MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binom4 26733
Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 15780, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))

Proof of Theorem binom4
StepHypRef Expression
1 df-4 12278 . . . 4 4 = (3 + 1)
21oveq2i 7415 . . 3 ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘(3 + 1))
3 addcl 11191 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 3nn0 12491 . . . 4 3 โˆˆ โ„•0
5 expp1 14037 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(3 + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)))
63, 4, 5sylancl 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(3 + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)))
72, 6eqtrid 2778 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)))
8 binom3 14190 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
98oveq1d 7419 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท (๐ด + ๐ต)))
10 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 expcl 14048 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
1210, 4, 11sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
13 3cn 12294 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„‚
1410sqcld 14112 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1614, 15mulcld 11235 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
1813, 16, 17sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
1912, 18addcld 11234 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
2015sqcld 14112 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2110, 20mulcld 11235 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
22 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
2313, 21, 22sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
24 expcl 14048 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2515, 4, 24sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2623, 25addcld 11234 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
2719, 26addcld 11234 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
2827, 10, 15adddid 11239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท (๐ด + ๐ต)) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ด) + ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต)))
291oveq2i 7415 . . . . . . . . 9 (๐ดโ†‘4) = (๐ดโ†‘(3 + 1))
30 expp1 14037 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(3 + 1)) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด))
3110, 4, 30sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘(3 + 1)) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด))
3229, 31eqtr2id 2779 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘4))
3313a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
3433, 16, 10mulassd 11238 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ด) = (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด)))
3514, 15, 10mul32d 11425 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) ยท ๐ต))
36 df-3 12277 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
3736oveq2i 7415 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ดโ†‘3) = (๐ดโ†‘(2 + 1))
38 2nn0 12490 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•0
39 expp1 14037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(2 + 1)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
4010, 38, 39sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘(2 + 1)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
4137, 40eqtr2id 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘3))
4241oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
4335, 42eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
4443oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ด)) = (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
4534, 44eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ด) = (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
4632, 45oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ด) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ด)) = ((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
4712, 10, 18, 46joinlmuladdmuld 11242 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
4833, 21, 10mulassd 11238 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ด) = (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด)))
4910, 20, 10mul32d 11425 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด) = ((๐ด ยท ๐ด) ยท (๐ตโ†‘2)))
5010sqvald 14111 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
5150oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐ด) ยท (๐ตโ†‘2)))
5249, 51eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
5352oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด)) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
5448, 53eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ด) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
5525, 10mulcomd 11236 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
5654, 55oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ด) + ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ด)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
5723, 10, 25, 56joinlmuladdmuld 11242 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ด) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
5847, 57oveq12d 7422 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ด) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ด)) = (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
5919, 10, 26, 58joinlmuladdmuld 11242 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
6019, 26, 15adddird 11240 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ต)))
6133, 16, 15mulassd 11238 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ต) = (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต)))
6214, 15, 15mulassd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ต ยท ๐ต)))
6315sqvald 14111 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
6463oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ต ยท ๐ต)))
6562, 64eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
6665oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) ยท ๐ต)) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
6761, 66eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ต) = (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
6867oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
6912, 15, 18, 68joinlmuladdmuld 11242 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ต) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
7033, 21, 15mulassd 11238 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ต) = (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต)))
7110, 20, 15mulassd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต) = (๐ด ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)))
7236oveq2i 7415 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ตโ†‘3) = (๐ตโ†‘(2 + 1))
73 expp1 14037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(2 + 1)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
7415, 38, 73sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(2 + 1)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
7572, 74eqtr2id 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘3))
7675oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
7771, 76eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
7877oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต)) = (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
7970, 78eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ต) = (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))))
801oveq2i 7415 . . . . . . . . 9 (๐ตโ†‘4) = (๐ตโ†‘(3 + 1))
81 expp1 14037 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(3 + 1)) = ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต))
8215, 4, 81sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(3 + 1)) = ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต))
8380, 82eqtr2id 2779 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต) = (๐ตโ†‘4))
8479, 83oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) ยท ๐ต) + ((๐ตโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))
8523, 15, 25, 84joinlmuladdmuld 11242 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ต) = ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))
8669, 85oveq12d 7422 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) ยท ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
8712, 15mulcld 11235 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8814, 20mulcld 11235 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
89 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
9013, 88, 89sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
9110, 25mulcld 11235 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
92 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
9313, 91, 92sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
94 4nn0 12492 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•0
95 expcl 14048 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
9615, 94, 95sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
9793, 96addcld 11234 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)) โˆˆ โ„‚)
9887, 90, 97addassd 11237 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
9960, 86, 983eqtrd 2770 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต) = (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
10059, 99oveq12d 7422 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ด) + ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))))
101 expcl 14048 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
10210, 94, 101sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
103 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
10413, 87, 103sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
105102, 104addcld 11234 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
10690, 91addcld 11234 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
10790, 97addcld 11234 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))) โˆˆ โ„‚)
108105, 106, 87, 107add4d 11443 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))) = ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))))
109102, 104, 87addassd 11237 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘4) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
1101oveq1i 7414 . . . . . . . . 9 (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 + 1) ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
111 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
11333, 112, 87adddird 11240 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 + 1) ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
114110, 113eqtrid 2778 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
11587mullidd 11233 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))
116115oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
117114, 116eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)))
118117oveq2d 7420 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) = ((๐ดโ†‘4) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
119109, 118eqtr4d 2769 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))))
12090, 91, 90, 97add4d 11443 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))) = (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
121 3p3e6 12365 . . . . . . . . 9 (3 + 3) = 6
122121oveq1i 7414 . . . . . . . 8 ((3 + 3) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = (6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
12333, 33, 88adddird 11240 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 + 3) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
124122, 123eqtr3id 2780 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))))
125 3p1e4 12358 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
12613, 111, 125addcomli 11407 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
127126oveq1i 7414 . . . . . . . . . . 11 ((1 + 3) ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = (4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
128112, 33, 91adddird 11240 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + 3) ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
129127, 128eqtr3id 2780 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
13091mullidd 11233 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))
131130oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
132129, 131eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))))
133132oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)) = (((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (๐ตโ†‘4)))
13491, 93, 96addassd 11237 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (๐ตโ†‘4)) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
135133, 134eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
136124, 135oveq12d 7422 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))) = (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘3)) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
137120, 136eqtr4d 2769 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))) = ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))
138119, 137oveq12d 7422 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต)) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
139108, 138eqtrd 2766 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘4) + (3 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘3)))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต) + ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4))))) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
14028, 100, 1393eqtrd 2770 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) ยท (๐ด + ๐ต)) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
1417, 9, 1403eqtrd 2770 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘4) = (((๐ดโ†‘4) + (4 ยท ((๐ดโ†‘3) ยท ๐ต))) + ((6 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))) + ((4 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘3))) + (๐ตโ†‘4)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  6c6 12272  โ„•0cn0 12473  โ†‘cexp 14030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-exp 14031
This theorem is referenced by:  quart1  26739
  Copyright terms: Public domain W3C validator