MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tangtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tangtx 26381
Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tangtx (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (tanβ€˜π΄))

Proof of Theorem tangtx
StepHypRef Expression
1 elioore 13355 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21recoscld 16090 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
31, 2remulcld 11243 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
4 1re 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
5 rehalfcl 12437 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
61, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76resqcld 14091 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8 3nn 12290 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•
9 nndivre 12252 . . . . . . . 8 ((((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancl 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
11 resubcl 11523 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
124, 10, 11sylancr 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
131, 12remulcld 11243 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
14 2re 12285 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
15 remulcl 11192 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
1614, 10, 15sylancr 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
17 resubcl 11523 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
184, 16, 17sylancr 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
1913, 18remulcld 11243 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
201resincld 16089 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2112resqcld 14091 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ)
22 remulcl 11192 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
2314, 21, 22sylancr 586 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
24 resubcl 11523 . . . . . . . 8 (((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2523, 4, 24sylancl 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2612, 18remulcld 11243 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
271recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
28 2cn 12286 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 2 ∈ β„‚)
30 2ne0 12315 . . . . . . . . . . . 12 2 β‰  0
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 2 β‰  0)
3227, 29, 31divcan2d 11991 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
3332fveq2d 6886 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (cosβ€˜π΄))
346recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„‚)
35 cos2t 16124 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1))
3733, 36eqtr3d 2766 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) = ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1))
386recoscld 16090 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
3938resqcld 14091 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ)
40 remulcl 11192 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
4114, 39, 40sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
424a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 1 ∈ ℝ)
4314a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 2 ∈ ℝ)
44 eliooord 13384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)))
4544simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < 𝐴)
46 2pos 12314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < 2)
481, 43, 45, 47divgt0d 12148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
49 pire 26334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ο€ ∈ ℝ
50 rehalfcl 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ο€ ∈ ℝ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
5149, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
5244simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (Ο€ / 2))
53 pigt2lt4 26332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 < Ο€ ∧ Ο€ < 4)
5453simpri 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ο€ < 4
55 2t2e4 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 Β· 2) = 4
5654, 55breqtrri 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ο€ < (2 Β· 2)
5714, 46pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58 ltdivmul 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((Ο€ / 2) < 2 ↔ Ο€ < (2 Β· 2)))
5949, 14, 57, 58mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Ο€ / 2) < 2 ↔ Ο€ < (2 Β· 2))
6056, 59mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ο€ / 2) < 2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) < 2)
621, 51, 43, 52, 61lttrd 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < 2)
6328mullidi 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 Β· 2) = 2
6462, 63breqtrrdi 5181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (1 Β· 2))
65 ltdivmul2 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 Β· 2)))
661, 42, 43, 47, 65syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 Β· 2)))
6764, 66mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) < 1)
686, 42, 67ltled 11361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) ≀ 1)
69 0xr 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
70 elioc2 13388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1)))
7169, 4, 70mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1))
726, 48, 68, 71syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
73 cos01bnd 16132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) < (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) < (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
7574simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) < (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
76 cos01gt0 16137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
7772, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
78 0re 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
79 ltle 11301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) β†’ (0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) β†’ 0 ≀ (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
8078, 38, 79sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) β†’ 0 ≀ (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
8177, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 ≀ (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
8278a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 ∈ ℝ)
8382, 38, 12, 77, 75lttrd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
8482, 12, 83ltled 11361 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
8538, 12, 81, 84lt2sqd 14220 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2)) < (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ↔ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
8675, 85mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))
87 ltmul2 12064 . . . . . . . . . . 11 ((((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) < (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
8839, 21, 43, 47, 87syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) < (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
8986, 88mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) < (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
9041, 23, 42, 89ltsub1dd 11825 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· ((cosβ€˜(𝐴 / 2))↑2)) βˆ’ 1) < ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1))
9137, 90eqbrtrd 5161 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) < ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1))
92 3re 12291 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
93 remulcl 11192 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) β†’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9492, 10, 93sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
95 4re 12295 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
96 remulcl 11192 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9795, 10, 96sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9810resqcld 14091 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ)
99 remulcl 11192 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
