binom4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem binom4 24868

Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 14846, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
binom4	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))

**Proof of Theorem binom4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 11337	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	oveq2i 6853	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵)↑4) = ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1))
3		addcl 10271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		3nn0 11558	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
5		expp1 13074	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
6	3, 4, 5	sylancl 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
7	2, 6	syl5eq 2811	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
8		binom3 13192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
9	8	oveq1d 6857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)))
10		simpl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		expcl 13085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
12	10, 4, 11	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
13		3cn 11353	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	10	sqcld 13213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 10314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
17		mulcl 10273	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
18	13, 16, 17	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
19	12, 18	addcld 10313	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) ∈ ℂ)
20	15	sqcld 13213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
21	10, 20	mulcld 10314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
22		mulcl 10273	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
23	13, 21, 22	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
24		expcl 13085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
25	15, 4, 24	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
26	23, 25	addcld 10313	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
27	19, 26	addcld 10313	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
28	27, 10, 15	adddid 10318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) + ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵)))
29	19, 26, 10	adddird 10319	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴)))
30	12, 18, 10	adddird 10319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) = (((𝐴↑3) · 𝐴) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴)))
31	1	oveq2i 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑4) = (𝐴↑(3 + 1))
32		expp1 13074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
33	10, 4, 32	sylancl 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
34	31, 33	syl5req 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) · 𝐴) = (𝐴↑4))
35	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 3 ∈ ℂ)
36	35, 16, 10	mulassd 10317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴) = (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴)))
37	14, 15, 10	mul32d 10500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐴) · 𝐵))
38		df-3 11336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
39	38	oveq2i 6853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
40		2nn0 11557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
41		expp1 13074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
42	10, 40, 41	sylancl 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
43	39, 42	syl5req 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐴) = (𝐴↑3))
44	43	oveq1d 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
45	37, 44	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
46	45	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴)) = (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)))
47	36, 46	eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)))
48	34, 47	oveq12d 6860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) · 𝐴) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴)) = ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
49	30, 48	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) = ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
50	23, 25, 10	adddird 10319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴) = (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) + ((𝐵↑3) · 𝐴)))
51	35, 21, 10	mulassd 10317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) = (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴)))
52	10, 20, 10	mul32d 10500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) · (𝐵↑2)))
53	10	sqvald 13212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
54	53	oveq1d 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐴) · (𝐵↑2)))
55	52, 54	eqtr4d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
56	55	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴)) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
57	51, 56	eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
58	25, 10	mulcomd 10315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑3) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
59	57, 58	oveq12d 6860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) + ((𝐵↑3) · 𝐴)) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))))
60	50, 59	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))))
61	49, 60	oveq12d 6860	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴)) = (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))))
62	29, 61	eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) = (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))))
63	19, 26, 15	adddird 10319	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵)))
64	12, 18, 15	adddird 10319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵)))
65	35, 16, 15	mulassd 10317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵) = (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵)))
66	14, 15, 15	mulassd 10317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴↑2) · (𝐵 · 𝐵)))
67	15	sqvald 13212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
68	67	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) · (𝐵 · 𝐵)))
69	66, 68	eqtr4d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
70	69	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵)) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
71	65, 70	eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
72	71	oveq2d 6858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵)) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
73	64, 72	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
74	23, 25, 15	adddird 10319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵) = (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) + ((𝐵↑3) · 𝐵)))
75	35, 21, 15	mulassd 10317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) = (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵)))
76	10, 20, 15	mulassd 10317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵) = (𝐴 · ((𝐵↑2) · 𝐵)))
77	38	oveq2i 6853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵↑3) = (𝐵↑(2 + 1))
78		expp1 13074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
79	15, 40, 78	sylancl 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
80	77, 79	syl5req 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · 𝐵) = (𝐵↑3))
81	80	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · ((𝐵↑2) · 𝐵)) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
82	76, 81	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
83	82	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵)) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))))
84	75, 83	eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))))
85	1	oveq2i 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵↑4) = (𝐵↑(3 + 1))
86		expp1 13074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(3 + 1)) = ((𝐵↑3) · 𝐵))
87	15, 4, 86	sylancl 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(3 + 1)) = ((𝐵↑3) · 𝐵))
88	85, 87	syl5req 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑3) · 𝐵) = (𝐵↑4))
89	84, 88	oveq12d 6860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) + ((𝐵↑3) · 𝐵)) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))
90	74, 89	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))
91	73, 90	oveq12d 6860	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵)) = ((((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
92	12, 15	mulcld 10314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) · 𝐵) ∈ ℂ)
93	14, 20	mulcld 10314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
94		mulcl 10273	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
95	13, 93, 94	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
96	10, 25	mulcld 10314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
97		mulcl 10273	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
98	13, 96, 97	sylancr 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
99		4nn0 11559	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
100		expcl 13085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
101	15, 99, 100	sylancl 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
102	98, 101	addcld 10313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) ∈ ℂ)
103	92, 95, 102	addassd 10316	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
104	63, 91, 103	3eqtrd 2803	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
105	62, 104	oveq12d 6860	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) + ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵)) = ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))))
106		expcl 13085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
107	10, 99, 106	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
108		mulcl 10273	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) · 𝐵) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) ∈ ℂ)
109	13, 92, 108	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) ∈ ℂ)
110	107, 109	addcld 10313	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) ∈ ℂ)
111	95, 96	addcld 10313	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
112	95, 102	addcld 10313	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) ∈ ℂ)
113	110, 111, 92, 112	add4d 10518	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))))
114	107, 109, 92	addassd 10316	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑4) + ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵))))
115	1	oveq1i 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 + 1) · ((𝐴↑3) · 𝐵))
116		ax-1cn 10247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
118	35, 117, 92	adddird 10319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 + 1) · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
119	115, 118	syl5eq 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
120	92	mulid2d 10312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
121	120	oveq2d 6858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵)))
122	119, 121	eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵)))
123	122	oveq2d 6858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) = ((𝐴↑4) + ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵))))
124	114, 123	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
125	95, 96, 95, 102	add4d 10518	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))) = (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
126		3p3e6 11430	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
127	126	oveq1i 6852	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 + 3) · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = (6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
128	35, 35, 93	adddird 10319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 + 3) · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
129	127, 128	syl5eqr 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
130		3p1e4 11423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 1) = 4
131	13, 116, 130	addcomli 10482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 3) = 4
132	131	oveq1i 6852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 + 3) · (𝐴 · (𝐵↑3))) = (4 · (𝐴 · (𝐵↑3)))
133	117, 35, 96	adddird 10319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 3) · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
134	132, 133	syl5eqr 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
135	96	mulid2d 10312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
136	135	oveq1d 6857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
137	134, 136	eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
138	137	oveq1d 6857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) = (((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (𝐵↑4)))
139	96, 98, 101	addassd 10316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (𝐵↑4)) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
140	138, 139	eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
141	129, 140	oveq12d 6860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) = (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
142	125, 141	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))) = ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
143	124, 142	oveq12d 6860	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
144	113, 143	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
145	28, 105, 144	3eqtrd 2803	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
146	7, 9, 145	3eqtrd 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 384 = wceq 1652 ∈ wcel 2155 (class class class)co 6842 ℂcc 10187 1c1 10190 + caddc 10192 · cmul 10194 2c2 11327 3c3 11328 4c4 11329 6c6 11331 ℕ₀cn0 11538 ↑cexp 13067

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1890 ax-4 1904 ax-5 2005 ax-6 2070 ax-7 2105 ax-8 2157 ax-9 2164 ax-10 2183 ax-11 2198 ax-12 2211 ax-13 2352 ax-ext 2743 ax-sep 4941 ax-nul 4949 ax-pow 5001 ax-pr 5062 ax-un 7147 ax-cnex 10245 ax-resscn 10246 ax-1cn 10247 ax-icn 10248 ax-addcl 10249 ax-addrcl 10250 ax-mulcl 10251 ax-mulrcl 10252 ax-mulcom 10253 ax-addass 10254 ax-mulass 10255 ax-distr 10256 ax-i2m1 10257 ax-1ne0 10258 ax-1rid 10259 ax-rnegex 10260 ax-rrecex 10261 ax-cnre 10262 ax-pre-lttri 10263 ax-pre-lttrn 10264 ax-pre-ltadd 10265 ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions: df-bi 198 df-an 385 df-or 874 df-3or 1108 df-3an 1109 df-tru 1656 df-ex 1875 df-nf 1879 df-sb 2063 df-mo 2565 df-eu 2582 df-clab 2752 df-cleq 2758 df-clel 2761 df-nfc 2896 df-ne 2938 df-nel 3041 df-ral 3060 df-rex 3061 df-reu 3062 df-rab 3064 df-v 3352 df-sbc 3597 df-csb 3692 df-dif 3735 df-un 3737 df-in 3739 df-ss 3746 df-pss 3748 df-nul 4080 df-if 4244 df-pw 4317 df-sn 4335 df-pr 4337 df-tp 4339 df-op 4341 df-uni 4595 df-iun 4678 df-br 4810 df-opab 4872 df-mpt 4889 df-tr 4912 df-id 5185 df-eprel 5190 df-po 5198 df-so 5199 df-fr 5236 df-we 5238 df-xp 5283 df-rel 5284 df-cnv 5285 df-co 5286 df-dm 5287 df-rn 5288 df-res 5289 df-ima 5290 df-pred 5865 df-ord 5911 df-on 5912 df-lim 5913 df-suc 5914 df-iota 6031 df-fun 6070 df-fn 6071 df-f 6072 df-f1 6073 df-fo 6074 df-f1o 6075 df-fv 6076 df-riota 6803 df-ov 6845 df-oprab 6846 df-mpt2 6847 df-om 7264 df-2nd 7367 df-wrecs 7610 df-recs 7672 df-rdg 7710 df-er 7947 df-en 8161 df-dom 8162 df-sdom 8163 df-pnf 10330 df-mnf 10331 df-xr 10332 df-ltxr 10333 df-le 10334 df-sub 10522 df-neg 10523 df-nn 11275 df-2 11335 df-3 11336 df-4 11337 df-5 11338 df-6 11339 df-n0 11539 df-z 11625 df-uz 11887 df-seq 13009 df-exp 13068

This theorem is referenced by: quart1 24874

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