MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdifltdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdifltdiv 13831
Description: If the dividend of a division is less than the difference between a real number and the divisor, the floor function of the division plus 1 is less than the division of the real number by the divisor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltdifltdiv ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem ltdifltdiv
StepHypRef Expression
1 refldivcl 13820 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
2 peano2re 11417 . . . . . 6 ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
433adant3 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
54adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6 rerpdivcl 13036 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7 peano2re 11417 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
983adant3 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
11 rerpdivcl 13036 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1211ancoms 458 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
13123adant1 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1513adant3 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1763adant3 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
19 1red 11245 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
20 3simpa 1146 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
2120adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
22 fldivle 13828 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
2321, 22syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
2416, 18, 19, 23leadd1dd 11858 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ≤ ((𝐴 / 𝐵) + 1))
25 rpre 13014 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
26 ltaddsub 11718 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))
2725, 26syl3an2 1162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))
2827biimpar 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶)
29 recn 11228 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
306, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
31303adant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
32 rpcn 13016 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
33323ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
34 1cnd 11239 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
35 recn 11228 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
36353ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
37 rpne0 13022 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
38373ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
3936, 33, 38divcan1d 12021 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
4032mullidd 11262 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
41403ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
4239, 41oveq12d 7438 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
4331, 33, 34, 42joinlmuladdmuld 11271 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
44 recn 11228 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
45443ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4645, 33, 38divcan1d 12021 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐶)
4743, 46breq12d 5161 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
4847adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
4928, 48mpbird 257 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵))
5017, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
51 simp2 1135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5250, 13, 51ltmul1d 13089 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
5352adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
5449, 53mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
555, 10, 14, 24, 54lelttrd 11402 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
5655ex 412 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   < clt 11278  cle 11279  cmin 11474   / cdiv 11901  +crp 13006  cfl 13787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator