MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom4 26200
Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 15715, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))

Proof of Theorem binom4
StepHypRef Expression
1 df-4 12218 . . . 4 4 = (3 + 1)
21oveq2i 7368 . . 3 ((𝐴 + 𝐵)↑4) = ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1))
3 addcl 11133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4 3nn0 12431 . . . 4 3 ∈ ℕ0
5 expp1 13974 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
63, 4, 5sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
72, 6eqtrid 2788 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
8 binom3 14127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
98oveq1d 7372 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)))
10 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 expcl 13985 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
1210, 4, 11sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
13 3cn 12234 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
1410sqcld 14049 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
17 mulcl 11135 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
1813, 16, 17sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
1912, 18addcld 11174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) ∈ ℂ)
2015sqcld 14049 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2110, 20mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
22 mulcl 11135 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
2313, 21, 22sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
24 expcl 13985 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
2515, 4, 24sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
2623, 25addcld 11174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
2719, 26addcld 11174 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
2827, 10, 15adddid 11179 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) + ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵)))
291oveq2i 7368 . . . . . . . . 9 (𝐴↑4) = (𝐴↑(3 + 1))
30 expp1 13974 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
3110, 4, 30sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
3229, 31eqtr2id 2789 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) · 𝐴) = (𝐴↑4))
3313a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 3 ∈ ℂ)
3433, 16, 10mulassd 11178 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴) = (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴)))
3514, 15, 10mul32d 11365 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐴) · 𝐵))
36 df-3 12217 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
3736oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
38 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
39 expp1 13974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
4010, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
4137, 40eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐴) = (𝐴↑3))
4241oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
4335, 42eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
4443oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴)) = (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)))
4534, 44eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)))
4632, 45oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) · 𝐴) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴)) = ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
4712, 10, 18, 46joinlmuladdmuld 11182 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) = ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
4833, 21, 10mulassd 11178 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) = (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴)))
4910, 20, 10mul32d 11365 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) · (𝐵↑2)))
5010sqvald 14048 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
5150oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐴) · (𝐵↑2)))
5249, 51eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
5352oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴)) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
5448, 53eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
5525, 10mulcomd 11176 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑3) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
5654, 55oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) + ((𝐵↑3) · 𝐴)) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))))
5723, 10, 25, 56joinlmuladdmuld 11182 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))))
5847, 57oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴)) = (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))))
5919, 10, 26, 58joinlmuladdmuld 11182 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) = (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))))
6019, 26, 15adddird 11180 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵)))
6133, 16, 15mulassd 11178 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵) = (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵)))
6214, 15, 15mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴↑2) · (𝐵 · 𝐵)))
6315sqvald 14048 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
6463oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) · (𝐵 · 𝐵)))
6562, 64eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
6665oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵)) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
6761, 66eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
6867oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵)) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
6912, 15, 18, 68joinlmuladdmuld 11182 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
7033, 21, 15mulassd 11178 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) = (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵)))
7110, 20, 15mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵) = (𝐴 · ((𝐵↑2) · 𝐵)))
7236oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵↑3) = (𝐵↑(2 + 1))
73 expp1 13974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
7415, 38, 73sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
7572, 74eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · 𝐵) = (𝐵↑3))
7675oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · ((𝐵↑2) · 𝐵)) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
7771, 76eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
7877oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵)) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))))
7970, 78eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))))
801oveq2i 7368 . . . . . . . . 9 (𝐵↑4) = (𝐵↑(3 + 1))
81 expp1 13974 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(3 + 1)) = ((𝐵↑3) · 𝐵))
8215, 4, 81sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(3 + 1)) = ((𝐵↑3) · 𝐵))
8380, 82eqtr2id 2789 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑3) · 𝐵) = (𝐵↑4))
8479, 83oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) + ((𝐵↑3) · 𝐵)) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))
8523, 15, 25, 84joinlmuladdmuld 11182 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))
8669, 85oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵)) = ((((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
8712, 15mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) · 𝐵) ∈ ℂ)
8814, 20mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
89 mulcl 11135 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
9013, 88, 89sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
9110, 25mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
92 mulcl 11135 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
9313, 91, 92sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
94 4nn0 12432 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
95 expcl 13985 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
9615, 94, 95sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
9793, 96addcld 11174 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) ∈ ℂ)
9887, 90, 97addassd 11177 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
9960, 86, 983eqtrd 2780 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
10059, 99oveq12d 7375 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) + ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵)) = ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))))
101 expcl 13985 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
10210, 94, 101sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
103 mulcl 11135 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) · 𝐵) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) ∈ ℂ)
10413, 87, 103sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) ∈ ℂ)
105102, 104addcld 11174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) ∈ ℂ)
10690, 91addcld 11174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
10790, 97addcld 11174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) ∈ ℂ)
108105, 106, 87, 107add4d 11383 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))))
109102, 104, 87addassd 11177 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑4) + ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵))))
1101oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 + 1) · ((𝐴↑3) · 𝐵))
111 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
11333, 112, 87adddird 11180 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 + 1) · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
114110, 113eqtrid 2788 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
11587mulid2d 11173 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
116115oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵)))
117114, 116eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵)))
118117oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) = ((𝐴↑4) + ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵))))
119109, 118eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
12090, 91, 90, 97add4d 11383 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))) = (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
121 3p3e6 12305 . . . . . . . . 9 (3 + 3) = 6
122121oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((3 + 3) · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = (6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
12333, 33, 88adddird 11180 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 + 3) · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
124122, 123eqtr3id 2790 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
125 3p1e4 12298 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
12613, 111, 125addcomli 11347 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
127126oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 ((1 + 3) · (𝐴 · (𝐵↑3))) = (4 · (𝐴 · (𝐵↑3)))
128112, 33, 91adddird 11180 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 3) · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
129127, 128eqtr3id 2790 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
13091mulid2d 11173 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
131130oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
132129, 131eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
133132oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) = (((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (𝐵↑4)))
13491, 93, 96addassd 11177 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (𝐵↑4)) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
135133, 134eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
136124, 135oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) = (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
137120, 136eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))) = ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
138119, 137oveq12d 7375 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
139108, 138eqtrd 2776 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
14028, 100, 1393eqtrd 2780 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
1417, 9, 1403eqtrd 2780 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7357  cc 11049  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  6c6 12212  0cn0 12413  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  quart1  26206
  Copyright terms: Public domain W3C validator