MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdifltdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdifltdiv 13803
Description: If the dividend of a division is less than the difference between a real number and the divisor, the floor function of the division plus 1 is less than the division of the real number by the divisor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltdifltdiv ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) < (๐ถ / ๐ต)))

Proof of Theorem ltdifltdiv
StepHypRef Expression
1 refldivcl 13792 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
2 peano2re 11391 . . . . . 6 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
433adant3 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
54adantr 479 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
6 rerpdivcl 13008 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
7 peano2re 11391 . . . . . 6 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
983adant3 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
109adantr 479 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
11 rerpdivcl 13008 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1211ancoms 457 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
13123adant1 1128 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1413adantr 479 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1513adant3 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
1615adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
1763adant3 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
1817adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
19 1red 11219 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
20 3simpa 1146 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+))
2120adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+))
22 fldivle 13800 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
2321, 22syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
2416, 18, 19, 23leadd1dd 11832 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) โ‰ค ((๐ด / ๐ต) + 1))
25 rpre 12986 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
26 ltaddsub 11692 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
2725, 26syl3an2 1162 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
2827biimpar 476 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < ๐ถ)
29 recn 11202 . . . . . . . . . 10 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
306, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
31303adant3 1130 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
32 rpcn 12988 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
33323ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
34 1cnd 11213 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
35 recn 11202 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
36353ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
37 rpne0 12994 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โ‰  0)
38373ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  0)
3936, 33, 38divcan1d 11995 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
4032mullidd 11236 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
41403ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
4239, 41oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)) = (๐ด + ๐ต))
4331, 33, 34, 42joinlmuladdmuld 11245 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) = (๐ด + ๐ต))
44 recn 11202 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
45443ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4645, 33, 38divcan1d 11995 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ถ)
4743, 46breq12d 5160 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ต) < ๐ถ))
4847adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ต) < ๐ถ))
4928, 48mpbird 256 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต))
5017, 7syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
51 simp2 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5250, 13, 51ltmul1d 13061 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) < (๐ถ / ๐ต) โ†” (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต)))
5352adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (((๐ด / ๐ต) + 1) < (๐ถ / ๐ต) โ†” (((๐ด / ๐ต) + 1) ยท ๐ต) < ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ต)))
5449, 53mpbird 256 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + 1) < (๐ถ / ๐ต))
555, 10, 14, 24, 54lelttrd 11376 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) < (๐ถ / ๐ต))
5655ex 411 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + 1) < (๐ถ / ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„+crp 12978  โŒŠcfl 13759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator