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Theorem tangtx 26482

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13319	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recoscld 16102	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11166	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1re 11135	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		rehalfcl 12395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		3nn 12251	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
9		nndivre 12209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
11		resubcl 11449	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
12	4, 10, 11	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
13	1, 12	remulcld 11166	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
14		2re 12246	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		remulcl 11114	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
16	14, 10, 15	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
17		resubcl 11449	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
18	4, 16, 17	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
19	13, 18	remulcld 11166	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
20	1	resincld 16101	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
21	12	resqcld 14078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ)
22		remulcl 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
23	14, 21, 22	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
24		resubcl 11449	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
25	23, 4, 24	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
26	12, 18	remulcld 11166	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
27	1	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		2cn 12247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℂ)
30		2ne0 12276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ≠ 0)
32	27, 29, 31	divcan2d 11924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
33	32	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
34	6	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
35		cos2t 16136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
37	33, 36	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
38	6	recoscld 16102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
39	38	resqcld 14078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ)
40		remulcl 11114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
41	14, 39, 40	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
42	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℝ)
43	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℝ)
44		eliooord 13349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2)))
45	44	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 𝐴)
46		2pos 12275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 2)
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 12082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
49		pire 26434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
50		rehalfcl 12395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
51	49, 50	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
52	44	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
53		pigt2lt4 26432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
54	53	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ π < 4
55		2t2e4 12331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 2) = 4
56	54, 55	breqtrri 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π < (2 · 2)
57	14, 46	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58		ltdivmul 12022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2)))
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2))
60	56, 59	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / 2) < 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) < 2)
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < 2)
63	28	mullidi 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · 2) = 2
64	62, 63	breqtrrdi 5128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (1 · 2))
65		ltdivmul2 12024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
67	64, 66	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) < 1)
68	6, 42, 67	ltled 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
69		0xr 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
70		elioc2 13353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
71	69, 4, 70	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
73		cos01bnd 16144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
75	74	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
76		cos01gt0 16149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
77	72, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
78		0re 11137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
79		ltle 11225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
80	78, 38, 79	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
81	77, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
82	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ∈ ℝ)
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 11298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
84	82, 12, 83	ltled 11285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 14209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ↔ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
86	75, 85	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))
87		ltmul2 11997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
89	86, 88	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 11753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
91	37, 90	eqbrtrd 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
92		3re 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
93		remulcl 11114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
94	92, 10, 93	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
95		4re 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
96		remulcl 11114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
97	95, 10, 96	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
98	10	resqcld 14078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ)
99		remulcl 11114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
100	14, 98, 99	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
101		readdcl 11112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
102	4, 100, 101	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
103		3lt4 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
104	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℝ)
105	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 4 ∈ ℝ)
106	48	gt0ne0d 11705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≠ 0)
107	6, 106	sqgt0d 14203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < ((𝐴 / 2)↑2))
108		3pos 12277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 3)
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 12082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
111		ltmul1 11996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
113	103, 112	mpbii 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 11754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
115	42	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℂ)
116		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
117	100	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
118		addcl 11111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
119	116, 117, 118	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
120	97	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
121	119, 120	subcld 11496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
122		sq1 14148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1↑2) = 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1↑2) = 1)
124	10	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ)
125	124	mullidd 11154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
126	125	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
127	123, 126	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
128	127	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
129		binom2sub 14173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
130	116, 124, 129	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
131	98	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ)
132	16	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
133	115, 131, 132	addsubd 11517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
135	134	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
136		addcl 11111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
137	116, 131, 136	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
138	29, 137, 132	subdid 11597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
139	29, 115, 131	adddid 11160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
140	116	2timesi 12305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
141	140	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
142	115, 115, 117	addassd 11158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
143	141, 142	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
144	139, 143	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
145	29, 29, 124	mulassd 11159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
146	55	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
147	145, 146	eqtr3di 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
148	144, 147	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 11555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
150	135, 138, 149	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
151	115, 121, 150	mvrladdd 11554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
152		subcl 11383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
153	116, 124, 152	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
154	153, 115, 132	subdid 11597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
155	153	mulridd 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) = (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
156	115, 124, 132	subdird 11598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
157	132	mullidd 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
158	124, 29, 124	mul12d 11346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
159	124	sqvald 14096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
160	159	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
161	158, 160	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
162	157, 161	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
163	156, 162	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
164	155, 163	oveq12d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 11544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
166		df-3 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
167	28, 116	addcomi 11328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
168	166, 167	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (1 + 2)
169	168	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
170	125	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 11163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
172	169, 171	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
173	172	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
174	165, 173	eqtr4d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
175	154, 164, 174	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
176	114, 151, 175	3brtr4d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 11298	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
178		ltmul2 11997	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1377	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
180	177, 179	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
181	18	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
182	27, 153, 181	mulassd 11159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
183	180, 182	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
184	13, 38	remulcld 11166	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
185	74	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)))
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 11292	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
187		ltmul2 11997	. . . . . . 7 ⊢ (((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1377	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
189	185, 188	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
190	29, 34, 153	mulassd 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
191	32	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
192	34, 115, 124	subdid 11597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
193	34	mulridd 11153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · 1) = (𝐴 / 2))
194	166	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2)↑(2 + 1))
195		2nn0 12445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
196		expp1 14021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
197	34, 195, 196	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
198	194, 197	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
199	7	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℂ)
200	199, 34	mulcomd 11157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
201	198, 200	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
202	201	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) = (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3))
203		3cn 12253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℂ
204	203	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℂ)
205		3ne0 12278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ≠ 0
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ≠ 0)
207	34, 199, 204, 206	divassd 11957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3) = ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
208	202, 207	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑3) / 3))
209	193, 208	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
210	192, 209	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
211	210	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
212	190, 191, 211	3eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
213		sin01bnd 16143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
214	72, 213	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
215	214	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)))
216		3nn0 12446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
217		reexpcl 14031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
218	6, 216, 217	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
219		nndivre 12209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
220	218, 8, 219	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
221	6, 220	resubcld 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ)
222	6	resincld 16101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
223		ltmul2 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	221, 222, 43, 47, 223	syl112anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
225	215, 224	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
226	212, 225	eqbrtrd 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
227		remulcl 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
228	14, 222, 227	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
229		ltmul1 11996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
230	13, 228, 38, 77, 229	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
231	226, 230	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
232	222	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
233	38	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
234	29, 232, 233	mulassd 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
235		sin2t 16135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
236	34, 235	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
237	32	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
238	234, 236, 237	3eqtr2rd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
239	231, 238	breqtrrd 5114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < (sin‘𝐴))
240	19, 184, 20, 189, 239	lttrd 11298	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < (sin‘𝐴))
241	3, 19, 20, 183, 240	lttrd 11298	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴))
242		sincosq1sgn 26475	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
243	242	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
244		ltmuldiv 12020	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝐴))) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
245	1, 20, 2, 243, 244	syl112anc 1377	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
246	241, 245	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
247	243	gt0ne0d 11705	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
248		tanval 16086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
249	27, 247, 248	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
250	246, 249	breqtrrd 5114	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 class class class wbr 5086 ‘cfv 6492 (class class class)co 7360 ℂcc 11027 ℝcr 11028 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 ℝ^*cxr 11169 < clt 11170 ≤ cle 11171 − cmin 11368 / cdiv 11798 ℕcn 12165 2c2 12227 3c3 12228 4c4 12229 ℕ₀cn0 12428 (,)cioo 13289 (,]cioc 13290 ↑cexp 14014 sincsin 16019 cosccos 16020 tanctan 16021 πcpi 16022

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-inf2 9553 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107 ax-addf 11108

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-iin 4937 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-of 7624 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-supp 8104 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-1o 8398 df-2o 8399 df-er 8636 df-map 8768 df-pm 8769 df-ixp 8839 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fsupp 9268 df-fi 9317 df-sup 9348 df-inf 9349 df-oi 9418 df-card 9854 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-5 12238 df-6 12239 df-7 12240 df-8 12241 df-9 12242 df-n0 12429 df-z 12516 df-dec 12636 df-uz 12780 df-q 12890 df-rp 12934 df-xneg 13054 df-xadd 13055 df-xmul 13056 df-ioo 13293 df-ioc 13294 df-ico 13295 df-icc 13296 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-fl 13742 df-seq 13955 df-exp 14015 df-fac 14227 df-bc 14256 df-hash 14284 df-shft 15020 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-limsup 15424 df-clim 15441 df-rlim 15442 df-sum 15640 df-ef 16023 df-sin 16025 df-cos 16026 df-tan 16027 df-pi 16028 df-struct 17108 df-sets 17125 df-slot 17143 df-ndx 17155 df-base 17171 df-ress 17192 df-plusg 17224 df-mulr 17225 df-starv 17226 df-sca 17227 df-vsca 17228 df-ip 17229 df-tset 17230 df-ple 17231 df-ds 17233 df-unif 17234 df-hom 17235 df-cco 17236 df-rest 17376 df-topn 17377 df-0g 17395 df-gsum 17396 df-topgen 17397 df-pt 17398 df-prds 17401 df-xrs 17457 df-qtop 17462 df-imas 17463 df-xps 17465 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-submnd 18743 df-mulg 19035 df-cntz 19283 df-cmn 19748 df-psmet 21336 df-xmet 21337 df-met 21338 df-bl 21339 df-mopn 21340 df-fbas 21341 df-fg 21342 df-cnfld 21345 df-top 22869 df-topon 22886 df-topsp 22908 df-bases 22921 df-cld 22994 df-ntr 22995 df-cls 22996 df-nei 23073 df-lp 23111 df-perf 23112 df-cn 23202 df-cnp 23203 df-haus 23290 df-tx 23537 df-hmeo 23730 df-fil 23821 df-fm 23913 df-flim 23914 df-flf 23915 df-xms 24295 df-ms 24296 df-tms 24297 df-cncf 24855 df-limc 25843 df-dv 25844

This theorem is referenced by: tanabsge 26483 basellem8 27065

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