MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom4 26216
Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 15722, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))

Proof of Theorem binom4
StepHypRef Expression
1 df-4 12225 . . . 4 4 = (3 + 1)
21oveq2i 7373 . . 3 ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘(3 + 1))
3 addcl 11140 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 3nn0 12438 . . . 4 3 โˆˆ โ„•0
5 expp1 13981 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(3 + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)))
63, 4, 5sylancl 587 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(3 + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)))
72, 6eqtrid 2789 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)))
8 binom3 14134 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
98oveq1d 7377 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท (๐ด + ๐ต)))
10 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 expcl 13992 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
1210, 4, 11sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
13 3cn 12241 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„‚
1410sqcld 14056 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
15 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1614, 15mulcld 11182 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
1813, 16, 17sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
1912, 18addcld 11181 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
2015sqcld 14056 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2110, 20mulcld 11182 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
22 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
2313, 21, 22sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
24 expcl 13992 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2515, 4, 24sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2623, 25addcld 11181 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
2719, 26addcld 11181 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
2827, 10, 15adddid 11186 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท (๐ด + ๐ต)) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ด) + ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต)))
291oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 (๐ดโ†‘4) = (๐ดโ†‘(3 + 1))
30 expp1 13981 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(3 + 1)) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด))
3110, 4, 30sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘(3 + 1)) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด))
3229, 31eqtr2id 2790 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘4))
3313a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
3433, 16, 10mulassd 11185 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ด) = (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด)))
3514, 15, 10mul32d 11372 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) ยท ๐ต))
36 df-3 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
3736oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ดโ†‘3) = (๐ดโ†‘(2 + 1))
38 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•0
39 expp1 13981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(2 + 1)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
4010, 38, 39sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘(2 + 1)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
4137, 40eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘3))
4241oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
4335, 42eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
4443oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด)) = (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
4534, 44eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ด) = (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
4632, 45oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ด)) = ((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
4712, 10, 18, 46joinlmuladdmuld 11189 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
4833, 21, 10mulassd 11185 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ด) = (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด)))
4910, 20, 10mul32d 11372 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด) = ((๐ด ยท ๐ด) ยท (๐ตโ†‘2)))
5010sqvald 14055 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
5150oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐ด) ยท (๐ตโ†‘2)))
5249, 51eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
5352oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด)) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
5448, 53eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ด) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
5525, 10mulcomd 11183 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
5654, 55oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ด) + ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ด)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
5723, 10, 25, 56joinlmuladdmuld 11189 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ด) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
5847, 57oveq12d 7380 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ด) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ด)) = (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
5919, 10, 26, 58joinlmuladdmuld 11189 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
6019, 26, 15adddird 11187 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ต)))
6133, 16, 15mulassd 11185 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ต) = (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต)))
6214, 15, 15mulassd 11185 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ต ยท ๐ต)))
6315sqvald 14055 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
6463oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ต ยท ๐ต)))
6562, 64eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
6665oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต)) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
6761, 66eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ต) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
6867oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
6912, 15, 18, 68joinlmuladdmuld 11189 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ต) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
7033, 21, 15mulassd 11185 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ต) = (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต)))
7110, 20, 15mulassd 11185 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต) = (๐ด ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)))
7236oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ตโ†‘3) = (๐ตโ†‘(2 + 1))
73 expp1 13981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(2 + 1)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
7415, 38, 73sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(2 + 1)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
7572, 74eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘3))
7675oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
7771, 76eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
7877oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต)) = (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
7970, 78eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ต) = (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
801oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 (๐ตโ†‘4) = (๐ตโ†‘(3 + 1))
81 expp1 13981 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(3 + 1)) = ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต))
8215, 4, 81sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(3 + 1)) = ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต))
8380, 82eqtr2id 2790 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘4))
8479, 83oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ต) + ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))
8523, 15, 25, 84joinlmuladdmuld 11189 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ต) = ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))
8669, 85oveq12d 7380 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
8712, 15mulcld 11182 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8814, 20mulcld 11182 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
89 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
9013, 88, 89sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
9110, 25mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
92 mulcl 11142 . . . . . . . 8 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
9313, 91, 92sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
94 4nn0 12439 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•0
95 expcl 13992 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
9615, 94, 95sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
9793, 96addcld 11181 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)) โˆˆ โ„‚)
9887, 90, 97addassd 11184 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
9960, 86, 983eqtrd 2781 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
10059, 99oveq12d 7380 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ด) + ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))))
101 expcl 13992 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
10210, 94, 101sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
103 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
10413, 87, 103sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
105102, 104addcld 11181 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
10690, 91addcld 11181 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
10790, 97addcld 11181 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))) โˆˆ โ„‚)
108105, 106, 87, 107add4d 11390 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))) = ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))))
109102, 104, 87addassd 11184 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘4) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
1101oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 + 1) ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
111 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
11333, 112, 87adddird 11187 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 + 1) ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
114110, 113eqtrid 2789 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
11587mulid2d 11180 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
116115oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
117114, 116eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
118117oveq2d 7378 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) = ((๐ดโ†‘4) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
119109, 118eqtr4d 2780 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
12090, 91, 90, 97add4d 11390 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))) = (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
121 3p3e6 12312 . . . . . . . . 9 (3 + 3) = 6
122121oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((3 + 3) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = (6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
12333, 33, 88adddird 11187 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 + 3) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
124122, 123eqtr3id 2791 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
125 3p1e4 12305 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
12613, 111, 125addcomli 11354 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
127126oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((1 + 3) ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = (4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
128112, 33, 91adddird 11187 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + 3) ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
129127, 128eqtr3id 2791 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
13091mulid2d 11180 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
131130oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
132129, 131eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
133132oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)) = (((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (๐ตโ†‘4)))
13491, 93, 96addassd 11184 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (๐ตโ†‘4)) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
135133, 134eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
136124, 135oveq12d 7380 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))) = (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
137120, 136eqtr4d 2780 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))) = ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
138119, 137oveq12d 7380 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
139108, 138eqtrd 2777 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
14028, 100, 1393eqtrd 2781 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท (๐ด + ๐ต)) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
1417, 9, 1403eqtrd 2781 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  6c6 12219  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  quart1  26222
  Copyright terms: Public domain W3C validator