Theorem arisum 15949

Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
arisum	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12530	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		1zzd 12649	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		nnz 12636	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfzelz 13578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
8	2, 2, 3, 6, 7	fsumshftm 15867	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
9		1m1e0 12337	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
10	9	oveq1i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
11	10	sumeq1i 15784	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1)
12	8, 11	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
13		elfznn0 13675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
14	13	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
15		bcnp1n 14378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
17	14	nn0cnd 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		addcom 11420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
20	17, 18, 19	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
21	20	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
22	16, 21	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
23	22	sumeq2dv 15789	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
24		1nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
25		nnm1nn0 12569	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
26		bcxmas 15924	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
27	24, 25, 26	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
28	23, 27	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)))
29		1cnd 11226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
30		nncn 12265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 29, 30	ppncand 11633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (1 + 𝑁))
32	29, 30, 31	comraddd 11448	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
33	32	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)))
34		nnnn0 12535	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		bcp1m1 14384	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
36	34, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
37		sqval 14178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
38	37	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
39		mullid 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
40	38, 39	oveq12d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
41	30, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
42	30, 30, 29, 41	joinlmuladdmuld 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
43	42	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
44	33, 36, 43	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
45	12, 28, 44	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
46		oveq2 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
47		fz10 13599	. . . . . . 7 ⊢ (1...0) = ∅
48	46, 47	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
49	48	sumeq1d 15787	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
50		sum0 15807	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
51	49, 50	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = 0)
52		sq0i 14257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
53		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
54	52, 53	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (0 + 0))
55		00id 11409	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
56	54, 55	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = 0)
57	56	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = (0 / 2))
58		2cn 12340	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
59		2ne0 12371	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
60	58, 59	div0i 11973	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
61	57, 60	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = 0)
62	51, 61	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
63	45, 62	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
64	1, 63	sylbi 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13561  ↑cexp 14125  Ccbc 14366  Σcsu 15773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774

This theorem is used by:  arisum2  15950  aks4d1p1p2  42936  oddnumth  43186  sumcubes  43188  sum9cubes  43518