MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdifltdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdifltdiv 13745
Description: If the dividend of a division is less than the difference between a real number and the divisor, the floor function of the division plus 1 is less than the division of the real number by the divisor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltdifltdiv ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) < (๐ถ / ๐ต)))

Proof of Theorem ltdifltdiv
StepHypRef Expression
1 refldivcl 13734 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
2 peano2re 11333 . . . . . 6 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
433adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
54adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
6 rerpdivcl 12950 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
7 peano2re 11333 . . . . . 6 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
983adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
109adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
11 rerpdivcl 12950 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1211ancoms 460 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
13123adant1 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1413adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1513adant3 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
1615adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
1763adant3 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
1817adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
19 1red 11161 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
20 3simpa 1149 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+))
2120adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+))
22 fldivle 13742 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
2321, 22syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
2416, 18, 19, 23leadd1dd 11774 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โ‰ค ((๐ด / ๐ต) + 1))
25 rpre 12928 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
26 ltaddsub 11634 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
2725, 26syl3an2 1165 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
2827biimpar 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < ๐ถ)
29 recn 11146 . . . . . . . . . 10 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
306, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
31303adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
32 rpcn 12930 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
33323ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
34 1cnd 11155 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
35 recn 11146 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
36353ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
37 rpne0 12936 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โ‰  0)
38373ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  0)
3936, 33, 38divcan1d 11937 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
4032mulid2d 11178 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
41403ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
4239, 41oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)) = (๐ด + ๐ต))
4331, 33, 34, 42joinlmuladdmuld 11187 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) = (๐ด + ๐ต))
44 recn 11146 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
45443ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4645, 33, 38divcan1d 11937 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ถ)
4743, 46breq12d 5119 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ต) < ๐ถ))
4847adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ต) < ๐ถ))
4928, 48mpbird 257 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต))
5017, 7syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
51 simp2 1138 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5250, 13, 51ltmul1d 13003 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) < (๐ถ / ๐ต) โ†” (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต)))
5352adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) < (๐ถ / ๐ต) โ†” (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต)))
5449, 53mpbird 257 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) < (๐ถ / ๐ต))
555, 10, 14, 24, 54lelttrd 11318 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) < (๐ถ / ๐ต))
5655ex 414 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) < (๐ถ / ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„+crp 12920  โŒŠcfl 13701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator