MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdifltdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdifltdiv 13799
Description: If the dividend of a division is less than the difference between a real number and the divisor, the floor function of the division plus 1 is less than the division of the real number by the divisor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltdifltdiv ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) < (๐ถ / ๐ต)))

Proof of Theorem ltdifltdiv
StepHypRef Expression
1 refldivcl 13788 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
2 peano2re 11387 . . . . . 6 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
433adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
54adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
6 rerpdivcl 13004 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
7 peano2re 11387 . . . . . 6 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
983adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
109adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
11 rerpdivcl 13004 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1211ancoms 460 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
13123adant1 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1413adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1513adant3 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
1615adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
1763adant3 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
1817adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
19 1red 11215 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
20 3simpa 1149 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+))
2120adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+))
22 fldivle 13796 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
2321, 22syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
2416, 18, 19, 23leadd1dd 11828 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โ‰ค ((๐ด / ๐ต) + 1))
25 rpre 12982 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
26 ltaddsub 11688 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
2725, 26syl3an2 1165 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
2827biimpar 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < ๐ถ)
29 recn 11200 . . . . . . . . . 10 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
306, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
31303adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
32 rpcn 12984 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
33323ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
34 1cnd 11209 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
35 recn 11200 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
36353ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
37 rpne0 12990 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โ‰  0)
38373ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  0)
3936, 33, 38divcan1d 11991 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
4032mullidd 11232 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
41403ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
4239, 41oveq12d 7427 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)) = (๐ด + ๐ต))
4331, 33, 34, 42joinlmuladdmuld 11241 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) = (๐ด + ๐ต))
44 recn 11200 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
45443ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4645, 33, 38divcan1d 11991 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ถ)
4743, 46breq12d 5162 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ต) < ๐ถ))
4847adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ต) < ๐ถ))
4928, 48mpbird 257 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต))
5017, 7syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
51 simp2 1138 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5250, 13, 51ltmul1d 13057 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) < (๐ถ / ๐ต) โ†” (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต)))
5352adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) < (๐ถ / ๐ต) โ†” (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต)))
5449, 53mpbird 257 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) < (๐ถ / ๐ต))
555, 10, 14, 24, 54lelttrd 11372 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) < (๐ถ / ๐ต))
5655ex 414 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) < (๐ถ / ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„+crp 12974  โŒŠcfl 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator