 11880
Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
div4p1lem1div2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 6re 11715 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ)
3 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
42, 3, 3leadd2d 11224 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
54biimpa 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁))
6 recn 10616 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
76times2d 11869 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
87adantr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
95, 8breqtrrd 5070 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))
10 4cn 11710 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℂ)
12 2cn 11700 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
146, 11, 13addassd 10652 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + (4 + 2)))
15 4p2e6 11778 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
1615oveq2i 7151 . . . . . 6 (𝑁 + (4 + 2)) = (𝑁 + 6)
1714, 16syl6eq 2873 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + 6))
1817breq1d 5052 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
1918adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
209, 19mpbird 260 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))
21 4re 11709 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
23 4ne0 11733 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
253, 22, 24redivcld 11457 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
26 peano2re 10802 . . . . . 6 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
28 peano2rem 10942 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2928rehalfcld 11872 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
30 4pos 11732 . . . . . . 7 0 < 4
3121, 30pm3.2i 474 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
33 lemul1 11481 . . . . 5 ((((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1368 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
3525recnd 10658 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℂ)
36 1cnd 10625 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
376, 11, 24divcan1d 11406 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) · 4) = 𝑁)
3810mulid2i 10635 . . . . . . . 8 (1 · 4) = 4
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 4) = 4)
4037, 39oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) · 4) + (1 · 4)) = (𝑁 + 4))
4135, 11, 36, 40joinlmuladdmuld 10657 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) · 4) = (𝑁 + 4))
42 2t2e4 11789 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
4342eqcomi 2831 . . . . . . . 8 4 = (2 · 2)
4443a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 = (2 · 2))
4544oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
4629recnd 10658 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
47 mulass 10614 . . . . . . . 8 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
4847eqcomd 2828 . . . . . . 7 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
4946, 13, 13, 48syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
5028recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
51 2ne0 11729 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
5350, 13, 52divcan1d 11406 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 2) = (𝑁 − 1))
5453oveq1d 7155 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 − 1) · 2))
556, 36, 13subdird 11086 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) · 2) = ((𝑁 · 2) − (1 · 2)))
5612mulid2i 10635 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 2) = 2)
5857oveq2d 7156 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 · 2) − (1 · 2)) = ((𝑁 · 2) − 2))
5954, 55, 583eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 · 2) − 2))
6045, 49, 593eqtrd 2861 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = ((𝑁 · 2) − 2))
6141, 60breq12d 5055 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
623, 22readdcld 10659 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 4) ∈ ℝ)
63 2re 11699 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
6463a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
653, 64remulcld 10660 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) ∈ ℝ)
66 leaddsub 11105 . . . . . 6 (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
6766bicomd 226 . . . . 5 (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1368 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
6934, 61, 683bitrd 308 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
7069adantr 484 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
7120, 70mpbird 260 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  4c4 11682  6c6 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692
This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  13200
  Copyright terms: Public domain W3C validator