MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arisum 14792
Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
arisum (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11494 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 1zzd 11608 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3 nnz 11599 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4 elfzelz 12542 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
54zcnd 11683 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
65adantl 467 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7 id 22 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
82, 2, 3, 6, 7fsumshftm 14713 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
9 1m1e0 11289 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
109oveq1i 6801 . . . . . 6 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
1110sumeq1i 14629 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1)
128, 11syl6eq 2821 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
13 elfznn0 12633 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1413adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
15 bcnp1n 13298 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
1714nn0cnd 11553 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 10194 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
19 addcom 10422 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
2017, 18, 19sylancl 574 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
2120oveq1d 6806 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
2216, 21eqtr3d 2807 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
2322sumeq2dv 14634 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
24 1nn0 11508 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
25 nnm1nn0 11534 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
26 bcxmas 14767 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
2724, 25, 26sylancr 575 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
2823, 27eqtr4d 2808 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)))
29 1cnd 10256 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
30 nncn 11228 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3129, 29, 30ppncand 10632 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (1 + 𝑁))
32 addcom 10422 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
3318, 30, 32sylancr 575 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
3431, 33eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
3534oveq1d 6806 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)))
36 nnnn0 11499 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
37 bcp1m1 13304 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
3836, 37syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
3930, 29, 30adddird 10265 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)))
40 sqval 13122 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
4140eqcomd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
42 mulid2 10238 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
4341, 42oveq12d 6809 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4430, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4539, 44eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4645oveq1d 6806 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
4735, 38, 463eqtrd 2809 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
4812, 28, 473eqtrd 2809 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
49 oveq2 6799 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
50 fz10 12562 . . . . . . 7 (1...0) = ∅
5149, 50syl6eq 2821 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
5251sumeq1d 14632 . . . . 5 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
53 sum0 14653 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
5452, 53syl6eq 2821 . . . 4 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = 0)
55 sq0i 13156 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
56 id 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
5755, 56oveq12d 6809 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (0 + 0))
58 00id 10411 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
5957, 58syl6eq 2821 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = 0)
6059oveq1d 6806 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = (0 / 2))
61 2cn 11291 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
62 2ne0 11313 . . . . . 6 2 ≠ 0
6361, 62div0i 10959 . . . . 5 (0 / 2) = 0
6460, 63syl6eq 2821 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = 0)
6554, 64eqtr4d 2808 . . 3 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
6648, 65jaoi 846 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
671, 66sylbi 207 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  c0 4063  (class class class)co 6791  cc 10134  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  cmin 10466   / cdiv 10884  cn 11220  2c2 11270  0cn0 11492  ...cfz 12526  cexp 13060  Ccbc 13286  Σcsu 14617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618
This theorem is referenced by:  arisum2  14793
  Copyright terms: Public domain W3C validator