10014, 98, 99sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
101 readdcl 11190 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ) β†’ (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
1024, 100, 101sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
103 3lt4 12385 . . . . . . . . . 10 3 < 4
10492a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 3 ∈ ℝ)
10595a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 4 ∈ ℝ)
10648gt0ne0d 11777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 / 2) β‰  0)
1076, 106sqgt0d 14214 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < ((𝐴 / 2)↑2))
108 3pos 12316 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 3
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < 3)
1107, 104, 107, 109divgt0d 12148 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
111 ltmul1 12063 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) β†’ (3 < 4 ↔ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
112104, 105, 10, 110, 111syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (3 < 4 ↔ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
113103, 112mpbii 232 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
11494, 97, 102, 113ltsub2dd 11826 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
11542recnd 11241 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 1 ∈ β„‚)
116 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
117100recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ β„‚)
118 addcl 11189 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ β„‚) β†’ (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ β„‚)
119116, 117, 118sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ β„‚)
12097recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ β„‚)
121119, 120subcld 11570 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ β„‚)
122 sq1 14160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1↑2) = 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1↑2) = 1)
12410recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ β„‚)
125124mullidd 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
126125oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
127123, 126oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1↑2) βˆ’ (2 Β· (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
128127oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((1↑2) βˆ’ (2 Β· (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
129 binom2sub 14184 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) βˆ’ (2 Β· (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
130116, 124, 129sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) βˆ’ (2 Β· (1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
13198recnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ β„‚)
13216recnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ β„‚)
133115, 131, 132addsubd 11591 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
134128, 130, 1333eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
135134oveq2d 7418 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (2 Β· ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
136 addcl 11189 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ β„‚) β†’ (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ β„‚)
137116, 131, 136sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ β„‚)
13829, 137, 132subdid 11669 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 Β· (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (2 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
13929, 115, 131adddid 11237 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((2 Β· 1) + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
1401162timesi 12349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 Β· 1) = (1 + 1)
141140oveq1i 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· 1) + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((1 + 1) + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
142115, 115, 117addassd 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + 1) + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
143141, 142eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· 1) + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
144139, 143eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
14529, 29, 124mulassd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (2 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
14655oveq1i 7412 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 Β· 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
147145, 146eqtr3di 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
148144, 147oveq12d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (2 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
149115, 119, 120, 148assraddsubd 11627 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (2 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 + ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
150135, 138, 1493eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (1 + ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
151115, 121, 150mvrladdd 11626 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1) = ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (4 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
152 subcl 11458 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ β„‚)
153116, 124, 152sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ β„‚)
154153, 115, 132subdid 11669 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· 1) βˆ’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
155153mulridd 11230 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· 1) = (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
156115, 124, 132subdird 11670 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) βˆ’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
157132mullidd 11231 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
158124, 29, 124mul12d 11422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
159124sqvald 14109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
160159oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
161158, 160eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
162157, 161oveq12d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) βˆ’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
163156, 162eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
164155, 163oveq12d 7420 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· 1) βˆ’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ ((2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
165115, 124, 132, 117subadd4d 11618 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ ((2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
166 df-3 12275 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
16728, 116addcomi 11404 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = (1 + 2)
168166, 167eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (1 + 2)
169168oveq1i 7412 . . . . . . . . . . . 12 (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 + 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
170125oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
171115, 124, 29, 170joinlmuladdmuld 11240 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
172169, 171eqtrid 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
173172oveq2d 7418 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
174165, 173eqtr4d 2767 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ ((2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) βˆ’ (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
175154, 164, 1743eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (2 Β· ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) βˆ’ (3 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
176114, 151, 1753brtr4d 5171 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) βˆ’ 1) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
1772, 25, 26, 91, 176lttrd 11374 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
