Theorem discr1 14211

Description: A nonnegative quadratic form has nonnegative leading coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
discr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
discr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
discr.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
discr.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
discr1.5	⊢ 𝑋 = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)

Assertion

Ref	Expression
discr1	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem discr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
2	1	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑋↑2)))
3		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑋))
4	2, 3	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
5	4	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
6	5	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
7		discr.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
8	7	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
10		discr1.5	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
11		discr.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		discr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		0re 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		ifcl 4537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
18	12, 17	readdcld 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) ∈ ℝ)
19		peano2re 11354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) ∈ ℝ → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ)
21		discr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	22	renegcld 11612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
24	21	lt0neg1d 11754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
25	24	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
26	25	gt0ne0d 11749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ≠ 0)
27	20, 23, 26	redivcld 12017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ)
28		1re 11181	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
29		ifcl 4537	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) ∈ ℝ)
31	10, 30	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
32	6, 9, 31	rspcdva 3592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
33		resqcl 14096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
35	22, 34	remulcld 11211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
36	12, 31	remulcld 11211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℝ)
37	35, 36	readdcld 11210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) ∈ ℝ)
38	37, 14	readdcld 11210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ∈ ℝ)
39	22, 31	remulcld 11211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
40	39, 18	readdcld 11210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
41	40, 31	remulcld 11211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) ∈ ℝ)
42	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
43	17, 31	remulcld 11211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋) ∈ ℝ)
44		max2 13154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
45	15, 14, 44	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
46		max1 13152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
47	15, 14, 46	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
48		max1 13152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
49	28, 27, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 1 ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
50	49, 10	breqtrrdi 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 1 ≤ 𝑋)
51	17, 31, 47, 50	lemulge11d 12127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ≤ (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋))
52	14, 17, 43, 45, 51	letrd 11338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ≤ (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋))
53	14, 43, 37, 52	leadd2dd 11800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
54	39, 12	readdcld 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℂ)
56	17	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
57	31	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
58	55, 56, 57	adddird 11206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) · 𝑋) = ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
59	39	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
60	12	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
61	59, 60, 56	addassd 11203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) = ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))))
62	61	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) · 𝑋) = (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋))
63	22	recnd 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63, 57, 57	mulassd 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) = (𝐴 · (𝑋 · 𝑋)))
65		sqval 14086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
66	57, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
67	66	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · (𝑋↑2)) = (𝐴 · (𝑋 · 𝑋)))
68	64, 67	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) = (𝐴 · (𝑋↑2)))
69	68	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) + (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
70	59, 57, 60, 69	joinlmuladdmuld 11208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
71	70	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
72	58, 62, 71	3eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
73	53, 72	breqtrrd 5138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ≤ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋))
74	23, 31	remulcld 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
75	18	ltp1d 12120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1))
76		max2 13154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
77	28, 27, 76	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
78	77, 10	breqtrrdi 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋)
79		ledivmul 12066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)) → ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋 ↔ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋)))
80	20, 31, 23, 25, 79	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋 ↔ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋)))
81	78, 80	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋))
82	18, 20, 74, 75, 81	ltletrd 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (-𝐴 · 𝑋))
83	63, 57	mulneg1d 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) = -(𝐴 · 𝑋))
84		df-neg 11415	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(𝐴 · 𝑋) = (0 − (𝐴 · 𝑋))
85	83, 84	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) = (0 − (𝐴 · 𝑋)))
86	82, 85	breqtrd 5136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (0 − (𝐴 · 𝑋)))
87	39, 18, 42	ltaddsub2d 11786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (0 − (𝐴 · 𝑋))))
88	86, 87	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0)
89	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90		0lt1 11707	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
91	90	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 1)
92	42, 89, 31, 91, 50	ltletrd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝑋)
93		ltmul1 12039	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋)))
94	40, 42, 31, 92, 93	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋)))
95	88, 94	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋))
96	57	mul02d 11379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (0 · 𝑋) = 0)
97	95, 96	breqtrd 5136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < 0)
98	38, 41, 42, 73, 97	lelttrd 11339	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0)
99		ltnle 11260	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
100	38, 15, 99	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
101	98, 100	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
102	32, 101	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
103		lelttric 11288	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
104	15, 21, 103	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
105	104	ord 864	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 0))
106	102, 105	mt3d 148	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ifcif 4491   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  2c2 12248  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  discr  14212