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Theorem bezoutlem3 16247

Description: Lemma for bezout 16249. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) ( Revised by AV, 30-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezout.2	⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
bezout.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

**Assertion**
Ref	Expression
bezoutlem3	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑀 → 𝐺 ∥ 𝐶))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝑧,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦,𝑧 𝑥,𝐺,𝑦,𝑧 𝜑,𝑥,𝑦,𝑧 𝑥,𝐶,𝑦,𝑧 𝑥,𝑀,𝑦 Allowed substitution hint: 𝑀(𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem3 Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ 𝑀)
2		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3	2	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
4		oveq2 7285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑠))
5	4	oveq1d 7292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑦)))
6	5	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑦))))
7		oveq2 7285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑡))
8	7	oveq2d 7293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
9	8	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
10	6, 9	cbvrex2vw 3396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
11	3, 10	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
12		bezout.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
13	11, 12	elrab2 3628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑀 ↔ (𝐶 ∈ ℕ ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
14	1, 13	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 ∈ ℕ ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
15	14	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ ℕ)
16	15	nnred 11986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ ℝ)
17		bezout.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
18		bezout.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
19		bezout.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
20		bezout.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21	12, 17, 18, 19, 20	bezoutlem2 16246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑀)
22		oveq2 7285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
23	22	oveq1d 7292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)))
24	23	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦))))
25		oveq2 7285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑣))
26	25	oveq2d 7293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
27	26	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
28	24, 27	cbvrex2vw 3396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
29		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) ↔ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
30	29	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
31	28, 30	bitrid 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
32	31, 12	elrab2 3628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑀 ↔ (𝐺 ∈ ℕ ∧ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
33	21, 32	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℕ ∧ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
34	33	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 12768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
37		modlt 13598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ⁺) → (𝐶 mod 𝐺) < 𝐺)
38	16, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 mod 𝐺) < 𝐺)
39	15	nnzd 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ ℤ)
40	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ ℕ)
41	39, 40	zmodcld 13610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ₀)
42	41	nn0red 12292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 mod 𝐺) ∈ ℝ)
43	34	nnred 11986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ ℝ)
45	42, 44	ltnled 11120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝐶 mod 𝐺) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐶 mod 𝐺)))
46	38, 45	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ¬ 𝐺 ≤ (𝐶 mod 𝐺))
47	14	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
48	33	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
49	48	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) → ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
50		simprll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑠 ∈ ℤ)
51		simprrl 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑢 ∈ ℤ)
52	16, 40	nndivred 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 / 𝐺) ∈ ℝ)
53	52	flcld 13516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (⌊‘(𝐶 / 𝐺)) ∈ ℤ)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (⌊‘(𝐶 / 𝐺)) ∈ ℤ)
55	51, 54	zmulcld 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) ∈ ℤ)
56	50, 55	zsubcld 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℤ)
57		simprlr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑡 ∈ ℤ)
58		simprrr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑣 ∈ ℤ)
59	58, 54	zmulcld 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) ∈ ℤ)
60	57, 59	zsubcld 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℤ)
61	17	zcnd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	50	zcnd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑠 ∈ ℂ)
64	62, 63	mulcld 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐴 · 𝑠) ∈ ℂ)
65	18	zcnd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
66	65	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝐵 ∈ ℂ)
67	57	zcnd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑡 ∈ ℂ)
68	66, 67	mulcld 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐵 · 𝑡) ∈ ℂ)
69	55	zcnd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) ∈ ℂ)
70	62, 69	mulcld 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℂ)
71	59	zcnd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) ∈ ℂ)
72	66, 71	mulcld 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℂ)
73	64, 68, 70, 72	addsub4d 11377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − ((𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) + (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))) = (((𝐴 · 𝑠) − (𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + ((𝐵 · 𝑡) − (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))))
74	51	zcnd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑢 ∈ ℂ)
75	62, 74	mulcld 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐴 · 𝑢) ∈ ℂ)
76	53	zcnd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (⌊‘(𝐶 / 𝐺)) ∈ ℂ)
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (⌊‘(𝐶 / 𝐺)) ∈ ℂ)
78	58	zcnd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑣 ∈ ℂ)
79	66, 78	mulcld 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ)
80	62, 74, 77	mulassd 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → ((𝐴 · 𝑢) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) = (𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
81	66, 78, 77	mulassd 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → ((𝐵 · 𝑣) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) = (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
82	80, 81	oveq12d 7295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (((𝐴 · 𝑢) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) + ((𝐵 · 𝑣) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) + (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
83	75, 77, 79, 82	joinlmuladdmuld 11000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) = ((𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) + (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
84	83	oveq2d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − ((𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) + (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))))
85	62, 63, 69	subdid 11429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) = ((𝐴 · 𝑠) − (𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
86	66, 67, 71	subdid 11429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) = ((𝐵 · 𝑡) − (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
87	85, 86	oveq12d 7295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))) = (((𝐴 · 𝑠) − (𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + ((𝐵 · 𝑡) − (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))))
88	73, 84, 87	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))))
89		oveq2 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
90	89	oveq1d 7292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · 𝑦)))
91	90	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → ((((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · 𝑦))))
92		oveq2 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
93	92	oveq2d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))))
94	93	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → ((((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))))
95	91, 94	rspc2ev 3573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℤ ∧ (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
96	56, 60, 88, 95	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
97		oveq1 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) → (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) = (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))
98		oveq12 7286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ∧ (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) = (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
99	97, 98	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ∧ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
100	99	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ∧ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → ((𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
101	100	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ∧ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
102	96, 101	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → ((𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ∧ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
103	102	expcomd 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
104	103	expr 457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) → ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
105	104	rexlimdvv 3221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) → (∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
106	49, 105	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
107	106	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
108	107	rexlimdvv 3221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
109	47, 108	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
110		modval 13589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ⁺) → (𝐶 mod 𝐺) = (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
111	16, 36, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 mod 𝐺) = (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
112	111	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = (𝐶 mod 𝐺))
113	112	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
114	113	2rexbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
115	109, 114	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
116		eqeq1 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐶 mod 𝐺) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
117	116	2rexbidv 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐶 mod 𝐺) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
118	117, 12	elrab2 3628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀 ↔ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
119	118	simplbi2com 503	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ → (𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀))
120	115, 119	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ → (𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀))
121	12	ssrab3 4016	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ⊆ ℕ
122		nnuz 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
123	121, 122	sseqtri 3958	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ⊆ (ℤ_≥‘1)
124		infssuzle 12669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ (𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀) → inf(𝑀, ℝ, < ) ≤ (𝐶 mod 𝐺))
125	123, 124	mpan 687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀 → inf(𝑀, ℝ, < ) ≤ (𝐶 mod 𝐺))
126	19, 125	eqbrtrid 5111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀 → 𝐺 ≤ (𝐶 mod 𝐺))
127	120, 126	syl6 35	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ → 𝐺 ≤ (𝐶 mod 𝐺)))
128	46, 127	mtod 197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ¬ (𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ)
129		elnn0 12233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝐶 mod 𝐺) = 0))
130	41, 129	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝐶 mod 𝐺) = 0))
131	130	ord 861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (¬ (𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ → (𝐶 mod 𝐺) = 0))
132	128, 131	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 mod 𝐺) = 0)
133		dvdsval3 15965	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐺 ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 mod 𝐺) = 0))
134	40, 39, 133	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐺 ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 mod 𝐺) = 0))
135	132, 134	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∥ 𝐶)
136	135	ex 413	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑀 → 𝐺 ∥ 𝐶))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 844 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ∃wrex 3065 {crab 3068 ⊆ wss 3888 class class class wbr 5076 ‘cfv 6435 (class class class)co 7277 infcinf 9198 ℂcc 10867 ℝcr 10868 0cc0 10869 1c1 10870 + caddc 10872 · cmul 10874 < clt 11007 ≤ cle 11008 − cmin 11203 / cdiv 11630 ℕcn 11971 ℕ₀cn0 12231 ℤcz 12317 ℤ_≥cuz 12580 ℝ⁺crp 12728 ⌊cfl 13508 mod cmo 13587 ∥ cdvds 15961

