bezoutlem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem bezoutlem3 16603

Description: Lemma for bezout 16605. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) ( Revised by AV, 30-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bezout.1	⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezout.2	⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
bezout.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

**Assertion**
Ref	Expression
bezoutlem3	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑀 → 𝐺 ∥ 𝐶))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝑧,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦,𝑧 𝑥,𝐺,𝑦,𝑧 𝜑,𝑥,𝑦,𝑧 𝑥,𝐶,𝑦,𝑧 𝑥,𝑀,𝑦 Allowed substitution hint: 𝑀(𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem3 Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2	1	2rexbidv 3230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑠))
4	3	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑦)))
5	4	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑦))))
6		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑡))
7	6	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
8	7	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
9	5, 8	cbvrex2vw 3248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
10	2, 9	bitrdi 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
11		bezout.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
12	10, 11	elrab2 3654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑀 ↔ (𝐶 ∈ ℕ ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
13	12	bilani 509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 ∈ ℕ ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
14	13	simpld 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ ℝ)
16		bezout.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
17		bezout.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
18		bezout.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
19		bezout.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
20	11, 16, 17, 18, 19	bezoutlem2 16602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑀)
21		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
22	21	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)))
23	22	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦))))
24		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑣))
25	24	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
26	25	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
27	23, 26	cbvrex2vw 3248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
28		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) ↔ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
29	28	2rexbidv 3230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
30	27, 29	bitrid 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
31	30, 11	elrab2 3654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑀 ↔ (𝐺 ∈ ℕ ∧ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
32	20, 31	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℕ ∧ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
33	32	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ)
34	33	nnrpd 13062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
35	34	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ ℝ⁺)
36		modlt 13918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ⁺) → (𝐶 mod 𝐺) < 𝐺)
37	15, 35, 36	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 mod 𝐺) < 𝐺)
38	14	nnzd 12621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ ℤ)
39	33	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ ℕ)
40	38, 39	zmodcld 13930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ₀)
41	40	nn0red 12570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 mod 𝐺) ∈ ℝ)
42	33	nnred 12252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
43	42	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ ℝ)
44	41, 43	ltnled 11361	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝐶 mod 𝐺) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝐶 mod 𝐺)))
45	37, 44	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ¬ 𝐺 ≤ (𝐶 mod 𝐺))
46	13	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
47	32	simprd 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
48	47	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) → ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
49		simprll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑠 ∈ ℤ)
50		simprrl 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑢 ∈ ℤ)
51	15, 39	nndivred 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 / 𝐺) ∈ ℝ)
52	51	flcld 13836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (⌊‘(𝐶 / 𝐺)) ∈ ℤ)
53	52	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (⌊‘(𝐶 / 𝐺)) ∈ ℤ)
54	50, 53	zmulcld 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) ∈ ℤ)
55	49, 54	zsubcld 12709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℤ)
56		simprlr 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑡 ∈ ℤ)
57		simprrr 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑣 ∈ ℤ)
58	57, 53	zmulcld 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) ∈ ℤ)
59	56, 58	zsubcld 12709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℤ)
60	16	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
61	60	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
62	49	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑠 ∈ ℂ)
63	61, 62	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐴 · 𝑠) ∈ ℂ)
64	17	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
65	64	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝐵 ∈ ℂ)
66	56	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑡 ∈ ℂ)
67	65, 66	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐵 · 𝑡) ∈ ℂ)
68	54	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) ∈ ℂ)
69	61, 68	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℂ)
70	58	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) ∈ ℂ)
71	65, 70	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℂ)
72	63, 67, 69, 71	addsub4d 11620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − ((𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) + (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))) = (((𝐴 · 𝑠) − (𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + ((𝐵 · 𝑡) − (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))))
73	50	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑢 ∈ ℂ)
74	61, 73	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐴 · 𝑢) ∈ ℂ)
75	52	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (⌊‘(𝐶 / 𝐺)) ∈ ℂ)
76	75	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (⌊‘(𝐶 / 𝐺)) ∈ ℂ)
77	57	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → 𝑣 ∈ ℂ)
78	65, 77	mulcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ)
79	61, 73, 76	mulassd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → ((𝐴 · 𝑢) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) = (𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
80	65, 77, 76	mulassd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → ((𝐵 · 𝑣) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) = (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
81	79, 80	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (((𝐴 · 𝑢) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) + ((𝐵 · 𝑣) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) + (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
82	74, 76, 78, 81	joinlmuladdmuld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) = ((𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) + (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
