Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdifltdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdifltdiv 13266
 Description: If the dividend of a division is less than the difference between a real number and the divisor, the floor function of the division plus 1 is less than the division of the real number by the divisor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltdifltdiv ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem ltdifltdiv
StepHypRef Expression
1 refldivcl 13255 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
2 peano2re 10864 . . . . . 6 ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
433adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
54adantr 484 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6 rerpdivcl 12473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7 peano2re 10864 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
983adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
109adantr 484 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
11 rerpdivcl 12473 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1211ancoms 462 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
13123adant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1413adantr 484 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
1513adant3 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1615adantr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1763adant3 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
1817adantr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
19 1red 10693 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
20 3simpa 1145 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
2120adantr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
22 fldivle 13263 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
2321, 22syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
2416, 18, 19, 23leadd1dd 11305 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ≤ ((𝐴 / 𝐵) + 1))
25 rpre 12451 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
26 ltaddsub 11165 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))
2725, 26syl3an2 1161 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))
2827biimpar 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶)
29 recn 10678 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
306, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
31303adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
32 rpcn 12453 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
33323ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
34 1cnd 10687 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
35 recn 10678 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
36353ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
37 rpne0 12459 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
38373ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
3936, 33, 38divcan1d 11468 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
4032mulid2d 10710 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
41403ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
4239, 41oveq12d 7174 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
4331, 33, 34, 42joinlmuladdmuld 10719 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
44 recn 10678 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
45443ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4645, 33, 38divcan1d 11468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐶)
4743, 46breq12d 5049 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
4847adantr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
4928, 48mpbird 260 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵))
5017, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
51 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5250, 13, 51ltmul1d 12526 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
5352adantr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
5449, 53mpbird 260 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
555, 10, 14, 24, 54lelttrd 10849 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
5655ex 416 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   < clt 10726   ≤ cle 10727   − cmin 10921   / cdiv 11348  ℝ+crp 12443  ⌊cfl 13222 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fl 13224 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator