Theorem ltdifltdiv 13738

Description: If the dividend of a division is less than the difference between a real number and the divisor, the floor function of the division plus 1 is less than the division of the real number by the divisor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ltdifltdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶 − 𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem ltdifltdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refldivcl 13727	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
2		peano2re 11289	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
4	3	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6		rerpdivcl 12925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7		peano2re 11289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9	8	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
11		rerpdivcl 12925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	1	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
17	6	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
19		1red 11116	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
20		3simpa 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
22		fldivle 13735	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
24	16, 18, 19, 23	leadd1dd 11734	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ≤ ((𝐴 / 𝐵) + 1))
25		rpre 12902	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
26		ltaddsub 11594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)))
27	25, 26	syl3an2 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)))
28	27	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶)
29		recn 11099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
30	6, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
31	30	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
32		rpcn 12904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
34		1cnd 11110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
35		recn 11099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
37		rpne0 12910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
38	37	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
39	36, 33, 38	divcan1d 11901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
40	32	mullidd 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
41	40	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
42	39, 41	oveq12d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
43	31, 33, 34, 42	joinlmuladdmuld 11142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
44		recn 11099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
45	44	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
46	45, 33, 38	divcan1d 11901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐶)
47	43, 46	breq12d 5105	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
49	28, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵))
50	17, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
51		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
52	50, 13, 51	ltmul1d 12978	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
53	52	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
54	49, 53	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
55	5, 10, 14, 24, 54	lelttrd 11274	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
56	55	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶 − 𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℝ⁺crp 12893  ⌊cfl 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fl 13696

This theorem is referenced by: (None)