83	82	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − ((𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) + (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))))
84	61, 62, 68	subdid 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) = ((𝐴 · 𝑠) − (𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
85	65, 66, 70	subdid 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) = ((𝐵 · 𝑡) − (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
86	84, 85	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))) = (((𝐴 · 𝑠) − (𝐴 · (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + ((𝐵 · 𝑡) − (𝐵 · (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))))
87	72, 83, 86	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))))
88		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
89	88	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · 𝑦)))
90	89	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → ((((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · 𝑦))))
91		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))
92	91	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))))
93	92	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → ((((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))))
94	90, 93	rspc2ev 3594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℤ ∧ (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · (𝑠 − (𝑢 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))) + (𝐵 · (𝑡 − (𝑣 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
95	55, 59, 87, 94	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
96		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) → (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) = (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))))
97		oveq12 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ∧ (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺))) = (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) → (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
98	96, 97	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ∧ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
99	98	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ∧ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → ((𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
100	99	2rexbidv 3230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ∧ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) − (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
101	95, 100	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → ((𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ∧ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
102	101	expcomd 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))) → (𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
103	102	expr 461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) → ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
104	103	rexlimdvv 3221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) → (∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝐺 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
105	48, 104	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
106	105	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
107	106	rexlimdvv 3221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐶 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
108	46, 107	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
109		modval 13909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ⁺) → (𝐶 mod 𝐺) = (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
110	15, 35, 109	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 mod 𝐺) = (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))))
111	110	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = (𝐶 mod 𝐺))
112	111	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
113	112	2rexbidv 3230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 − (𝐺 · (⌊‘(𝐶 / 𝐺)))) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
114	108, 113	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
115		eqeq1 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐶 mod 𝐺) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
116	115	2rexbidv 3230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐶 mod 𝐺) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
117	116, 11	elrab2 3654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀 ↔ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
118	117	simplbi2com 507	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 mod 𝐺) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ → (𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀))
119	114, 118	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ → (𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀))
120	11	ssrab3 4036	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ⊆ ℕ
121		nnuz 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
122	120, 121	sseqtri 3985	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ⊆ (ℤ_≥‘1)
123		infssuzle 12959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ (𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀) → inf(𝑀, ℝ, < ) ≤ (𝐶 mod 𝐺))
124	122, 123	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀 → inf(𝑀, ℝ, < ) ≤ (𝐶 mod 𝐺))
125	18, 124	eqbrtrid 5146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ 𝑀 → 𝐺 ≤ (𝐶 mod 𝐺))
126	119, 125	syl6 36	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ → 𝐺 ≤ (𝐶 mod 𝐺)))
127	45, 126	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ¬ (𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ)
128		elnn0 12510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝐶 mod 𝐺) = 0))
129	40, 128	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → ((𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝐶 mod 𝐺) = 0))
130	129	ord 877	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (¬ (𝐶 mod 𝐺) ∈ ℕ → (𝐶 mod 𝐺) = 0))
131	127, 130	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐶 mod 𝐺) = 0)
132		dvdsval3 16318	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐺 ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 mod 𝐺) = 0))
133	39, 38, 132	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → (𝐺 ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 mod 𝐺) = 0))
134	131, 133	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∥ 𝐶)
135	134	ex 417	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑀 → 𝐺 ∥ 𝐶))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ∃wrex 3089 {crab 3416 ⊆ wss 3905 class class class wbr 5109 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 infcinf 9397 ℂcc 11102 ℝcr 11103 0cc0 11104 1c1 11105 + caddc 11107 · cmul 11109 < clt 11247 ≤ cle 11248 − cmin 11445 / cdiv 11875 ℕcn 12237 ℕ₀cn0 12508 ℤcz 12595 ℤ_≥cuz 12866 ℝ⁺crp 13020 ⌊cfl 13828 mod cmo 13907 ∥ cdvds 16314

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-cnex 11160 ax-resscn 11161 ax-1cn 11162 ax-icn 11163 ax-addcl 11164 ax-addrcl 11165 ax-mulcl 11166 ax-mulrcl 11167 ax-mulcom 11168 ax-addass 11169 ax-mulass 11170 ax-distr 11171 ax-i2m1 11172 ax-1ne0 11173 ax-1rid 11174 ax-rnegex 11175 ax-rrecex 11176 ax-cnre 11177 ax-pre-lttri 11178 ax-pre-lttrn 11179 ax-pre-ltadd 11180 ax-pre-mulgt0 11181 ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-er 8690 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-sup 9398 df-inf 9399 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11876 df-nn 12238 df-2 12307 df-3 12308 df-n0 12509 df-z 12596 df-uz 12867 df-rp 13021 df-fl 13830 df-mod 13908 df-seq 14043 df-exp 14103 df-cj 15155 df-re 15156 df-im 15157 df-sqrt 15291 df-abs 15292 df-dvds 16315

This theorem is used by: bezoutlem4 16604

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