MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  discr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem discr1 14202
Description: A nonnegative quadratic form has nonnegative leading coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
discr.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
discr.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
discr.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
discr1.5 ๐‘‹ = if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1)
Assertion
Ref Expression
discr1 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem discr1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘‹โ†‘2))
21oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)))
3 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘‹))
42, 3oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) = ((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)))
54oveq1d 7424 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) = (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ))
65breq2d 5161 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ) โ†” 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ)))
7 discr.4 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
87ralrimiva 3147 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
98adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘ฅ)) + ๐ถ))
10 discr1.5 . . . . 5 ๐‘‹ = if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1)
11 discr.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1211adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
13 discr.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1413adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
15 0re 11216 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
16 ifcl 4574 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„)
1714, 15, 16sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„)
1812, 17readdcld 11243 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) โˆˆ โ„)
19 peano2re 11387 . . . . . . . 8 ((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) โˆˆ โ„)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) โˆˆ โ„)
21 discr.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2221adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2322renegcld 11641 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
2421lt0neg1d 11783 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐ด))
2524biimpa 478 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < -๐ด)
2625gt0ne0d 11778 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐ด โ‰  0)
2720, 23, 26redivcld 12042 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด) โˆˆ โ„)
28 1re 11214 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
29 ifcl 4574 . . . . . 6 (((((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1) โˆˆ โ„)
3027, 28, 29sylancl 587 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1) โˆˆ โ„)
3110, 30eqeltrid 2838 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
326, 9, 31rspcdva 3614 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ))
33 resqcl 14089 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„)
3431, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„)
3522, 34remulcld 11244 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆˆ โ„)
3612, 31remulcld 11244 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ต ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„)
3735, 36readdcld 11243 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) โˆˆ โ„)
3837, 14readdcld 11243 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ) โˆˆ โ„)
3922, 31remulcld 11244 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„)
4039, 18readdcld 11243 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) โˆˆ โ„)
4140, 31remulcld 11244 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„)
4215a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
4317, 31remulcld 11244 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„)
44 max2 13166 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))
4515, 14, 44sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ถ โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))
46 max1 13164 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))
4715, 14, 46sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))
48 max1 13164 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ 1 โ‰ค if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1))
4928, 27, 48sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 1 โ‰ค if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1))
5049, 10breqtrrdi 5191 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘‹)
5117, 31, 47, 50lemulge11d 12151 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โ‰ค (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐‘‹))
5214, 17, 43, 45, 51letrd 11371 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ถ โ‰ค (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐‘‹))
5314, 43, 37, 52leadd2dd 11829 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ) โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐‘‹)))
5439, 12readdcld 11243 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต) โˆˆ โ„)
5554recnd 11242 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5617recnd 11242 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) โˆˆ โ„‚)
5731recnd 11242 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
5855, 56, 57adddird 11239 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต) + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) ยท ๐‘‹) = ((((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต) ยท ๐‘‹) + (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐‘‹)))
5939recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
6012recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6159, 60, 56addassd 11236 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต) + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) = ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))))
6261oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต) + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) ยท ๐‘‹) = (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) ยท ๐‘‹))
6322recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6463, 57, 57mulassd 11237 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) ยท ๐‘‹) = (๐ด ยท (๐‘‹ ยท ๐‘‹)))
65 sqval 14080 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹โ†‘2) = (๐‘‹ ยท ๐‘‹))
6657, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐‘‹โ†‘2) = (๐‘‹ ยท ๐‘‹))
6766oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) = (๐ด ยท (๐‘‹ ยท ๐‘‹)))
6864, 67eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) ยท ๐‘‹) = (๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)))
6968oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘‹)) = ((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)))
7059, 57, 60, 69joinlmuladdmuld 11241 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต) ยท ๐‘‹) = ((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)))
7170oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((((๐ด ยท ๐‘‹) + ๐ต) ยท ๐‘‹) + (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐‘‹)) = (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐‘‹)))
7258, 62, 713eqtr3d 2781 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) ยท ๐‘‹) = (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + (if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0) ยท ๐‘‹)))
7353, 72breqtrrd 5177 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ) โ‰ค (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) ยท ๐‘‹))
7423, 31remulcld 11244 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„)
7518ltp1d 12144 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) < ((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1))
76 max2 13166 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด) โ‰ค if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1))
7728, 27, 76sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด) โ‰ค if(1 โ‰ค (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด), 1))
7877, 10breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด) โ‰ค ๐‘‹)
79 ledivmul 12090 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ด)) โ†’ ((((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด) โ‰ค ๐‘‹ โ†” ((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) โ‰ค (-๐ด ยท ๐‘‹)))
8020, 31, 23, 25, 79syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) / -๐ด) โ‰ค ๐‘‹ โ†” ((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) โ‰ค (-๐ด ยท ๐‘‹)))
8178, 80mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) + 1) โ‰ค (-๐ด ยท ๐‘‹))
8218, 20, 74, 75, 81ltletrd 11374 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) < (-๐ด ยท ๐‘‹))
8363, 57mulneg1d 11667 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด ยท ๐‘‹) = -(๐ด ยท ๐‘‹))
84 df-neg 11447 . . . . . . . . . 10 -(๐ด ยท ๐‘‹) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐‘‹))
8583, 84eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด ยท ๐‘‹) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐‘‹)))
8682, 85breqtrd 5175 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) < (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐‘‹)))
8739, 18, 42ltaddsub2d 11815 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) < 0 โ†” (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0)) < (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐‘‹))))
8886, 87mpbird 257 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) < 0)
8928a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
90 0lt1 11736 . . . . . . . . . 10 0 < 1
9190a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < 1)
9242, 89, 31, 91, 50ltletrd 11374 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐‘‹)
93 ltmul1 12064 . . . . . . . 8 ((((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘‹)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) < 0 โ†” (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) ยท ๐‘‹) < (0 ยท ๐‘‹)))
9440, 42, 31, 92, 93syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) < 0 โ†” (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) ยท ๐‘‹) < (0 ยท ๐‘‹)))
9588, 94mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) ยท ๐‘‹) < (0 ยท ๐‘‹))
9657mul02d 11412 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = 0)
9795, 96breqtrd 5175 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต + if(0 โ‰ค ๐ถ, ๐ถ, 0))) ยท ๐‘‹) < 0)
9838, 41, 42, 73, 97lelttrd 11372 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ) < 0)
99 ltnle 11293 . . . . 5 (((((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ) < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ)))
10038, 15, 99sylancl 587 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ) < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ)))
10198, 100mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ยฌ 0 โ‰ค (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘‹)) + ๐ถ))
10232, 101pm2.65da 816 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
103 lelttric 11321 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆจ ๐ด < 0))
10415, 21, 103sylancr 588 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆจ ๐ด < 0))
105104ord 863 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ด โ†’ ๐ด < 0))
106102, 105mt3d 148 1 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  ifcif 4529   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  discr  14203
  Copyright terms: Public domain W3C validator