MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tangtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tangtx 24549
Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tangtx (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

Proof of Theorem tangtx
StepHypRef Expression
1 elioore 12407 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recoscld 15156 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2remulcld 10324 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
4 1re 10293 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
5 rehalfcl 11504 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
61, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76resqcld 13242 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8 3nn 11351 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
9 nndivre 11313 . . . . . . . 8 ((((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancl 580 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
11 resubcl 10599 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
124, 10, 11sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
131, 12remulcld 10324 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
14 2re 11346 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
15 remulcl 10274 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
1614, 10, 15sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
17 resubcl 10599 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
184, 16, 17sylancr 581 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
1913, 18remulcld 10324 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
201resincld 15155 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
2112resqcld 13242 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ)
22 remulcl 10274 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
2314, 21, 22sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
24 resubcl 10599 . . . . . . . 8 (((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2523, 4, 24sylancl 580 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2612, 18remulcld 10324 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
271recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 2cn 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℂ)
30 2ne0 11383 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ≠ 0)
3227, 29, 31divcan2d 11057 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
3332fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
346recnd 10322 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
35 cos2t 15190 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
3733, 36eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
386recoscld 15156 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
3938resqcld 13242 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ)
40 remulcl 10274 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
4114, 39, 40sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
424a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℝ)
4314a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℝ)
44 eliooord 12435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < 𝐴𝐴 < (π / 2)))
4544simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 𝐴)
46 2pos 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 2)
481, 43, 45, 47divgt0d 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
49 pire 24502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ∈ ℝ
50 rehalfcl 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
5149, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
5244simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
53 pigt2lt4 24500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 < π ∧ π < 4)
5453simpri 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π < 4
55 2t2e4 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 2) = 4
5654, 55breqtrri 4836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π < (2 · 2)
5714, 46pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58 ltdivmul 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2)))
5949, 14, 57, 58mp3an 1585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2))
6056, 59mpbir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π / 2) < 2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) < 2)
621, 51, 43, 52, 61lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < 2)
6328mulid2i 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 · 2) = 2
6462, 63syl6breqr 4851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (1 · 2))
65 ltdivmul2 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
661, 42, 43, 47, 65syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
6764, 66mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) < 1)
686, 42, 67ltled 10439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
69 0xr 10340 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
70 elioc2 12438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
7169, 4, 70mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
726, 48, 68, 71syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
73 cos01bnd 15198 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
7574simprd 489 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
76 cos01gt0 15203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
7772, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
78 0re 10295 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
79 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
8078, 38, 79sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
8177, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
8278a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ∈ ℝ)
8382, 38, 12, 77, 75lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
8482, 12, 83ltled 10439 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
8538, 12, 81, 84lt2sqd 13250 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ↔ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
8675, 85mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))
87 ltmul2 11128 . . . . . . . . . . 11 ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
8839, 21, 43, 47, 87syl112anc 1493 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
8986, 88mpbid 223 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
9041, 23, 42, 89ltsub1dd 10893 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
9137, 90eqbrtrd 4831 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
92 3re 11352 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
93 remulcl 10274 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9492, 10, 93sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
95 4re 11357 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
96 remulcl 10274 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9795, 10, 96sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9810resqcld 13242 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ)
99 remulcl 10274 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
10014, 98, 99sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
101 readdcl 10272 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
1024, 100, 101sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
103 3lt4 11452 . . . . . . . . . 10 3 < 4
10492a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℝ)
10595a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 4 ∈ ℝ)
10648gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≠ 0)
1076, 106sqgt0d 13244 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < ((𝐴 / 2)↑2))
108 3pos 11384 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 3
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 3)
1107, 104, 107, 109divgt0d 11213 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
111 ltmul1 11127 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
112104, 105, 10, 110, 111syl112anc 1493 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
113103, 112mpbii 224 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
11494, 97, 102, 113ltsub2dd 10894 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
115 sq1 13165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1↑2) = 1
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1↑2) = 1)
11710recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ)
118117mulid2d 10312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
119118oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
120116, 119oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
121120oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
122 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
123 binom2sub 13188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
124122, 117, 123sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
12542recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℂ)
12698recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ)
12716recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
128125, 126, 127addsubd 10667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
129121, 124, 1283eqtr4d 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
130129oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
131 addcl 10271 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
132122, 126, 131sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
13329, 132, 127subdid 10740 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
13429, 125, 126adddid 10318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
1351222timesi 11417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = (1 + 1)
136135oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
137100recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
138125, 125, 137addassd 10316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
139136, 138syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
140134, 139eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
14155oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
14229, 29, 117mulassd 10317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
143141, 142syl5reqr 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
144140, 143oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
145 addcl 10271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
146122, 137, 145sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
14797recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
148125, 146, 147addsubassd 10666 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
149144, 148eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
150130, 133, 1493eqtrd 2803 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
151150oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) = ((1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) − 1))
152146, 147subcld 10646 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
153 pncan2 10542 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ) → ((1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) − 1) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
154122, 152, 153sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) − 1) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
155151, 154eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
156 subcl 10534 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
157122, 117, 156sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
158157, 125, 127subdid 10740 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
159157mulid1d 10311 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) = (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
160125, 117, 127subdird 10741 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
161127mulid2d 10312 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
162117, 29, 117mul12d 10499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
163117sqvald 13212 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
164163oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
165162, 164eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
166161, 165oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
167160, 166eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
168159, 167oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
169125, 117, 127, 137subadd4d 10694 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
170 df-3 11336 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
17128, 122addcomi 10481 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = (1 + 2)
172170, 171eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (1 + 2)
173172oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . 12 (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
174125, 29, 117adddird 10319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
175118oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
176174, 175eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
177173, 176syl5eq 2811 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
178177oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
179169, 178eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
180158, 168, 1793eqtrd 2803 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
181114, 155, 1803brtr4d 4841 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
1822, 25, 26, 91, 181lttrd 10452 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
183 ltmul2 11128 . . . . . . 7 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
1842, 26, 1, 45, 183syl112anc 1493 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
185182, 184mpbid 223 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
18618recnd 10322 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
18727, 157, 186mulassd 10317 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
188185, 187breqtrrd 4837 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
18913, 38remulcld 10324 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
19074simpld 488 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)))
1911, 12, 45, 83mulgt0d 10446 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
192 ltmul2 11128 . . . . . . 7 (((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
19318, 38, 13, 191, 192syl112anc 1493 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
194190, 193mpbid 223 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
19529, 34, 157mulassd 10317 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
19632oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
19734, 125, 117subdid 10740 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
19834mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · 1) = (𝐴 / 2))
199170oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2)↑(2 + 1))
200 2nn0 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
201 expp1 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
20234, 200, 201sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
203199, 202syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
2047recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℂ)
205204, 34mulcomd 10315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
206203, 205eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
207206oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) = (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3))
208 3cn 11353 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℂ
209208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℂ)
210 3ne0 11385 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 0
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ≠ 0)
21234, 204, 209, 211divassd 11090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3) = ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
213207, 212eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑3) / 3))
214198, 213oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
215197, 214eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
216215oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
217195, 196, 2163eqtr3d 2807 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
218 sin01bnd 15197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
21972, 218syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
220219simpld 488 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)))
221 3nn0 11558 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
222 reexpcl 13084 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
2236, 221, 222sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
224 nndivre 11313 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
225223, 8, 224sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
2266, 225resubcld 10712 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ)
2276resincld 15155 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
228 ltmul2 11128 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
229226, 227, 43, 47, 228syl112anc 1493 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
230220, 229mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
231217, 230eqbrtrd 4831 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
232 remulcl 10274 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
23314, 227, 232sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
234 ltmul1 11127 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
23513, 233, 38, 77, 234syl112anc 1493 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
236231, 235mpbid 223 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
237227recnd 10322 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
23838recnd 10322 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
23929, 237, 238mulassd 10317 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
240 sin2t 15189 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
24134, 240syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
24232fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
243239, 241, 2423eqtr2rd 2806 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
244236, 243breqtrrd 4837 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < (sin‘𝐴))
24519, 189, 20, 194, 244lttrd 10452 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < (sin‘𝐴))
2463, 19, 20, 188, 245lttrd 10452 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴))
247 sincosq1sgn 24542 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
248247simprd 489 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
249 ltmuldiv 11150 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝐴))) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
2501, 20, 2, 248, 249syl112anc 1493 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
251246, 250mpbid 223 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
252248gt0ne0d 10846 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
253 tanval 15140 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
25427, 252, 253syl2anc 579 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
255251, 254breqtrrd 4837 1 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  4c4 11329  0cn0 11538  (,)cioo 12377  (,]cioc 12378  cexp 13067  sincsin 15076  cosccos 15077  tanctan 15078  πcpi 15079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-tan 15084  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  tanabsge  24550  basellem8  25105
  Copyright terms: Public domain W3C validator