MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom4 26800
Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 15814, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))

Proof of Theorem binom4
StepHypRef Expression
1 df-4 12313 . . . 4 4 = (3 + 1)
21oveq2i 7435 . . 3 ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘(3 + 1))
3 addcl 11226 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 3nn0 12526 . . . 4 3 โˆˆ โ„•0
5 expp1 14071 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(3 + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)))
63, 4, 5sylancl 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(3 + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)))
72, 6eqtrid 2779 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)))
8 binom3 14224 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
98oveq1d 7439 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท (๐ด + ๐ต)))
10 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 expcl 14082 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
1210, 4, 11sylancl 584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
13 3cn 12329 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„‚
1410sqcld 14146 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
15 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1614, 15mulcld 11270 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11228 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
1813, 16, 17sylancr 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
1912, 18addcld 11269 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
2015sqcld 14146 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2110, 20mulcld 11270 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
22 mulcl 11228 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
2313, 21, 22sylancr 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
24 expcl 14082 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2515, 4, 24sylancl 584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2623, 25addcld 11269 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
2719, 26addcld 11269 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
2827, 10, 15adddid 11274 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท (๐ด + ๐ต)) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ด) + ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต)))
291oveq2i 7435 . . . . . . . . 9 (๐ดโ†‘4) = (๐ดโ†‘(3 + 1))
30 expp1 14071 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(3 + 1)) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด))
3110, 4, 30sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘(3 + 1)) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด))
3229, 31eqtr2id 2780 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘4))
3313a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
3433, 16, 10mulassd 11273 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ด) = (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด)))
3514, 15, 10mul32d 11460 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) ยท ๐ต))
36 df-3 12312 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
3736oveq2i 7435 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ดโ†‘3) = (๐ดโ†‘(2 + 1))
38 2nn0 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•0
39 expp1 14071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(2 + 1)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
4010, 38, 39sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘(2 + 1)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
4137, 40eqtr2id 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘3))
4241oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
4335, 42eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
4443oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด)) = (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
4534, 44eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ด) = (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
4632, 45oveq12d 7442 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ด)) = ((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
4712, 10, 18, 46joinlmuladdmuld 11277 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
4833, 21, 10mulassd 11273 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ด) = (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด)))
4910, 20, 10mul32d 11460 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด) = ((๐ด ยท ๐ด) ยท (๐ตโ†‘2)))
5010sqvald 14145 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
5150oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐ด) ยท (๐ตโ†‘2)))
5249, 51eqtr4d 2770 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
5352oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด)) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
5448, 53eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ด) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
5525, 10mulcomd 11271 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
5654, 55oveq12d 7442 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ด) + ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ด)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
5723, 10, 25, 56joinlmuladdmuld 11277 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ด) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
5847, 57oveq12d 7442 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ด) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ด)) = (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
5919, 10, 26, 58joinlmuladdmuld 11277 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
6019, 26, 15adddird 11275 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ต)))
6133, 16, 15mulassd 11273 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ต) = (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต)))
6214, 15, 15mulassd 11273 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ต ยท ๐ต)))
6315sqvald 14145 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
6463oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ต ยท ๐ต)))
6562, 64eqtr4d 2770 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
6665oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต)) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
6761, 66eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ต) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
6867oveq2d 7440 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
6912, 15, 18, 68joinlmuladdmuld 11277 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ต) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
7033, 21, 15mulassd 11273 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ต) = (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต)))
7110, 20, 15mulassd 11273 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต) = (๐ด ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)))
7236oveq2i 7435 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ตโ†‘3) = (๐ตโ†‘(2 + 1))
73 expp1 14071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(2 + 1)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
7415, 38, 73sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(2 + 1)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
7572, 74eqtr2id 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘3))
7675oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
7771, 76eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
7877oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต)) = (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
7970, 78eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ต) = (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
801oveq2i 7435 . . . . . . . . 9 (๐ตโ†‘4) = (๐ตโ†‘(3 + 1))
81 expp1 14071 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(3 + 1)) = ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต))
8215, 4, 81sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(3 + 1)) = ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต))
8380, 82eqtr2id 2780 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘4))
8479, 83oveq12d 7442 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ต) + ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))
8523, 15, 25, 84joinlmuladdmuld 11277 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ต) = ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))
8669, 85oveq12d 7442 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
8712, 15mulcld 11270 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8814, 20mulcld 11270 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
89 mulcl 11228 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
9013, 88, 89sylancr 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
9110, 25mulcld 11270 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
92 mulcl 11228 . . . . . . . 8 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
9313, 91, 92sylancr 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
94 4nn0 12527 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•0
95 expcl 14082 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
9615, 94, 95sylancl 584 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
9793, 96addcld 11269 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)) โˆˆ โ„‚)
9887, 90, 97addassd 11272 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
9960, 86, 983eqtrd 2771 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
10059, 99oveq12d 7442 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ด) + ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))))
101 expcl 14082 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
10210, 94, 101sylancl 584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
103 mulcl 11228 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
10413, 87, 103sylancr 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
105102, 104addcld 11269 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
10690, 91addcld 11269 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
10790, 97addcld 11269 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))) โˆˆ โ„‚)
108105, 106, 87, 107add4d 11478 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))) = ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))))
109102, 104, 87addassd 11272 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘4) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
1101oveq1i 7434 . . . . . . . . 9 (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 + 1) ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
111 ax-1cn 11202 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
11333, 112, 87adddird 11275 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 + 1) ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
114110, 113eqtrid 2779 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
11587mullidd 11268 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
116115oveq2d 7440 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
117114, 116eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
118117oveq2d 7440 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) = ((๐ดโ†‘4) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
119109, 118eqtr4d 2770 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
12090, 91, 90, 97add4d 11478 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))) = (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
121 3p3e6 12400 . . . . . . . . 9 (3 + 3) = 6
122121oveq1i 7434 . . . . . . . 8 ((3 + 3) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = (6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
12333, 33, 88adddird 11275 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 + 3) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
124122, 123eqtr3id 2781 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
125 3p1e4 12393 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
12613, 111, 125addcomli 11442 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
127126oveq1i 7434 . . . . . . . . . . 11 ((1 + 3) ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = (4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
128112, 33, 91adddird 11275 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + 3) ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
129127, 128eqtr3id 2781 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
13091mullidd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
131130oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
132129, 131eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
133132oveq1d 7439 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)) = (((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (๐ตโ†‘4)))
13491, 93, 96addassd 11272 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (๐ตโ†‘4)) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
135133, 134eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
136124, 135oveq12d 7442 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))) = (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
137120, 136eqtr4d 2770 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))) = ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
138119, 137oveq12d 7442 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
139108, 138eqtrd 2767 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
14028, 100, 1393eqtrd 2771 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท (๐ด + ๐ต)) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
1417, 9, 1403eqtrd 2771 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  1c1 11145   + caddc 11147   ยท cmul 11149  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  6c6 12307  โ„•0cn0 12508  โ†‘cexp 14064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-seq 14005  df-exp 14065
This theorem is referenced by:  quart1  26806
  Copyright terms: Public domain W3C validator