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Theorem discr1 13600
Description: A nonnegative quadratic form has nonnegative leading coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
discr.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
discr.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
discr.4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
discr1.5 𝑋 = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
Assertion
Ref Expression
discr1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem discr1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7146 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑2) = (𝑋↑2))
21oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (𝑋↑2)))
3 oveq2 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑋))
42, 3oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
54oveq1d 7154 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
65breq2d 5045 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
7 discr.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
87ralrimiva 3152 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
10 discr1.5 . . . . 5 𝑋 = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
11 discr.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1211adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 discr.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1413adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 0re 10636 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
16 ifcl 4472 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
1812, 17readdcld 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) ∈ ℝ)
19 peano2re 10806 . . . . . . . 8 ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) ∈ ℝ → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ)
21 discr.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2322renegcld 11060 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
2421lt0neg1d 11202 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
2524biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
2625gt0ne0d 11197 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ≠ 0)
2720, 23, 26redivcld 11461 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ)
28 1re 10634 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
29 ifcl 4472 . . . . . 6 (((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) ∈ ℝ)
3027, 28, 29sylancl 589 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) ∈ ℝ)
3110, 30eqeltrid 2897 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
326, 9, 31rspcdva 3576 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
33 resqcl 13490 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3431, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
3522, 34remulcld 10664 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
3612, 31remulcld 10664 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℝ)
3735, 36readdcld 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) ∈ ℝ)
3837, 14readdcld 10663 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ∈ ℝ)
3922, 31remulcld 10664 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
4039, 18readdcld 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
4140, 31remulcld 10664 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) ∈ ℝ)
4215a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
4317, 31remulcld 10664 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋) ∈ ℝ)
44 max2 12572 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
4515, 14, 44sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
46 max1 12570 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
4715, 14, 46sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))
48 max1 12570 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
4928, 27, 48sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → 1 ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
5049, 10breqtrrdi 5075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 1 ≤ 𝑋)
5117, 31, 47, 50lemulge11d 11570 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ≤ (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋))
5214, 17, 43, 45, 51letrd 10790 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐶 ≤ (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋))
5314, 43, 37, 52leadd2dd 11248 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
5439, 12readdcld 10663 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℝ)
5554recnd 10662 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) ∈ ℂ)
5617recnd 10662 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5731recnd 10662 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
5855, 56, 57adddird 10659 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) · 𝑋) = ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
5939recnd 10662 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
6012recnd 10662 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6159, 60, 56addassd 10656 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) = ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))))
6261oveq1d 7154 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) · 𝑋) = (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋))
6322recnd 10662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6463, 57, 57mulassd 10657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) = (𝐴 · (𝑋 · 𝑋)))
65 sqval 13481 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
6657, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
6766oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐴 · (𝑋↑2)) = (𝐴 · (𝑋 · 𝑋)))
6864, 67eqtr4d 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) = (𝐴 · (𝑋↑2)))
6968oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) · 𝑋) + (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
7059, 57, 60, 69joinlmuladdmuld 10661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)))
7170oveq1d 7154 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) · 𝑋) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
7258, 62, 713eqtr3d 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + (if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0) · 𝑋)))
7353, 72breqtrrd 5061 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ≤ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋))
7423, 31remulcld 10664 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) ∈ ℝ)
7518ltp1d 11563 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1))
76 max2 12572 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
7728, 27, 76sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1))
7877, 10breqtrrdi 5075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋)
79 ledivmul 11509 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)) → ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋 ↔ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋)))
8020, 31, 23, 25, 79syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴) ≤ 𝑋 ↔ ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋)))
8178, 80mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) ≤ (-𝐴 · 𝑋))
8218, 20, 74, 75, 81ltletrd 10793 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (-𝐴 · 𝑋))
8363, 57mulneg1d 11086 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) = -(𝐴 · 𝑋))
84 df-neg 10866 . . . . . . . . . 10 -(𝐴 · 𝑋) = (0 − (𝐴 · 𝑋))
8583, 84eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝑋) = (0 − (𝐴 · 𝑋)))
8682, 85breqtrd 5059 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (0 − (𝐴 · 𝑋)))
8739, 18, 42ltaddsub2d 11234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) < (0 − (𝐴 · 𝑋))))
8886, 87mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0)
8928a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90 0lt1 11155 . . . . . . . . . 10 0 < 1
9190a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < 1)
9242, 89, 31, 91, 50ltletrd 10793 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < 𝑋)
93 ltmul1 11483 . . . . . . . 8 ((((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋)))
9440, 42, 31, 92, 93syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) < 0 ↔ (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋)))
9588, 94mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < (0 · 𝑋))
9657mul02d 10831 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → (0 · 𝑋) = 0)
9795, 96breqtrd 5059 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0))) · 𝑋) < 0)
9838, 41, 42, 73, 97lelttrd 10791 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0)
99 ltnle 10713 . . . . 5 (((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
10038, 15, 99sylancl 589 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)))
10198, 100mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → ¬ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶))
10232, 101pm2.65da 816 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
103 lelttric 10740 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
10415, 21, 103sylancr 590 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
105104ord 861 . 2 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 0))
106102, 105mt3d 150 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  ifcif 4428   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  2c2 11684  cexp 13429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13369  df-exp 13430
This theorem is referenced by:  discr  13601
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