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Theorem binom4 26908
Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 15863, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))

Proof of Theorem binom4
StepHypRef Expression
1 df-4 12329 . . . 4 4 = (3 + 1)
21oveq2i 7442 . . 3 ((𝐴 + 𝐵)↑4) = ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1))
3 addcl 11235 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4 3nn0 12542 . . . 4 3 ∈ ℕ0
5 expp1 14106 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
63, 4, 5sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
72, 6eqtrid 2787 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
8 binom3 14260 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
98oveq1d 7446 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)))
10 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 expcl 14117 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
1210, 4, 11sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
13 3cn 12345 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
1410sqcld 14181 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 11279 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
17 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
1813, 16, 17sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
1912, 18addcld 11278 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) ∈ ℂ)
2015sqcld 14181 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2110, 20mulcld 11279 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
22 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
2313, 21, 22sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
24 expcl 14117 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
2515, 4, 24sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
2623, 25addcld 11278 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
2719, 26addcld 11278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
2827, 10, 15adddid 11283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) + ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵)))
291oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (𝐴↑4) = (𝐴↑(3 + 1))
30 expp1 14106 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
3110, 4, 30sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
3229, 31eqtr2id 2788 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) · 𝐴) = (𝐴↑4))
3313a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 3 ∈ ℂ)
3433, 16, 10mulassd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴) = (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴)))
3514, 15, 10mul32d 11469 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐴) · 𝐵))
36 df-3 12328 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
3736oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
38 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
39 expp1 14106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
4010, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
4137, 40eqtr2id 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐴) = (𝐴↑3))
4241oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
4335, 42eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
4443oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴)) = (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)))
4534, 44eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)))
4632, 45oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) · 𝐴) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴)) = ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
4712, 10, 18, 46joinlmuladdmuld 11286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) = ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
4833, 21, 10mulassd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) = (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴)))
4910, 20, 10mul32d 11469 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) · (𝐵↑2)))
5010sqvald 14180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
5150oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐴) · (𝐵↑2)))
5249, 51eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
5352oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴)) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
5448, 53eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
5525, 10mulcomd 11280 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑3) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
5654, 55oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) + ((𝐵↑3) · 𝐴)) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))))
5723, 10, 25, 56joinlmuladdmuld 11286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))))
5847, 57oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴)) = (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))))
5919, 10, 26, 58joinlmuladdmuld 11286 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) = (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))))
6019, 26, 15adddird 11284 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵)))
6133, 16, 15mulassd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵) = (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵)))
6214, 15, 15mulassd 11282 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴↑2) · (𝐵 · 𝐵)))
6315sqvald 14180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
6463oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) · (𝐵 · 𝐵)))
6562, 64eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
6665oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵)) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
6761, 66eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
6867oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵)) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
6912, 15, 18, 68joinlmuladdmuld 11286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
7033, 21, 15mulassd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) = (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵)))
7110, 20, 15mulassd 11282 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵) = (𝐴 · ((𝐵↑2) · 𝐵)))
7236oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵↑3) = (𝐵↑(2 + 1))
73 expp1 14106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
7415, 38, 73sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
7572, 74eqtr2id 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · 𝐵) = (𝐵↑3))
7675oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · ((𝐵↑2) · 𝐵)) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
7771, 76eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
7877oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵)) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))))
7970, 78eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))))
801oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (𝐵↑4) = (𝐵↑(3 + 1))
81 expp1 14106 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(3 + 1)) = ((𝐵↑3) · 𝐵))
8215, 4, 81sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(3 + 1)) = ((𝐵↑3) · 𝐵))
8380, 82eqtr2id 2788 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑3) · 𝐵) = (𝐵↑4))
8479, 83oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) + ((𝐵↑3) · 𝐵)) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))
8523, 15, 25, 84joinlmuladdmuld 11286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))
8669, 85oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵)) = ((((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
8712, 15mulcld 11279 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) · 𝐵) ∈ ℂ)
8814, 20mulcld 11279 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
89 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
9013, 88, 89sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
9110, 25mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
92 mulcl 11237 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
9313, 91, 92sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
94 4nn0 12543 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
95 expcl 14117 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
9615, 94, 95sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
9793, 96addcld 11278 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) ∈ ℂ)
9887, 90, 97addassd 11281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
9960, 86, 983eqtrd 2779 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
10059, 99oveq12d 7449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) + ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵)) = ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))))
101 expcl 14117 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
10210, 94, 101sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
103 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) · 𝐵) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) ∈ ℂ)
10413, 87, 103sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) ∈ ℂ)
105102, 104addcld 11278 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) ∈ ℂ)
10690, 91addcld 11278 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
10790, 97addcld 11278 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) ∈ ℂ)
108105, 106, 87, 107add4d 11488 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))))
109102, 104, 87addassd 11281 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑4) + ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵))))
1101oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 + 1) · ((𝐴↑3) · 𝐵))
111 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
11333, 112, 87adddird 11284 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 + 1) · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
114110, 113eqtrid 2787 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
11587mullidd 11277 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
116115oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵)))
117114, 116eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵)))
118117oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) = ((𝐴↑4) + ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵))))
119109, 118eqtr4d 2778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
12090, 91, 90, 97add4d 11488 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))) = (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
121 3p3e6 12416 . . . . . . . . 9 (3 + 3) = 6
122121oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((3 + 3) · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = (6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
12333, 33, 88adddird 11284 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 + 3) · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
124122, 123eqtr3id 2789 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
125 3p1e4 12409 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
12613, 111, 125addcomli 11451 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
127126oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((1 + 3) · (𝐴 · (𝐵↑3))) = (4 · (𝐴 · (𝐵↑3)))
128112, 33, 91adddird 11284 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 3) · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
129127, 128eqtr3id 2789 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
13091mullidd 11277 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
131130oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
132129, 131eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
133132oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) = (((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (𝐵↑4)))
13491, 93, 96addassd 11281 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (𝐵↑4)) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
135133, 134eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
136124, 135oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) = (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
137120, 136eqtr4d 2778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))) = ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
138119, 137oveq12d 7449 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
139108, 138eqtrd 2775 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
14028, 100, 1393eqtrd 2779 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
1417, 9, 1403eqtrd 2779 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  0cn0 12524  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  quart1  26914
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