MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  discr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem discr1 14142
Description: A nonnegative quadratic form has nonnegative leading coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
discr.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
discr.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
discr.4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
discr1.5 𝑋 = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
Assertion
Ref Expression
discr1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem discr1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
21oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑋↑2)))
3 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑋))
42, 3oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
54oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
65breq2d 5117 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
7 discr.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
87ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
10 discr1.5 . . . . 5 𝑋 = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
11 discr.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 discr.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 0re 11157 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
16 ifcl 4531 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
1812, 17readdcld 11184 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) ∈ ℝ)
19 peano2re 11328 . . . . . . . 8 ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) ∈ ℝ → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ)
21 discr.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2322renegcld 11582 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
2421lt0neg1d 11724 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
2524biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
2625gt0ne0d 11719 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ≠ 0)
2720, 23, 26redivcld 11983 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ)
28 1re 11155 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
29 ifcl 4531 . . . . . 6 (((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) ∈ ℝ)
3027, 28, 29sylancl 586 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) ∈ ℝ)
3110, 30eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
326, 9, 31rspcdva 3582 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
33 resqcl 14029 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3431, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3522, 34remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
3612, 31remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℝ)
3735, 36readdcld 11184 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) ∈ ℝ)
3837, 14readdcld 11184 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ∈ ℝ)
3922, 31remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
4039, 18readdcld 11184 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
4140, 31remulcld 11185 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) ∈ ℝ)
4215a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
4317, 31remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋) ∈ ℝ)
44 max2 13106 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
4515, 14, 44sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
46 max1 13104 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
4715, 14, 46sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
48 max1 13104 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
4928, 27, 48sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → 1 ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
5049, 10breqtrrdi 5147 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 1 ≤ 𝑋)
5117, 31, 47, 50lemulge11d 12092 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ≤ (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋))
5214, 17, 43, 45, 51letrd 11312 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐶 ≤ (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋))
5314, 43, 37, 52leadd2dd 11770 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
5439, 12readdcld 11184 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℝ)
5554recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℂ)
5617recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5731recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
5855, 56, 57adddird 11180 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) · 𝑋) = ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
5939recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
6012recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6159, 60, 56addassd 11177 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) = ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))))
6261oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) · 𝑋) = (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋))
6322recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6463, 57, 57mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) = (𝐴 · (𝑋 · 𝑋)))
65 sqval 14020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
6657, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
6766oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · (𝑋↑2)) = (𝐴 · (𝑋 · 𝑋)))
6864, 67eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) = (𝐴 · (𝑋↑2)))
6968oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) + (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
7059, 57, 60, 69joinlmuladdmuld 11182 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
7170oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
7258, 62, 713eqtr3d 2784 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
7353, 72breqtrrd 5133 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ≤ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋))
7423, 31remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
7518ltp1d 12085 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1))
76 max2 13106 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
7728, 27, 76sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
7877, 10breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋)
79 ledivmul 12031 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)) → ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋 ↔ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋)))
8020, 31, 23, 25, 79syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋 ↔ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋)))
8178, 80mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋))
8218, 20, 74, 75, 81ltletrd 11315 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (-𝐴 · 𝑋))
8363, 57mulneg1d 11608 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) = -(𝐴 · 𝑋))
84 df-neg 11388 . . . . . . . . . 10 -(𝐴 · 𝑋) = (0 − (𝐴 · 𝑋))
8583, 84eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) = (0 − (𝐴 · 𝑋)))
8682, 85breqtrd 5131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (0 − (𝐴 · 𝑋)))
8739, 18, 42ltaddsub2d 11756 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (0 − (𝐴 · 𝑋))))
8886, 87mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0)
8928a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90 0lt1 11677 . . . . . . . . . 10 0 < 1
9190a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < 1)
9242, 89, 31, 91, 50ltletrd 11315 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < 𝑋)
93 ltmul1 12005 . . . . . . . 8 ((((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋)))
9440, 42, 31, 92, 93syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋)))
9588, 94mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋))
9657mul02d 11353 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (0 · 𝑋) = 0)
9795, 96breqtrd 5131 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < 0)
9838, 41, 42, 73, 97lelttrd 11313 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0)
99 ltnle 11234 . . . . 5 (((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
10038, 15, 99sylancl 586 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
10198, 100mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
10232, 101pm2.65da 815 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
103 lelttric 11262 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
10415, 21, 103sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
105104ord 862 . 2 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
106102, 105mt3d 148 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  ifcif 4486   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  discr  14143
  Copyright terms: Public domain W3C validator