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5225 ax-nul 5232 ax-pow 5290 ax-pr 5354 ax-un 7588 ax-cnex 10925 ax-resscn 10926 ax-1cn 10927 ax-icn 10928 ax-addcl 10929 ax-addrcl 10930 ax-mulcl 10931 ax-mulrcl 10932 ax-mulcom 10933 ax-addass 10934 ax-mulass 10935 ax-distr 10936 ax-i2m1 10937 ax-1ne0 10938 ax-1rid 10939 ax-rnegex 10940 ax-rrecex 10941 ax-cnre 10942 ax-pre-lttri 10943 ax-pre-lttrn 10944 ax-pre-ltadd 10945 ax-pre-mulgt0 10946 ax-pre-sup 10947

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3433 df-sbc 3718 df-csb 3834 df-dif 3891 df-un 3893 df-in 3895 df-ss 3905 df-pss 3907 df-nul 4259 df-if 4462 df-pw 4537 df-sn 4564 df-pr 4566 df-op 4570 df-uni 4842 df-iun 4928 df-br 5077 df-opab 5139 df-mpt 5160 df-tr 5194 df-id 5491 df-eprel 5497 df-po 5505 df-so 5506 df-fr 5546 df-we 5548 df-xp 5597 df-rel 5598 df-cnv 5599 df-co 5600 df-dm 5601 df-rn 5602 df-res 5603 df-ima 5604 df-pred 6204 df-ord 6271 df-on 6272 df-lim 6273 df-suc 6274 df-iota 6393 df-fun 6437 df-fn 6438 df-f 6439 df-f1 6440 df-fo 6441 df-f1o 6442 df-fv 6443 df-riota 7234 df-ov 7280 df-oprab 7281 df-mpo 7282 df-om 7713 df-2nd 7832 df-frecs 8095 df-wrecs 8126 df-recs 8200 df-rdg 8239 df-er 8496 df-en 8732 df-dom 8733 df-sdom 8734 df-sup 9199 df-inf 9200 df-pnf 11009 df-mnf 11010 df-xr 11011 df-ltxr 11012 df-le 11013 df-sub 11205 df-neg 11206 df-div 11631 df-nn 11972 df-2 12034 df-3 12035 df-n0 12232 df-z 12318 df-uz 12581 df-rp 12729 df-fl 13510 df-mod 13588 df-seq 13720 df-exp 13781 df-cj 14808 df-re 14809 df-im 14810 df-sqrt 14944 df-abs 14945 df-dvds 15962

This theorem is referenced by: bezoutlem4 16248

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