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Theorem tangtx 26547

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recoscld 16180	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11291	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1re 11261	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		rehalfcl 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		3nn 12345	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
9		nndivre 12307	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
11		resubcl 11573	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
12	4, 10, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
13	1, 12	remulcld 11291	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
14		2re 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		remulcl 11240	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
16	14, 10, 15	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
17		resubcl 11573	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
18	4, 16, 17	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
19	13, 18	remulcld 11291	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
20	1	resincld 16179	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
21	12	resqcld 14165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ)
22		remulcl 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
23	14, 21, 22	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
24		resubcl 11573	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
25	23, 4, 24	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
26	12, 18	remulcld 11291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
27	1	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		2cn 12341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℂ)
30		2ne0 12370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ≠ 0)
32	27, 29, 31	divcan2d 12045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
33	32	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
34	6	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
35		cos2t 16214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
37	33, 36	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
38	6	recoscld 16180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
39	38	resqcld 14165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ)
40		remulcl 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
41	14, 39, 40	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
42	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℝ)
43	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℝ)
44		eliooord 13446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2)))
45	44	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 𝐴)
46		2pos 12369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 2)
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 12203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
49		pire 26500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
50		rehalfcl 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
51	49, 50	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
52	44	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
53		pigt2lt4 26498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
54	53	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ π < 4
55		2t2e4 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 2) = 4
56	54, 55	breqtrri 5170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π < (2 · 2)
57	14, 46	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58		ltdivmul 12143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2)))
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2))
60	56, 59	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / 2) < 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) < 2)
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 11422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < 2)
63	28	mullidi 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · 2) = 2
64	62, 63	breqtrrdi 5185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (1 · 2))
65		ltdivmul2 12145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
67	64, 66	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) < 1)
68	6, 42, 67	ltled 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
69		0xr 11308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
70		elioc2 13450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
71	69, 4, 70	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
73		cos01bnd 16222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
75	74	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
76		cos01gt0 16227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
77	72, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
78		0re 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
79		ltle 11349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
80	78, 38, 79	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
81	77, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
82	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ∈ ℝ)
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 11422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
84	82, 12, 83	ltled 11409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 14295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ↔ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
86	75, 85	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))
87		ltmul2 12118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
89	86, 88	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 11875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
91	37, 90	eqbrtrd 5165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
92		3re 12346	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
93		remulcl 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
94	92, 10, 93	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
95		4re 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
96		remulcl 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
97	95, 10, 96	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
98	10	resqcld 14165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ)
99		remulcl 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
100	14, 98, 99	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
101		readdcl 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
102	4, 100, 101	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
103		3lt4 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
104	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℝ)
105	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 4 ∈ ℝ)
106	48	gt0ne0d 11827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≠ 0)
107	6, 106	sqgt0d 14289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < ((𝐴 / 2)↑2))
108		3pos 12371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 3)
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 12203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
111		ltmul1 12117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
113	103, 112	mpbii 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 11876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
115	42	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℂ)
116		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
117	100	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
118		addcl 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
119	116, 117, 118	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
120	97	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
121	119, 120	subcld 11620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
122		sq1 14234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1↑2) = 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1↑2) = 1)
124	10	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ)
125	124	mullidd 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
126	125	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
127	123, 126	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
128	127	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
129		binom2sub 14259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
130	116, 124, 129	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
131	98	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ)
132	16	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
133	115, 131, 132	addsubd 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
135	134	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
136		addcl 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
137	116, 131, 136	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
138	29, 137, 132	subdid 11719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
139	29, 115, 131	adddid 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
140	116	2timesi 12404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
141	140	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
142	115, 115, 117	addassd 11283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
143	141, 142	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
144	139, 143	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
145	29, 29, 124	mulassd 11284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
146	55	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
147	145, 146	eqtr3di 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
148	144, 147	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 11677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
150	135, 138, 149	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
151	115, 121, 150	mvrladdd 11676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
152		subcl 11507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
153	116, 124, 152	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
154	153, 115, 132	subdid 11719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
155	153	mulridd 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) = (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
156	115, 124, 132	subdird 11720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
157	132	mullidd 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
158	124, 29, 124	mul12d 11470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
159	124	sqvald 14183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
160	159	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
161	158, 160	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
162	157, 161	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
163	156, 162	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
164	155, 163	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 11668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
166		df-3 12330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
167	28, 116	addcomi 11452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
168	166, 167	eqtri 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (1 + 2)
169	168	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
170	125	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 11288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
172	169, 171	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
173	172	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
174	165, 173	eqtr4d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
175	154, 164, 174	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
176	114, 151, 175	3brtr4d 5175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 11422	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
178		ltmul2 12118	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
180	177, 179	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
181	18	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
182	27, 153, 181	mulassd 11284	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
183	180, 182	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
184	13, 38	remulcld 11291	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
185	74	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)))
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 11416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
187		ltmul2 12118	. . . . . . 7 ⊢ (((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
189	185, 188	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
190	29, 34, 153	mulassd 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
191	32	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
192	34, 115, 124	subdid 11719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
193	34	mulridd 11278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · 1) = (𝐴 / 2))
194	166	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2)↑(2 + 1))
195		2nn0 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
196		expp1 14109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
197	34, 195, 196	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
198	194, 197	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
199	7	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℂ)
200	199, 34	mulcomd 11282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
201	198, 200	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
202	201	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) = (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3))
203		3cn 12347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℂ
204	203	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℂ)
205		3ne0 12372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ≠ 0
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ≠ 0)
207	34, 199, 204, 206	divassd 12078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3) = ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
208	202, 207	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑3) / 3))
209	193, 208	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
210	192, 209	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
211	210	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
212	190, 191, 211	3eqtr3d 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
213		sin01bnd 16221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
214	72, 213	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
215	214	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)))
216		3nn0 12544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
217		reexpcl 14119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
218	6, 216, 217	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
219		nndivre 12307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
220	218, 8, 219	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
221	6, 220	resubcld 11691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ)
222	6	resincld 16179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
223		ltmul2 12118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	221, 222, 43, 47, 223	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
225	215, 224	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
226	212, 225	eqbrtrd 5165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
227		remulcl 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
228	14, 222, 227	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
229		ltmul1 12117	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
230	13, 228, 38, 77, 229	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
231	226, 230	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
232	222	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
233	38	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
234	29, 232, 233	mulassd 11284	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
235		sin2t 16213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
236	34, 235	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
237	32	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
238	234, 236, 237	3eqtr2rd 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
239	231, 238	breqtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < (sin‘𝐴))
240	19, 184, 20, 189, 239	lttrd 11422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < (sin‘𝐴))
241	3, 19, 20, 183, 240	lttrd 11422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴))
242		sincosq1sgn 26540	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
243	242	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
244		ltmuldiv 12141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝐴))) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
245	1, 20, 2, 243, 244	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
246	241, 245	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
247	243	gt0ne0d 11827	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
248		tanval 16164	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
249	27, 247, 248	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
250	246, 249	breqtrrd 5171	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 class class class wbr 5143 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 ℝcr 11154 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 ℝ^*cxr 11294 < clt 11295 ≤ cle 11296 − cmin 11492 / cdiv 11920 ℕcn 12266 2c2 12321 3c3 12322 4c4 12323 ℕ₀cn0 12526 (,)cioo 13387 (,]cioc 13388 ↑cexp 14102 sincsin 16099 cosccos 16100 tanctan 16101 πcpi 16102