178 ltmul2 12064 . . . . . . 7 (((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((cosβ€˜π΄) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (𝐴 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
1792, 26, 1, 45, 178syl112anc 1371 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((cosβ€˜π΄) < ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (𝐴 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
180177, 179mpbid 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (𝐴 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
18118recnd 11241 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ β„‚)
18227, 153, 181mulassd 11236 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (𝐴 Β· ((1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
183180, 182breqtrrd 5167 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
18413, 38remulcld 11243 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
18574simpld 494 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
1861, 12, 45, 83mulgt0d 11368 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
187 ltmul2 12064 . . . . . . 7 (((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))) β†’ ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
18818, 38, 13, 186, 187syl112anc 1371 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
189185, 188mpbid 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
19029, 34, 153mulassd 11236 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· (𝐴 / 2)) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· ((𝐴 / 2) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
19132oveq1d 7417 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· (𝐴 / 2)) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
19234, 115, 124subdid 11669 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (((𝐴 / 2) Β· 1) βˆ’ ((𝐴 / 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
19334mulridd 11230 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) Β· 1) = (𝐴 / 2))
194166oveq2i 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2)↑(2 + 1))
195 2nn0 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•0
196 expp1 14035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 / 2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) Β· (𝐴 / 2)))
19734, 195, 196sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) Β· (𝐴 / 2)))
198194, 197eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑3) = (((𝐴 / 2)↑2) Β· (𝐴 / 2)))
1997recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑2) ∈ β„‚)
200199, 34mulcomd 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2)↑2) Β· (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) Β· ((𝐴 / 2)↑2)))
201198, 200eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2) Β· ((𝐴 / 2)↑2)))
202201oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3) = (((𝐴 / 2) Β· ((𝐴 / 2)↑2)) / 3))
203 3cn 12292 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ β„‚
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 3 ∈ β„‚)
205 3ne0 12317 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 β‰  0
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 3 β‰  0)
20734, 199, 204, 206divassd 12024 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2) Β· ((𝐴 / 2)↑2)) / 3) = ((𝐴 / 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
208202, 207eqtr2d 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑3) / 3))
209193, 208oveq12d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2) Β· 1) βˆ’ ((𝐴 / 2) Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
210192, 209eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
211210oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((𝐴 / 2) Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (2 Β· ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
212190, 191, 2113eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 Β· ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
213 sin01bnd 16131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
21472, 213syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
215214simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
216 3nn0 12489 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„•0
217 reexpcl 14045 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
2186, 216, 217sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
219 nndivre 12252 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
220218, 8, 219sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
2216, 220resubcld 11641 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ)
2226resincld 16089 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
223 ltmul2 12064 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ↔ (2 Β· ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2)))))
224221, 222, 43, 47, 223syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ↔ (2 Β· ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2)))))
225215, 224mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· ((𝐴 / 2) βˆ’ (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))))
226212, 225eqbrtrd 5161 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))))
227 remulcl 11192 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
22814, 222, 227sylancr 586 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
229 ltmul1 12063 . . . . . . . 8 (((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ ∧ ((cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) < ((2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
23013, 228, 38, 77, 229syl112anc 1371 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) < ((2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
231226, 230mpbid 231 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) < ((2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
232222recnd 11241 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
23338recnd 11241 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ β„‚)
23429, 232, 233mulassd 11236 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
235 sin2t 16123 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
23634, 235syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
23732fveq2d 6886 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (sinβ€˜π΄))
238234, 236, 2373eqtr2rd 2771 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (sinβ€˜π΄) = ((2 Β· (sinβ€˜(𝐴 / 2))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
239231, 238breqtrrd 5167 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) < (sinβ€˜π΄))
24019, 184, 20, 189, 239lttrd 11374 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (1 βˆ’ (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) Β· (1 βˆ’ (2 Β· (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < (sinβ€˜π΄))
2413, 19, 20, 183, 240lttrd 11374 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (sinβ€˜π΄))
242 sincosq1sgn 26374 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
243242simprd 495 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 0 < (cosβ€˜π΄))
244 ltmuldiv 12086 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ ((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (cosβ€˜π΄))) β†’ ((𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (sinβ€˜π΄) ↔ 𝐴 < ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))))
2451, 20, 2, 243, 244syl112anc 1371 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ ((𝐴 Β· (cosβ€˜π΄)) < (sinβ€˜π΄) ↔ 𝐴 < ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))))
246241, 245mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
247243gt0ne0d 11777 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
248 tanval 16074 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
24927, 247, 248syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
250246, 249breqtrrd 5167 1 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (tanβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  β„•0cn0 12471  (,)cioo 13325  (,]cioc 13326  β†‘cexp 14028  sincsin 16009  cosccos 16010  tanctan 16011  Ο€cpi 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740
This theorem is referenced by:  tanabsge  26382  basellem8  26961
  Copyright terms: Public domain W3C validator