Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ๐ถ โ ๐) |
2 | | eqeq1 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ง = ๐ถ โ (๐ง = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
3 | 2 | 2rexbidv 3210 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ง = ๐ถ โ (โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ๐ง = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
4 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ด ยท ๐ฅ) = (๐ด ยท ๐ )) |
5 | 4 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ฆ))) |
6 | 5 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ถ = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
7 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฆ = ๐ก โ (๐ต ยท ๐ฆ) = (๐ต ยท ๐ก)) |
8 | 7 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฆ = ๐ก โ ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก))) |
9 | 8 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฆ = ๐ก โ (๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)))) |
10 | 6, 9 | cbvrex2vw 3227 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(โ๐ฅ โ
โค โ๐ฆ โ
โค ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ โ๐ โ โค โ๐ก โ โค ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก))) |
11 | 3, 10 | bitrdi 287 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ง = ๐ถ โ (โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ๐ง = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ โ๐ โ โค โ๐ก โ โค ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)))) |
12 | | bezout.1 |
. . . . . . . . . . 11
โข ๐ = {๐ง โ โ โฃ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ๐ง = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ))} |
13 | 11, 12 | elrab2 3649 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ถ โ ๐ โ (๐ถ โ โ โง โ๐ โ โค โ๐ก โ โค ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)))) |
14 | 1, 13 | sylib 217 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (๐ถ โ โ โง โ๐ โ โค โ๐ก โ โค ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)))) |
15 | 14 | simpld 496 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ๐ถ โ โ) |
16 | 15 | nnred 12173 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ๐ถ โ โ) |
17 | | bezout.3 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
18 | | bezout.4 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
19 | | bezout.2 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ๐บ = inf(๐, โ, < ) |
20 | | bezout.5 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ยฌ (๐ด = 0 โง ๐ต = 0)) |
21 | 12, 17, 18, 19, 20 | bezoutlem2 16426 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐บ โ ๐) |
22 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฅ = ๐ข โ (๐ด ยท ๐ฅ) = (๐ด ยท ๐ข)) |
23 | 22 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ข โ ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฆ))) |
24 | 23 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = ๐ข โ (๐ง = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ ๐ง = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
25 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฆ = ๐ฃ โ (๐ต ยท ๐ฆ) = (๐ต ยท ๐ฃ)) |
26 | 25 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฆ = ๐ฃ โ ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฆ)) = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ))) |
27 | 26 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฆ = ๐ฃ โ (๐ง = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ ๐ง = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)))) |
28 | 24, 27 | cbvrex2vw 3227 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(โ๐ฅ โ
โค โ๐ฆ โ
โค ๐ง = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ โ๐ข โ โค โ๐ฃ โ โค ๐ง = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ))) |
29 | | eqeq1 2737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ง = ๐บ โ (๐ง = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) โ ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)))) |
30 | 29 | 2rexbidv 3210 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ง = ๐บ โ (โ๐ข โ โค โ๐ฃ โ โค ๐ง = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) โ โ๐ข โ โค โ๐ฃ โ โค ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)))) |
31 | 28, 30 | bitrid 283 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ง = ๐บ โ (โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ๐ง = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ โ๐ข โ โค โ๐ฃ โ โค ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)))) |
32 | 31, 12 | elrab2 3649 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐บ โ ๐ โ (๐บ โ โ โง โ๐ข โ โค โ๐ฃ โ โค ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)))) |
33 | 21, 32 | sylib 217 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐บ โ โ โง โ๐ข โ โค โ๐ฃ โ โค ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)))) |
34 | 33 | simpld 496 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐บ โ โ) |
35 | 34 | nnrpd 12960 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐บ โ
โ+) |
36 | 35 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ๐บ โ
โ+) |
37 | | modlt 13791 |
. . . . . . 7
โข ((๐ถ โ โ โง ๐บ โ โ+)
โ (๐ถ mod ๐บ) < ๐บ) |
38 | 16, 36, 37 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (๐ถ mod ๐บ) < ๐บ) |
39 | 15 | nnzd 12531 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ๐ถ โ โค) |
40 | 34 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ๐บ โ โ) |
41 | 39, 40 | zmodcld 13803 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (๐ถ mod ๐บ) โ
โ0) |
42 | 41 | nn0red 12479 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (๐ถ mod ๐บ) โ โ) |
43 | 34 | nnred 12173 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐บ โ โ) |
44 | 43 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ๐บ โ โ) |
45 | 42, 44 | ltnled 11307 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ((๐ถ mod ๐บ) < ๐บ โ ยฌ ๐บ โค (๐ถ mod ๐บ))) |
46 | 38, 45 | mpbid 231 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ยฌ ๐บ โค (๐ถ mod ๐บ)) |
47 | 14 | simprd 497 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ โ๐ โ โค โ๐ก โ โค ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก))) |
48 | 33 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ๐ข โ โค โ๐ฃ โ โค ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ))) |
49 | 48 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง (๐ โ โค โง ๐ก โ โค)) โ โ๐ข โ โค โ๐ฃ โ โค ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ))) |
50 | | simprll 778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ๐ โ โค) |
51 | | simprrl 780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ๐ข โ โค) |
52 | 16, 40 | nndivred 12212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (๐ถ / ๐บ) โ โ) |
53 | 52 | flcld 13709 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (โโ(๐ถ / ๐บ)) โ โค) |
54 | 53 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ
(โโ(๐ถ / ๐บ)) โ
โค) |
55 | 51, 54 | zmulcld 12618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))) โ โค) |
56 | 50, 55 | zsubcld 12617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ โค) |
57 | | simprlr 779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ๐ก โ โค) |
58 | | simprrr 781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ๐ฃ โ โค) |
59 | 58, 54 | zmulcld 12618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))) โ โค) |
60 | 57, 59 | zsubcld 12617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ โค) |
61 | 17 | zcnd 12613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
62 | 61 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ๐ด โ โ) |
63 | 50 | zcnd 12613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ๐ โ โ) |
64 | 62, 63 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ด ยท ๐ ) โ โ) |
65 | 18 | zcnd 12613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
66 | 65 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ๐ต โ โ) |
67 | 57 | zcnd 12613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ๐ก โ โ) |
68 | 66, 67 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ต ยท ๐ก) โ โ) |
69 | 55 | zcnd 12613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))) โ โ) |
70 | 62, 69 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ด ยท (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ โ) |
71 | 59 | zcnd 12613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))) โ โ) |
72 | 66, 71 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ต ยท (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ โ) |
73 | 64, 68, 70, 72 | addsub4d 11564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ ((๐ด ยท (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) + (๐ต ยท (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))))) = (((๐ด ยท ๐ ) โ (๐ด ยท (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + ((๐ต ยท ๐ก) โ (๐ต ยท (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))))) |
74 | 51 | zcnd 12613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ๐ข โ โ) |
75 | 62, 74 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ด ยท ๐ข) โ โ) |
76 | 53 | zcnd 12613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (โโ(๐ถ / ๐บ)) โ โ) |
77 | 76 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ
(โโ(๐ถ / ๐บ)) โ
โ) |
78 | 58 | zcnd 12613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ๐ฃ โ โ) |
79 | 66, 78 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ต ยท ๐ฃ) โ โ) |
80 | 62, 74, 77 | mulassd 11183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ((๐ด ยท ๐ข) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))) = (๐ด ยท (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) |
81 | 66, 78, 77 | mulassd 11183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ((๐ต ยท ๐ฃ) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))) = (๐ต ยท (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) |
82 | 80, 81 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (((๐ด ยท ๐ข) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))) + ((๐ต ยท ๐ฃ) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) + (๐ต ยท (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))))) |
83 | 75, 77, 79, 82 | joinlmuladdmuld 11187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))) = ((๐ด ยท (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) + (๐ต ยท (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))))) |
84 | 83 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ ((๐ด ยท (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) + (๐ต ยท (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))))) |
85 | 62, 63, 69 | subdid 11616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) = ((๐ด ยท ๐ ) โ (๐ด ยท (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))))) |
86 | 66, 67, 71 | subdid 11616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐ต ยท (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) = ((๐ต ยท ๐ก) โ (๐ต ยท (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))))) |
87 | 85, 86 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ((๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + (๐ต ยท (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))))) = (((๐ด ยท ๐ ) โ (๐ด ยท (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + ((๐ต ยท ๐ก) โ (๐ต ยท (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))))) |
88 | 73, 84, 87 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + (๐ต ยท (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))))) |
89 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ (๐ด ยท ๐ฅ) = (๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))))) |
90 | 89 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) = ((๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + (๐ต ยท ๐ฆ))) |
91 | 90 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ ((((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
92 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ฆ = (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ (๐ต ยท ๐ฆ) = (๐ต ยท (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))))) |
93 | 92 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ฆ = (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ ((๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + (๐ต ยท ๐ฆ)) = ((๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + (๐ต ยท (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))))) |
94 | 93 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ฆ = (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ ((((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + (๐ต ยท (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))))))) |
