MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tangtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tangtx 26533
Description: The tangent function is greater than its argument on positive reals in its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
tangtx (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))

Proof of Theorem tangtx
StepHypRef Expression
1 elioore 13408 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recoscld 16146 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2remulcld 11294 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
4 1re 11264 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
5 rehalfcl 12490 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
61, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
76resqcld 14144 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8 3nn 12343 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
9 nndivre 12305 . . . . . . . 8 ((((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancl 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ)
11 resubcl 11574 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
124, 10, 11sylancr 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
131, 12remulcld 11294 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
14 2re 12338 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
15 remulcl 11243 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
1614, 10, 15sylancr 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
17 resubcl 11574 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
184, 16, 17sylancr 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ)
1913, 18remulcld 11294 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
201resincld 16145 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
2112resqcld 14144 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ)
22 remulcl 11243 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
2314, 21, 22sylancr 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ)
24 resubcl 11574 . . . . . . . 8 (((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2523, 4, 24sylancl 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2612, 18remulcld 11294 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ)
271recnd 11292 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 2cn 12339 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℂ)
30 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ≠ 0)
3227, 29, 31divcan2d 12043 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
3332fveq2d 6905 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
346recnd 11292 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
35 cos2t 16180 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
3733, 36eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
386recoscld 16146 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
3938resqcld 14144 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ)
40 remulcl 11243 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
4114, 39, 40sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
424a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℝ)
4314a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 2 ∈ ℝ)
44 eliooord 13437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < 𝐴𝐴 < (π / 2)))
4544simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 𝐴)
46 2pos 12367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 2)
481, 43, 45, 47divgt0d 12201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
49 pire 26486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ∈ ℝ
50 rehalfcl 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
5149, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
5244simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
53 pigt2lt4 26484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 < π ∧ π < 4)
5453simpri 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π < 4
55 2t2e4 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 2) = 4
5654, 55breqtrri 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π < (2 · 2)
5714, 46pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58 ltdivmul 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2)))
5949, 14, 57, 58mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π / 2) < 2 ↔ π < (2 · 2))
6056, 59mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π / 2) < 2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (π / 2) < 2)
621, 51, 43, 52, 61lttrd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < 2)
6328mullidi 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 · 2) = 2
6462, 63breqtrrdi 5195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (1 · 2))
65 ltdivmul2 12143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
661, 42, 43, 47, 65syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) < 1 ↔ 𝐴 < (1 · 2)))
6764, 66mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) < 1)
686, 42, 67ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
69 0xr 11311 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
70 elioc2 13441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
7169, 4, 70mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
726, 48, 68, 71syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
73 cos01bnd 16188 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
7574simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
76 cos01gt0 16193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
7772, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
78 0re 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
79 ltle 11352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
8078, 38, 79sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (cos‘(𝐴 / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2))))
8177, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝐴 / 2)))
8278a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ∈ ℝ)
8382, 38, 12, 77, 75lttrd 11425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
8482, 12, 83ltled 11412 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 ≤ (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
8538, 12, 81, 84lt2sqd 14273 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2)) < (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ↔ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
8675, 85mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))
87 ltmul2 12116 . . . . . . . . . . 11 ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
8839, 21, 43, 47, 87syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) ↔ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2))))
8986, 88mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) < (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)))
9041, 23, 42, 89ltsub1dd 11876 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
9137, 90eqbrtrd 5175 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1))
92 3re 12344 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
93 remulcl 11243 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9492, 10, 93sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
95 4re 12348 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
96 remulcl 11243 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9795, 10, 96sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
9810resqcld 14144 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ)
99 remulcl 11243 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℝ) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
10014, 98, 99sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
101 readdcl 11241 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℝ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
1024, 100, 101sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℝ)
103 3lt4 12438 . . . . . . . . . 10 3 < 4
10492a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℝ)
10595a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 4 ∈ ℝ)
10648gt0ne0d 11828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 / 2) ≠ 0)
1076, 106sqgt0d 14267 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < ((𝐴 / 2)↑2))
108 3pos 12369 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 3
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < 3)
1107, 104, 107, 109divgt0d 12201 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
111 ltmul1 12115 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
112104, 105, 10, 110, 111syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 < 4 ↔ (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
113103, 112mpbii 232 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) < (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
11494, 97, 102, 113ltsub2dd 11877 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
11542recnd 11292 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 1 ∈ ℂ)
116 ax-1cn 11216 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
117100recnd 11292 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
118 addcl 11240 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
119116, 117, 118sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) ∈ ℂ)
12097recnd 11292 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
121119, 120subcld 11621 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
122 sq1 14213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1↑2) = 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1↑2) = 1)
12410recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ)
125124mullidd 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
126125oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
127123, 126oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
128127oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
129 binom2sub 14237 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
130116, 124, 129sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = (((1↑2) − (2 · (1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
13198recnd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ)
13216recnd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
133115, 131, 132addsubd 11642 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
134128, 130, 1333eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2) = ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
135134oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
136 addcl 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) ∈ ℂ) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
137116, 131, 136sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) ∈ ℂ)
13829, 137, 132subdid 11720 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
13929, 115, 131adddid 11288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
1401162timesi 12402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = (1 + 1)
141140oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
