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Theorem tangtx 26439

Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
tangtx	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

**Proof of Theorem tangtx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13272	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recoscld 16050	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1re 11109	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		rehalfcl 12345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		3nn 12201	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
9		nndivre 12163	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
11		resubcl 11422	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
12	4, 10, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
13	1, 12	remulcld 11139	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
14		2re 12196	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		remulcl 11088	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
16	14, 10, 15	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
17		resubcl 11422	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
18	4, 16, 17	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
19	13, 18	remulcld 11139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
20	1	resincld 16049	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
21	12	resqcld 14029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ)
22		remulcl 11088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
23	14, 21, 22	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
24		resubcl 11422	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
25	23, 4, 24	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
26	12, 18	remulcld 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
27	1	recnd 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		2cn 12197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℂ)
30		2ne0 12226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ≠ 0)
32	27, 29, 31	divcan2d 11896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
33	32	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
34	6	recnd 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
35		cos2t 16084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
37	33, 36	eqtr3d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
38	6	recoscld 16050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
39	38	resqcld 14029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ)
40		remulcl 11088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
41	14, 39, 40	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
42	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℝ)
43	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℝ)
44		eliooord 13302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2)))
45	44	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 𝐴)
46		2pos 12225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 2)
48	1, 43, 45, 47	divgt0d 12054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
49		pire 26391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
50		rehalfcl 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
51	49, 50	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
52	44	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
53		pigt2lt4 26389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
54	53	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ π < 4
55		2t2e4 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 2) = 4
56	54, 55	breqtrri 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π < (2 · 2)
57	14, 46	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58		ltdivmul 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2)))
59	49, 14, 57, 58	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2))
60	56, 59	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / 2) < 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) < 2)
62	1, 51, 43, 52, 61	lttrd 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < 2)
63	28	mullidi 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · 2) = 2
64	62, 63	breqtrrdi 5133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (1 · 2))
65		ltdivmul2 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
66	1, 42, 43, 47, 65	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
67	64, 66	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) < 1)
68	6, 42, 67	ltled 11258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
69		0xr 11156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
70		elioc2 13306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
71	69, 4, 70	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
72	6, 48, 68, 71	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
73		cos01bnd 16092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
75	74	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
76		cos01gt0 16097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
77	72, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
78		0re 11111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
79		ltle 11198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
80	78, 38, 79	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
81	77, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
82	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ∈ ℝ)
83	82, 38, 12, 77, 75	lttrd 11271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
84	82, 12, 83	ltled 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
85	38, 12, 81, 84	lt2sqd 14160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ↔ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
86	75, 85	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))
87		ltmul2 11969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
88	39, 21, 43, 47, 87	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
89	86, 88	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
90	41, 23, 42, 89	ltsub1dd 11726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
91	37, 90	eqbrtrd 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
92		3re 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
93		remulcl 11088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
94	92, 10, 93	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
95		4re 12206	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
96		remulcl 11088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
97	95, 10, 96	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
98	10	resqcld 14029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ)
99		remulcl 11088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
100	14, 98, 99	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
101		readdcl 11086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
102	4, 100, 101	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
103		3lt4 12291	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
104	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℝ)
105	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 4 ∈ ℝ)
106	48	gt0ne0d 11678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≠ 0)
107	6, 106	sqgt0d 14154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < ((𝐴 / 2)↑2))
108		3pos 12227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 3)
110	7, 104, 107, 109	divgt0d 12054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
111		ltmul1 11968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
112	104, 105, 10, 110, 111	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
113	103, 112	mpbii 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
114	94, 97, 102, 113	ltsub2dd 11727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
115	42	recnd 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℂ)
116		ax-1cn 11061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
117	100	recnd 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
118		addcl 11085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
119	116, 117, 118	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
120	97	recnd 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
121	119, 120	subcld 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
122		sq1 14099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1↑2) = 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1↑2) = 1)
124	10	recnd 11137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ)
125	124	mullidd 11127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
126	125	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
127	123, 126	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
128	127	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
129		binom2sub 14124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
130	116, 124, 129	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
131	98	recnd 11137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ)
132	16	recnd 11137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
133	115, 131, 132	addsubd 11490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
134	128, 130, 133	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