95 | 91, 94 | rspc2ev 3591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (((๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ โค โง (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ โค โง (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท (๐ โ (๐ข ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) + (๐ต ยท (๐ก โ (๐ฃ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))))) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ))) |
96 | 56, 60, 88, 95 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ))) |
97 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))) = (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) |
98 | | oveq12 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โง (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))) = (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) โ (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) |
99 | 97, 98 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โง ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ))) โ (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) |
100 | 99 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โง ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ))) โ ((๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
101 | 100 | 2rexbidv 3210 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โง ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ))) โ (โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ (((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
102 | 96, 101 | syl5ibrcom 247 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ ((๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โง ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ))) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
103 | 102 | expcomd 418 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โง (๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค))) โ (๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) โ (๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ))))) |
104 | 103 | expr 458 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง (๐ โ โค โง ๐ก โ โค)) โ ((๐ข โ โค โง ๐ฃ โ โค) โ (๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) โ (๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))))) |
105 | 104 | rexlimdvv 3201 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง (๐ โ โค โง ๐ก โ โค)) โ (โ๐ข โ โค โ๐ฃ โ โค ๐บ = ((๐ด ยท ๐ข) + (๐ต ยท ๐ฃ)) โ (๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ))))) |
106 | 49, 105 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ถ โ ๐) โง (๐ โ โค โง ๐ก โ โค)) โ (๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
107 | 106 | ex 414 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ((๐ โ โค โง ๐ก โ โค) โ (๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ))))) |
108 | 107 | rexlimdvv 3201 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (โ๐ โ โค โ๐ก โ โค ๐ถ = ((๐ด ยท ๐ ) + (๐ต ยท ๐ก)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
109 | 47, 108 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ))) |
110 | | modval 13782 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ถ โ โ โง ๐บ โ โ+)
โ (๐ถ mod ๐บ) = (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) |
111 | 16, 36, 110 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (๐ถ mod ๐บ) = (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ))))) |
112 | 111 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = (๐ถ mod ๐บ)) |
113 | 112 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ((๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ (๐ถ mod ๐บ) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
114 | 113 | 2rexbidv 3210 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ โ (๐บ ยท (โโ(๐ถ / ๐บ)))) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ mod ๐บ) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
115 | 109, 114 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ mod ๐บ) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ))) |
116 | | eqeq1 2737 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ง = (๐ถ mod ๐บ) โ (๐ง = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ (๐ถ mod ๐บ) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
117 | 116 | 2rexbidv 3210 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ง = (๐ถ mod ๐บ) โ (โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค ๐ง = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ mod ๐บ) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
118 | 117, 12 | elrab2 3649 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ถ mod ๐บ) โ ๐ โ ((๐ถ mod ๐บ) โ โ โง โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ถ mod ๐บ) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)))) |
119 | 118 | simplbi2com 504 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ โ
โค โ๐ฆ โ
โค (๐ถ mod ๐บ) = ((๐ด ยท ๐ฅ) + (๐ต ยท ๐ฆ)) โ ((๐ถ mod ๐บ) โ โ โ (๐ถ mod ๐บ) โ ๐)) |
120 | 115, 119 | syl 17 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ((๐ถ mod ๐บ) โ โ โ (๐ถ mod ๐บ) โ ๐)) |
121 | 12 | ssrab3 4041 |
. . . . . . . . 9
โข ๐ โ
โ |
122 | | nnuz 12811 |
. . . . . . . . 9
โข โ =
(โคโฅโ1) |
123 | 121, 122 | sseqtri 3981 |
. . . . . . . 8
โข ๐ โ
(โคโฅโ1) |
124 | | infssuzle 12861 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ
(โคโฅโ1) โง (๐ถ mod ๐บ) โ ๐) โ inf(๐, โ, < ) โค (๐ถ mod ๐บ)) |
125 | 123, 124 | mpan 689 |
. . . . . . 7
โข ((๐ถ mod ๐บ) โ ๐ โ inf(๐, โ, < ) โค (๐ถ mod ๐บ)) |
126 | 19, 125 | eqbrtrid 5141 |
. . . . . 6
โข ((๐ถ mod ๐บ) โ ๐ โ ๐บ โค (๐ถ mod ๐บ)) |
127 | 120, 126 | syl6 35 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ((๐ถ mod ๐บ) โ โ โ ๐บ โค (๐ถ mod ๐บ))) |
128 | 46, 127 | mtod 197 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ยฌ (๐ถ mod ๐บ) โ โ) |
129 | | elnn0 12420 |
. . . . . 6
โข ((๐ถ mod ๐บ) โ โ0 โ ((๐ถ mod ๐บ) โ โ โจ (๐ถ mod ๐บ) = 0)) |
130 | 41, 129 | sylib 217 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ((๐ถ mod ๐บ) โ โ โจ (๐ถ mod ๐บ) = 0)) |
131 | 130 | ord 863 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (ยฌ (๐ถ mod ๐บ) โ โ โ (๐ถ mod ๐บ) = 0)) |
132 | 128, 131 | mpd 15 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (๐ถ mod ๐บ) = 0) |
133 | | dvdsval3 16145 |
. . . 4
โข ((๐บ โ โ โง ๐ถ โ โค) โ (๐บ โฅ ๐ถ โ (๐ถ mod ๐บ) = 0)) |
134 | 40, 39, 133 | syl2anc 585 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ (๐บ โฅ ๐ถ โ (๐ถ mod ๐บ) = 0)) |
135 | 132, 134 | mpbird 257 |
. 2
โข ((๐ โง ๐ถ โ ๐) โ ๐บ โฅ ๐ถ) |
136 | 135 | ex 414 |
1
โข (๐ โ (๐ถ โ ๐ โ ๐บ โฅ ๐ถ)) |