Theorem arisum 15568

Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
arisum	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12233	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		1zzd 12349	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		nnz 12340	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfzelz 13253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
6	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
8	2, 2, 3, 6, 7	fsumshftm 15489	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
9		1m1e0 12043	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
10	9	oveq1i 7279	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
11	10	sumeq1i 15406	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1)
12	8, 11	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
13		elfznn0 13346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
15		bcnp1n 14024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
17	14	nn0cnd 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 10928	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		addcom 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
20	17, 18, 19	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
21	20	oveq1d 7284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
22	16, 21	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
23	22	sumeq2dv 15411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
24		1nn0 12247	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25		nnm1nn0 12272	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
26		bcxmas 15543	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
27	24, 25, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
28	23, 27	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)))
29		1cnd 10969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
30		nncn 11979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 29, 30	ppncand 11370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (1 + 𝑁))
32	29, 30, 31	comraddd 11187	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
33	32	oveq1d 7284	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)))
34		nnnn0 12238	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		bcp1m1 14030	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
37		sqval 13831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
38	37	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
39		mulid2 10973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
40	38, 39	oveq12d 7287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
41	30, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
42	30, 30, 29, 41	joinlmuladdmuld 11001	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
43	42	oveq1d 7284	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
44	33, 36, 43	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
45	12, 28, 44	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
46		oveq2 7277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
47		fz10 13274	. . . . . . 7 ⊢ (1...0) = ∅
48	46, 47	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
49	48	sumeq1d 15409	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
50		sum0 15429	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
51	49, 50	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = 0)
52		sq0i 13906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
53		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
54	52, 53	oveq12d 7287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (0 + 0))
55		00id 11148	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
56	54, 55	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = 0)
57	56	oveq1d 7284	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = (0 / 2))
58		2cn 12046	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
59		2ne0 12075	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
60	58, 59	div0i 11707	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
61	57, 60	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = 0)
62	51, 61	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
63	45, 62	jaoi 854	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
64	1, 63	sylbi 216	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∅c0 4262  (class class class)co 7269  ℂcc 10868  0cc0 10870  1c1 10871   + caddc 10873   · cmul 10875   − cmin 11203   / cdiv 11630  ℕcn 11971  2c2 12026  ℕ₀cn0 12231  ...cfz 13236  ↑cexp 13778  Ccbc 14012  Σcsu 15393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-sup 9177  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-rp 12728  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-exp 13779  df-fac 13984  df-bc 14013  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-clim 15193  df-sum 15394

This theorem is referenced by:  arisum2  15569  aks4d1p1p2  40073