Theorem ltdifltdiv 13867

Description: If the dividend of a division is less than the difference between a real number and the divisor, the floor function of the division plus 1 is less than the division of the real number by the divisor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ltdifltdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶 − 𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem ltdifltdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refldivcl 13856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
2		peano2re 11383	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
4	3	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6		rerpdivcl 13048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7		peano2re 11383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
9	8	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
10	9	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
11		rerpdivcl 13048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	3adant1 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	1	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
16	15	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
17	6	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
19		1red 11209	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
20		3simpa 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
21	20	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
22		fldivle 13864	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
23	21, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
24	16, 18, 19, 23	leadd1dd 11828	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) ≤ ((𝐴 / 𝐵) + 1))
25		rpre 13025	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
26		ltaddsub 11688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)))
27	25, 26	syl3an2 1180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)))
28	27	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶)
29		recn 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
30	6, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
31	30	3adant3 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
32		rpcn 13027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32	3ad2ant2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
34		1cnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
35		recn 11190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
37		rpne0 13033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
38	37	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
39	36, 33, 38	divcan1d 11992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
40	32	mullidd 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
41	40	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
42	39, 41	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
43	31, 33, 34, 42	joinlmuladdmuld 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
44		recn 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
45	44	3ad2ant3 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
46	45, 33, 38	divcan1d 11992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐶)
47	43, 46	breq12d 5126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
48	47	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
49	28, 48	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵))
50	17, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
51		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
52	50, 13, 51	ltmul1d 13101	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
53	52	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → (((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 / 𝐵) + 1) · 𝐵) < ((𝐶 / 𝐵) · 𝐵)))
54	49, 53	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
55	5, 10, 14, 24, 54	lelttrd 11368	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵))
56	55	ex 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶 − 𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 1) < (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  ℝ⁺crp 13016  ⌊cfl 13823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13825

This theorem is referenced by: (None)