MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arisum 15846
Description: Arithmetic series sum of the first ๐‘ positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
arisum (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem arisum
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12512 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 1zzd 12631 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 nnz 12617 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 elfzelz 13541 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
54zcnd 12705 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
65adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
7 id 22 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐‘˜ = (๐‘— + 1))
82, 2, 3, 6, 7fsumshftm 15767 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1))
9 1m1e0 12322 . . . . . . 7 (1 โˆ’ 1) = 0
109oveq1i 7436 . . . . . 6 ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (0...(๐‘ โˆ’ 1))
1110sumeq1i 15684 . . . . 5 ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1)
128, 11eqtrdi 2784 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1))
13 elfznn0 13634 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
1413adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
15 bcnp1n 14313 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘— + 1)C๐‘—) = (๐‘— + 1))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘— + 1)C๐‘—) = (๐‘— + 1))
1714nn0cnd 12572 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
18 ax-1cn 11204 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
19 addcom 11438 . . . . . . . . 9 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘— + 1) = (1 + ๐‘—))
2017, 18, 19sylancl 584 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) = (1 + ๐‘—))
2120oveq1d 7441 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘— + 1)C๐‘—) = ((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2216, 21eqtr3d 2770 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) = ((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2322sumeq2dv 15689 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 + ๐‘—)C๐‘—))
24 1nn0 12526 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•0
25 nnm1nn0 12551 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
26 bcxmas 15821 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2724, 25, 26sylancr 585 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2823, 27eqtr4d 2771 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1) = (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)))
29 1cnd 11247 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
30 nncn 12258 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3129, 29, 30ppncand 11649 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) = (1 + ๐‘))
3229, 30, 31comraddd 11466 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ + 1))
3332oveq1d 7441 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)))
34 nnnn0 12517 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
35 bcp1m1 14319 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))
37 sqval 14119 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
3837eqcomd 2734 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) = (๐‘โ†‘2))
39 mullid 11251 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
4038, 39oveq12d 7444 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + (1 ยท ๐‘)) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
4130, 40syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + (1 ยท ๐‘)) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
4230, 30, 29, 41joinlmuladdmuld 11279 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
4342oveq1d 7441 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
4433, 36, 433eqtrd 2772 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
4512, 28, 443eqtrd 2772 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
46 oveq2 7434 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (1...๐‘) = (1...0))
47 fz10 13562 . . . . . . 7 (1...0) = โˆ…
4846, 47eqtrdi 2784 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (1...๐‘) = โˆ…)
4948sumeq1d 15687 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐‘˜)
50 sum0 15707 . . . . 5 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐‘˜ = 0
5149, 50eqtrdi 2784 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = 0)
52 sq0i 14196 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘โ†‘2) = 0)
53 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ ๐‘ = 0)
5452, 53oveq12d 7444 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) = (0 + 0))
55 00id 11427 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
5654, 55eqtrdi 2784 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) = 0)
5756oveq1d 7441 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2) = (0 / 2))
58 2cn 12325 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
59 2ne0 12354 . . . . . 6 2 โ‰  0
6058, 59div0i 11986 . . . . 5 (0 / 2) = 0
6157, 60eqtrdi 2784 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2) = 0)
6251, 61eqtr4d 2771 . . 3 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
6345, 62jaoi 855 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
641, 63sylbi 216 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4326  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„•0cn0 12510  ...cfz 13524  โ†‘cexp 14066  Ccbc 14301  ฮฃcsu 15672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673
This theorem is referenced by:  arisum2  15847  aks4d1p1p2  41573  oddnumth  41902  sumcubes  41904  sum9cubes  42127
  Copyright terms: Public domain W3C validator