135	134	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
136		addcl 11085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
137	116, 131, 136	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
138	29, 137, 132	subdid 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
139	29, 115, 131	adddid 11133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
140	116	2timesi 12255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
141	140	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
142	115, 115, 117	addassd 11131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
143	141, 142	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
144	139, 143	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
145	29, 29, 124	mulassd 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
146	55	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
147	145, 146	eqtr3di 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
148	144, 147	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
149	115, 119, 120, 148	assraddsubd 11528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
150	135, 138, 149	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
151	115, 121, 150	mvrladdd 11527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
152		subcl 11356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
153	116, 124, 152	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
154	153, 115, 132	subdid 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
155	153	mulridd 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) = (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
156	115, 124, 132	subdird 11571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
157	132	mullidd 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
158	124, 29, 124	mul12d 11319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
159	124	sqvald 14047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
160	159	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
161	158, 160	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
162	157, 161	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
163	156, 162	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
164	155, 163	oveq12d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
165	115, 124, 132, 117	subadd4d 11517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
166		df-3 12186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
167	28, 116	addcomi 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
168	166, 167	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (1 + 2)
169	168	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
170	125	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
171	115, 124, 29, 170	joinlmuladdmuld 11136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
172	169, 171	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
173	172	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
174	165, 173	eqtr4d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
175	154, 164, 174	3eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
176	114, 151, 175	3brtr4d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
177	2, 25, 26, 91, 176	lttrd 11271	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
178		ltmul2 11969	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
179	2, 26, 1, 45, 178	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
180	177, 179	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
181	18	recnd 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
182	27, 153, 181	mulassd 11132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
183	180, 182	breqtrrd 5119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
184	13, 38	remulcld 11139	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
185	74	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)))
186	1, 12, 45, 83	mulgt0d 11265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
187		ltmul2 11969	. . . . . . 7 ⊢ (((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
188	18, 38, 13, 186, 187	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
189	185, 188	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
190	29, 34, 153	mulassd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
191	32	oveq1d 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
192	34, 115, 124	subdid 11570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
193	34	mulridd 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · 1) = (𝐴 / 2))
194	166	oveq2i 7357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2)↑(2 + 1))
195		2nn0 12395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
196		expp1 13972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
197	34, 195, 196	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
198	194, 197	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
199	7	recnd 11137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℂ)
200	199, 34	mulcomd 11130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
201	198, 200	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
202	201	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) = (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3))
203		3cn 12203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℂ
204	203	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℂ)
205		3ne0 12228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ≠ 0
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ≠ 0)
207	34, 199, 204, 206	divassd 11929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3) = ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
208	202, 207	eqtr2d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑3) / 3))
209	193, 208	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
210	192, 209	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
211	210	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
212	190, 191, 211	3eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
213		sin01bnd 16091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
214	72, 213	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
215	214	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)))
216		3nn0 12396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
217		reexpcl 13982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
218	6, 216, 217	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
219		nndivre 12163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
220	218, 8, 219	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
221	6, 220	resubcld 11542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ)
222	6	resincld 16049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
223		ltmul2 11969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	221, 222, 43, 47, 223	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
225	215, 224	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
226	212, 225	eqbrtrd 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
227		remulcl 11088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
228	14, 222, 227	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
229		ltmul1 11968	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
230	13, 228, 38, 77, 229	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
231	226, 230	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
232	222	recnd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
233	38	recnd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
234	29, 232, 233	mulassd 11132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
235		sin2t 16083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
236	34, 235	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
237	32	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
238	234, 236, 237	3eqtr2rd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
239	231, 238	breqtrrd 5119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < (sin‘𝐴))
240	19, 184, 20, 189, 239	lttrd 11271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < (sin‘𝐴))
241	3, 19, 20, 183, 240	lttrd 11271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴))
242		sincosq1sgn 26432	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
243	242	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
244		ltmuldiv 11992	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝐴))) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
245	1, 20, 2, 243, 244	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
246	241, 245	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
247	243	gt0ne0d 11678	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
248		tanval 16034	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
249	27, 247, 248	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
250	246, 249	breqtrrd 5119	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2928 class class class wbr 5091 ‘cfv 6481 (class class class)co 7346 ℂcc 11001 ℝcr 11002 0cc0 11003 1c1 11004 + caddc 11006 · cmul 11008 ℝ^*cxr 11142 < clt 11143 ≤ cle 11144 − cmin 11341 / cdiv 11771 ℕcn 12122 2c2 12177 3c3 12178 4c4 12179 ℕ₀cn0 12378 (,)cioo 13242 (,]cioc 13243 ↑cexp 13965 sincsin 15967 cosccos 15968 tanctan 15969 πcpi 15970

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5217 ax-sep 5234 ax-nul 5244 ax-pow 5303 ax-pr 5370 ax-un 7668 ax-inf2 9531 ax-cnex 11059 ax-resscn 11060 ax-1cn 11061 ax-icn 11062 ax-addcl 11063 ax-addrcl 11064 ax-mulcl 11065 ax-mulrcl 11066 ax-mulcom 11067 ax-addass 11068 ax-mulass 11069 ax-distr 11070 ax-i2m1 11071 ax-1ne0 11072 ax-1rid 11073 ax-rnegex 11074 ax-rrecex 11075 ax-cnre 11076 ax-pre-lttri 11077 ax-pre-lttrn 11078 ax-pre-ltadd 11079 ax-pre-mulgt0 11080 ax-pre-sup 11081 ax-addf 11082

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3742 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4284 df-if 4476 df-pw 4552 df-sn 4577 df-pr 4579 df-tp 4581 df-op 4583 df-uni 4860 df-int 4898 df-iun 4943 df-iin 4944 df-br 5092 df-opab 5154 df-mpt 5173 df-tr 5199 df-id 5511 df-eprel 5516 df-po 5524 df-so 5525 df-fr 5569 df-se 5570 df-we 5571 df-xp 5622 df-rel 5623 df-cnv 5624 df-co 5625 df-dm 5626 df-rn 5627 df-res 5628 df-ima 5629 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-isom 6490 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-of 7610 df-om 7797 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8091 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-1o 8385 df-2o 8386 df-er 8622 df-map 8752 df-pm 8753 df-ixp 8822 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-fin 8873 df-fsupp 9246 df-fi 9295 df-sup 9326 df-inf 9327 df-oi 9396 df-card 9829 df-pnf 11145 df-mnf 11146 df-xr 11147 df-ltxr 11148 df-le 11149 df-sub 11343 df-neg 11344 df-div 11772 df-nn 12123 df-2 12185 df-3 12186 df-4 12187 df-5 12188 df-6 12189 df-7 12190 df-8 12191 df-9 12192 df-n0 12379 df-z 12466 df-dec 12586 df-uz 12730 df-q 12844 df-rp 12888 df-xneg 13008 df-xadd 13009 df-xmul 13010 df-ioo 13246 df-ioc 13247 df-ico 13248 df-icc 13249 df-fz 13405 df-fzo 13552 df-fl 13693 df-seq 13906 df-exp 13966 df-fac 14178 df-bc 14207 df-hash 14235 df-shft 14971 df-cj 15003 df-re 15004 df-im 15005 df-sqrt 15139 df-abs 15140 df-limsup 15375 df-clim 15392 df-rlim 15393 df-sum 15591 df-ef 15971 df-sin 15973 df-cos 15974 df-tan 15975 df-pi 15976 df-struct 17055 df-sets 17072 df-slot 17090 df-ndx 17102 df-base 17118 df-ress 17139 df-plusg 17171 df-mulr 17172 df-starv 17173 df-sca 17174 df-vsca 17175 df-ip 17176 df-tset 17177 df-ple 17178 df-ds 17180 df-unif 17181 df-hom 17182 df-cco 17183 df-rest 17323 df-topn 17324 df-0g 17342 df-gsum 17343 df-topgen 17344 df-pt 17345 df-prds 17348 df-xrs 17403 df-qtop 17408 df-imas 17409 df-xps 17411 df-mre 17485 df-mrc 17486 df-acs 17488 df-mgm 18545 df-sgrp 18624 df-mnd 18640 df-submnd 18689 df-mulg 18978 df-cntz 19227 df-cmn 19692 df-psmet 21281 df-xmet 21282 df-met 21283 df-bl 21284 df-mopn 21285 df-fbas 21286 df-fg 21287 df-cnfld 21290 df-top 22807 df-topon 22824 df-topsp 22846 df-bases 22859 df-cld 22932 df-ntr 22933 df-cls 22934 df-nei 23011 df-lp 23049 df-perf 23050 df-cn 23140 df-cnp 23141 df-haus 23228 df-tx 23475 df-hmeo 23668 df-fil 23759 df-fm 23851 df-flim 23852 df-flf 23853 df-xms 24233 df-ms 24234 df-tms 24235 df-cncf 24796 df-limc 25792 df-dv 25793

This theorem is referenced by: tanabsge 26440 basellem8 27023

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