MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arisum 15809
Description: Arithmetic series sum of the first ๐‘ positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
arisum (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem arisum
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12475 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 1zzd 12594 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 nnz 12580 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 elfzelz 13504 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
54zcnd 12668 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
65adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
7 id 22 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐‘˜ = (๐‘— + 1))
82, 2, 3, 6, 7fsumshftm 15730 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1))
9 1m1e0 12285 . . . . . . 7 (1 โˆ’ 1) = 0
109oveq1i 7414 . . . . . 6 ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (0...(๐‘ โˆ’ 1))
1110sumeq1i 15647 . . . . 5 ฮฃ๐‘— โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1)
128, 11eqtrdi 2782 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1))
13 elfznn0 13597 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
15 bcnp1n 14276 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘— + 1)C๐‘—) = (๐‘— + 1))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘— + 1)C๐‘—) = (๐‘— + 1))
1714nn0cnd 12535 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
18 ax-1cn 11167 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
19 addcom 11401 . . . . . . . . 9 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘— + 1) = (1 + ๐‘—))
2017, 18, 19sylancl 585 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) = (1 + ๐‘—))
2120oveq1d 7419 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘— + 1)C๐‘—) = ((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2216, 21eqtr3d 2768 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘— + 1) = ((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2322sumeq2dv 15652 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 + ๐‘—)C๐‘—))
24 1nn0 12489 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•0
25 nnm1nn0 12514 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
26 bcxmas 15784 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2724, 25, 26sylancr 586 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((1 + ๐‘—)C๐‘—))
2823, 27eqtr4d 2769 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐‘— + 1) = (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)))
29 1cnd 11210 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
30 nncn 12221 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3129, 29, 30ppncand 11612 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) = (1 + ๐‘))
3229, 30, 31comraddd 11429 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ + 1))
3332oveq1d 7419 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)))
34 nnnn0 12480 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
35 bcp1m1 14282 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2))
37 sqval 14082 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
3837eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) = (๐‘โ†‘2))
39 mullid 11214 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
4038, 39oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + (1 ยท ๐‘)) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
4130, 40syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + (1 ยท ๐‘)) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
4230, 30, 29, 41joinlmuladdmuld 11242 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
4342oveq1d 7419 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) ยท ๐‘) / 2) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
4433, 36, 433eqtrd 2770 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((1 + 1) + (๐‘ โˆ’ 1))C(๐‘ โˆ’ 1)) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
4512, 28, 443eqtrd 2770 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
46 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (1...๐‘) = (1...0))
47 fz10 13525 . . . . . . 7 (1...0) = โˆ…
4846, 47eqtrdi 2782 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (1...๐‘) = โˆ…)
4948sumeq1d 15650 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐‘˜)
50 sum0 15670 . . . . 5 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐‘˜ = 0
5149, 50eqtrdi 2782 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = 0)
52 sq0i 14159 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘โ†‘2) = 0)
53 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ ๐‘ = 0)
5452, 53oveq12d 7422 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) = (0 + 0))
55 00id 11390 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
5654, 55eqtrdi 2782 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) = 0)
5756oveq1d 7419 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2) = (0 / 2))
58 2cn 12288 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
59 2ne0 12317 . . . . . 6 2 โ‰  0
6058, 59div0i 11949 . . . . 5 (0 / 2) = 0
6157, 60eqtrdi 2782 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2) = 0)
6251, 61eqtr4d 2769 . . 3 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
6345, 62jaoi 854 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
641, 63sylbi 216 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4317  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  2c2 12268  โ„•0cn0 12473  ...cfz 13487  โ†‘cexp 14029  Ccbc 14264  ฮฃcsu 15635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636
This theorem is referenced by:  arisum2  15810  aks4d1p1p2  41450  oddnumth  41749  sumcubes  41751  sum9cubes  41974
  Copyright terms: Public domain W3C validator