142115, 115, 117addassd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
143141, 142eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 1) + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
144139, 143eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) = (1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
14529, 29, 124mulassd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
14655oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
147145, 146eqtr3di 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
148144, 147oveq12d 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
149115, 119, 120, 148assraddsubd 11678 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (1 + ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (2 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
150135, 138, 1493eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) = (1 + ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
151115, 121, 150mvrladdd 11677 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (4 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
152 subcl 11509 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 / 2)↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
153116, 124, 152sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) ∈ ℂ)
154153, 115, 132subdid 11720 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
155153mulridd 11281 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) = (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
156115, 124, 132subdird 11721 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
157132mullidd 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
158124, 29, 124mul12d 11473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
159124sqvald 14162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
160159oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
161158, 160eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))
162157, 161oveq12d 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
163156, 162eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))))
164155, 163oveq12d 7442 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · 1) − ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))))
165115, 124, 132, 117subadd4d 11669 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
166 df-3 12328 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
16728, 116addcomi 11455 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = (1 + 2)
168166, 167eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (1 + 2)
169168oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . 12 (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))
170125oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
171115, 124, 29, 170joinlmuladdmuld 11291 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
172169, 171eqtrid 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
173172oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − ((((𝐴 / 2)↑2) / 3) + (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
174165, 173eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − ((2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) − (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
175154, 164, 1743eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = ((1 + (2 · ((((𝐴 / 2)↑2) / 3)↑2))) − (3 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
176114, 151, 1753brtr4d 5185 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))↑2)) − 1) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
1772, 25, 26, 91, 176lttrd 11425 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
178 ltmul2 12116 . . . . . . 7 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
1792, 26, 1, 45, 178syl112anc 1371 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((cos‘𝐴) < ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) ↔ (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))))
180177, 179mpbid 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
18118recnd 11292 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℂ)
18227, 153, 181mulassd 11287 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (𝐴 · ((1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))))
183180, 182breqtrrd 5181 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
18413, 38remulcld 11294 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
18574simpld 493 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)))
1861, 12, 45, 83mulgt0d 11419 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
187 ltmul2 12116 . . . . . . 7 (((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
18818, 38, 13, 186, 187syl112anc 1371 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (cos‘(𝐴 / 2)) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
189185, 188mpbid 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
19029, 34, 153mulassd 11287 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))))
19132oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (𝐴 / 2)) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
19234, 115, 124subdid 11720 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))))
19334mulridd 11281 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · 1) = (𝐴 / 2))
194166oveq2i 7435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2)↑(2 + 1))
195 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
196 expp1 14088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
19734, 195, 196sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑(2 + 1)) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
198194, 197eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)))
1997recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℂ)
200199, 34mulcomd 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑2) · (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
201198, 200eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) = ((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)))
202201oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) = (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3))
203 3cn 12345 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℂ
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ∈ ℂ)
205 3ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 0
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 3 ≠ 0)
20734, 199, 204, 206divassd 12076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · ((𝐴 / 2)↑2)) / 3) = ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))
208202, 207eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)) = (((𝐴 / 2)↑3) / 3))
209193, 208oveq12d 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) · 1) − ((𝐴 / 2) · (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
210192, 209eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)))
211210oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
212190, 191, 2113eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) = (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))))
213 sin01bnd 16187 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
21472, 213syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) < (𝐴 / 2)))
215214simpld 493 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)))
216 3nn0 12542 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
217 reexpcl 14098 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
2186, 216, 217sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ)
219 nndivre 12305 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 / 2)↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
220218, 8, 219sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2)↑3) / 3) ∈ ℝ)
2216, 220resubcld 11692 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ)
2226resincld 16145 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
223 ltmul2 12116 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224221, 222, 43, 47, 223syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3)) < (sin‘(𝐴 / 2)) ↔ (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
225215, 224mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · ((𝐴 / 2) − (((𝐴 / 2)↑3) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
226212, 225eqbrtrd 5175 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))
227 remulcl 11243 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
22814, 222, 227sylancr 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
229 ltmul1 12115 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
23013, 228, 38, 77, 229syl112anc 1371 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) < (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ↔ ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
231226, 230mpbid 231 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
232222recnd 11292 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
23338recnd 11292 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
23429, 232, 233mulassd 11287 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
235 sin2t 16179 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
23634, 235syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
23732fveq2d 6905 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
238234, 236, 2373eqtr2rd 2773 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))))
239231, 238breqtrrd 5181 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (cos‘(𝐴 / 2))) < (sin‘𝐴))
24019, 184, 20, 189, 239lttrd 11425 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (1 − (((𝐴 / 2)↑2) / 3))) · (1 − (2 · (((𝐴 / 2)↑2) / 3)))) < (sin‘𝐴))
2413, 19, 20, 183, 240lttrd 11425 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴))
242 sincosq1sgn 26526 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
243242simprd 494 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
244 ltmuldiv 12139 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (cos‘𝐴))) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
2451, 20, 2, 243, 244syl112anc 1371 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝐴 · (cos‘𝐴)) < (sin‘𝐴) ↔ 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
246241, 245mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
247243gt0ne0d 11828 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
248 tanval 16130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
24927, 247, 248syl2anc 582 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
250246, 249breqtrrd 5181 1 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494   / cdiv 11921  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  0cn0 12524  (,)cioo 13378  (,]cioc 13379  cexp 14081  sincsin 16065  cosccos 16066  tanctan 16067  πcpi 16068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-tan 16073  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887
This theorem is referenced by:  tanabsge  26534  basellem8  27116
  Copyright terms: Public domain W3C validator