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233 ax-addf 11234

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-tp 4631 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-supp 8186 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-2o 8507 df-er 8745 df-map 8868 df-pm 8869 df-ixp 8938 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-fsupp 9402 df-fi 9451 df-sup 9482 df-inf 9483 df-oi 9550 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-4 12331 df-5 12332 df-6 12333 df-7 12334 df-8 12335 df-9 12336 df-n0 12527 df-z 12614 df-dec 12734 df-uz 12879 df-q 12991 df-rp 13035 df-xneg 13154 df-xadd 13155 df-xmul 13156 df-ioo 13391 df-ioc 13392 df-ico 13393 df-icc 13394 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-fl 13832 df-seq 14043 df-exp 14103 df-fac 14313 df-bc 14342 df-hash 14370 df-shft 15106 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-limsup 15507 df-clim 15524 df-rlim 15525 df-sum 15723 df-ef 16103 df-sin 16105 df-cos 16106 df-tan 16107 df-pi 16108 df-struct 17184 df-sets 17201 df-slot 17219 df-ndx 17231 df-base 17248 df-ress 17275 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-hom 17321 df-cco 17322 df-rest 17467 df-topn 17468 df-0g 17486 df-gsum 17487 df-topgen 17488 df-pt 17489 df-prds 17492 df-xrs 17547 df-qtop 17552 df-imas 17553 df-xps 17555 df-mre 17629 df-mrc 17630 df-acs 17632 df-mgm 18653 df-sgrp 18732 df-mnd 18748 df-submnd 18797 df-mulg 19086 df-cntz 19335 df-cmn 19800 df-psmet 21356 df-xmet 21357 df-met 21358 df-bl 21359 df-mopn 21360 df-fbas 21361 df-fg 21362 df-cnfld 21365 df-top 22900 df-topon 22917 df-topsp 22939 df-bases 22953 df-cld 23027 df-ntr 23028 df-cls 23029 df-nei 23106 df-lp 23144 df-perf 23145 df-cn 23235 df-cnp 23236 df-haus 23323 df-tx 23570 df-hmeo 23763 df-fil 23854 df-fm 23946 df-flim 23947 df-flf 23948 df-xms 24330 df-ms 24331 df-tms 24332 df-cncf 24904 df-limc 25901 df-dv 25902

This theorem is referenced by: tanabsge 26548 basellem8 27131

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