Theorem discr1 13882

Description: A nonnegative quadratic form has nonnegative leading coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
discr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
discr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
discr.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
discr.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
discr1.5	⊢ 𝑋 = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)

Assertion

Ref	Expression
discr1	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem discr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
2	1	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑋↑2)))
3		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑋))
4	2, 3	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
5	4	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
6	5	breq2d 5082	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
7		discr.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
8	7	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
10		discr1.5	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
11		discr.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		discr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		0re 10908	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		ifcl 4501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
18	12, 17	readdcld 10935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) ∈ ℝ)
19		peano2re 11078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) ∈ ℝ → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ)
21		discr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	22	renegcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
24	21	lt0neg1d 11474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
25	24	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
26	25	gt0ne0d 11469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ≠ 0)
27	20, 23, 26	redivcld 11733	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ)
28		1re 10906	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
29		ifcl 4501	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) ∈ ℝ)
31	10, 30	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
32	6, 9, 31	rspcdva 3554	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
33		resqcl 13772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
35	22, 34	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
36	12, 31	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℝ)
37	35, 36	readdcld 10935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) ∈ ℝ)
38	37, 14	readdcld 10935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ∈ ℝ)
39	22, 31	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
40	39, 18	readdcld 10935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
41	40, 31	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) ∈ ℝ)
42	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
43	17, 31	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋) ∈ ℝ)
44		max2 12850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
45	15, 14, 44	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
46		max1 12848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
47	15, 14, 46	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
48		max1 12848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
49	28, 27, 48	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 1 ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
50	49, 10	breqtrrdi 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 1 ≤ 𝑋)
51	17, 31, 47, 50	lemulge11d 11842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ≤ (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋))
52	14, 17, 43, 45, 51	letrd 11062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ≤ (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋))
53	14, 43, 37, 52	leadd2dd 11520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
54	39, 12	readdcld 10935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℝ)
55	54	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℂ)
56	17	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
57	31	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
58	55, 56, 57	adddird 10931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) · 𝑋) = ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
59	39	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
60	12	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
61	59, 60, 56	addassd 10928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) = ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))))
62	61	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) · 𝑋) = (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋))
63	22	recnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63, 57, 57	mulassd 10929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) = (𝐴 · (𝑋 · 𝑋)))
65		sqval 13763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
66	57, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
67	66	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · (𝑋↑2)) = (𝐴 · (𝑋 · 𝑋)))
68	64, 67	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) = (𝐴 · (𝑋↑2)))
69	68	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) + (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
70	59, 57, 60, 69	joinlmuladdmuld 10933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
71	70	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
72	58, 62, 71	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
73	53, 72	breqtrrd 5098	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ≤ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋))
74	23, 31	remulcld 10936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
75	18	ltp1d 11835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1))
76		max2 12850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
77	28, 27, 76	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
78	77, 10	breqtrrdi 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋)
79		ledivmul 11781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)) → ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋 ↔ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋)))
80	20, 31, 23, 25, 79	syl112anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋 ↔ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋)))
81	78, 80	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋))
82	18, 20, 74, 75, 81	ltletrd 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (-𝐴 · 𝑋))
83	63, 57	mulneg1d 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) = -(𝐴 · 𝑋))
84		df-neg 11138	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(𝐴 · 𝑋) = (0 − (𝐴 · 𝑋))
85	83, 84	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) = (0 − (𝐴 · 𝑋)))
86	82, 85	breqtrd 5096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (0 − (𝐴 · 𝑋)))
87	39, 18, 42	ltaddsub2d 11506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (0 − (𝐴 · 𝑋))))
88	86, 87	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0)
89	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90		0lt1 11427	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
91	90	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 1)
92	42, 89, 31, 91, 50	ltletrd 11065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝑋)
93		ltmul1 11755	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋)))
94	40, 42, 31, 92, 93	syl112anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋)))
95	88, 94	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋))
96	57	mul02d 11103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (0 · 𝑋) = 0)
97	95, 96	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < 0)
98	38, 41, 42, 73, 97	lelttrd 11063	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0)
99		ltnle 10985	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
100	38, 15, 99	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
101	98, 100	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
102	32, 101	pm2.65da 813	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
103		lelttric 11012	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
104	15, 21, 103	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
105	104	ord 860	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 0))
106	102, 105	mt3d 148	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ifcif 4456   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  discr  13883