Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem4 24326
 Description: Lemma for mbfi1fseq 24329. This lemma is not as interesting as it is long - it is simply checking that 𝐺 is in fact a sequence of simple functions, by verifying that its range is in (0...𝑛2↑𝑛) / (2↑𝑛) (which is to say, the numbers from 0 to 𝑛 in increments of 1 / (2↑𝑛)), and also that the preimage of each point 𝑘 is measurable, because it is equal to (-𝑛[,]𝑛) ∩ (◡𝐹 “ (𝑘[,)𝑘 + 1 / (2↑𝑛))) for 𝑘 < 𝑛 and (-𝑛[,]𝑛) ∩ (◡𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) for 𝑘 = 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem4 (𝜑𝐺:ℕ⟶dom ∫1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑚)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem4
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10621 . . . . 5 ℝ ∈ V
21mptex 6967 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)) ∈ V
3 mbfi1fseq.4 . . . 4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)))
42, 3fnmpti 6467 . . 3 𝐺 Fn ℕ
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 Fn ℕ)
6 mbfi1fseq.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfi1fseq.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
8 mbfi1fseq.3 . . . . . 6 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
96, 7, 8, 3mbfi1fseqlem3 24325 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛):ℝ⟶ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
10 elfznn0 12999 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
1110nn0red 11948 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) → 𝑚 ∈ ℝ)
12 2nn 11702 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
13 nnnn0 11896 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
14 nnexpcl 13442 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
1512, 13, 14sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
1615adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
17 nndivre 11670 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℕ) → (𝑚 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1811, 16, 17syl2anr 599 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → (𝑚 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 6860 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 · (2↑𝑛)))⟶ℝ)
2019frnd 6498 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
219, 20fssd 6506 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛):ℝ⟶ℝ)
22 fzfid 13340 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ∈ Fin)
2319ffnd 6492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) Fn (0...(𝑛 · (2↑𝑛))))
24 dffn4 6575 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) Fn (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↔ (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 · (2↑𝑛)))–onto→ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
2523, 24sylib 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 · (2↑𝑛)))–onto→ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
26 fofi 8798 . . . . . 6 (((0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ∈ Fin ∧ (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 · (2↑𝑛)))–onto→ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛)))) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) ∈ Fin)
2722, 25, 26syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) ∈ Fin)
289frnd 6498 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝐺𝑛) ⊆ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
2927, 28ssfid 8729 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝐺𝑛) ∈ Fin)
306, 7, 8, 3mbfi1fseqlem2 24324 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0)))
3130fveq1d 6651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥))
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥))
33 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
34 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝐽𝑥) ∈ V
35 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ V
3634, 35ifex 4476 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ∈ V
37 c0ex 10628 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
3836, 37ifex 4476 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ∈ V
39 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
4039fvmpt2 6760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
4133, 38, 40sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
4232, 41eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
4342adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
4443eqeq1d 2803 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘 ↔ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘))
45 eldifsni 4686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
4645ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ≠ 0)
47 neeq1 3052 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘 → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≠ 0 ↔ 𝑘 ≠ 0))
4846, 47syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘 → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≠ 0))
49 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 0)
5049necon1ai 3017 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛))
5148, 50syl6 35 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
5251pm4.71rd 566 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘 ↔ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘)))
53 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛))
5453eqeq1d 2803 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘 ↔ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘))
55 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℕ)
5655nnred 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
5756adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
58 rge0ssre 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
59 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
60 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
617, 59, 60syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
6258, 61sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
63 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
64 nnexpcl 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
6512, 63, 64sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
6766nnred 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
6862, 67remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
69 reflcl 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
7170, 66nndivred 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
7271ralrimivva 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
738fmpo 7752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ)
7472, 73sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ)
75 fovrn 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ)
7674, 75syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ)
77763expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ)
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ)
7978adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ)
80 lemin 12577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ↔ (𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥) ∧ 𝑛𝑛)))
8157, 79, 57, 80syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ↔ (𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥) ∧ 𝑛𝑛)))
8279, 57ifcld 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ∈ ℝ)
8382, 57letri3d 10775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑛 ↔ (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛))))
84 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑘 = 𝑛)
8584eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑛))
86 min2 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛)
8779, 57, 86syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛)
8887biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ↔ (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛))))
8983, 85, 883bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛)))
9057leidd 11199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑛𝑛)
9190biantrud 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥) ↔ (𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥) ∧ 𝑛𝑛)))
9281, 89, 913bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥)))
93 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝑛 ≤ (𝐹𝑥)))
947adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
9594ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
96 elrege0 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
9795, 96sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
9897simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
9998adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
10055, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
101100nnred 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
10299, 101remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
103 reflcl 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
105100nngt0d 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 < (2↑𝑛))
106 lemuldiv 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → ((𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ↔ 𝑛 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
10756, 104, 101, 105, 106syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ↔ 𝑛 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
108 lemul1 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → (𝑛 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
10956, 99, 101, 105, 108syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
110 nnmulcl 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑𝑛)) ∈ ℕ)
11155, 15, 110syl2anc2 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 · (2↑𝑛)) ∈ ℕ)
112111nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ)
113 flge 13174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ) → ((𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ↔ (𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)))))
114102, 112, 113syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ↔ (𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)))))
115109, 114bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)))))
116 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
117 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
118117fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
119 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → 𝑚 = 𝑛)
120119oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → (2↑𝑚) = (2↑𝑛))
121118, 120oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) = ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)))
122121fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
123122, 120oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
124 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ V
125123, 8, 124ovmpoa 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
12655, 116, 125syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
127126breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥) ↔ 𝑛 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
128107, 115, 1273bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥)))
12993, 128sylan9bbr 514 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥)))
130116adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑥 ∈ ℝ)
131 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) = ℝ)
132131adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) = ℝ)
133130, 132eleqtrrd 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))))
134133biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
13592, 129, 1343bitr2d 310 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
13628ssdifssd 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (ran (𝐺𝑛) ∖ {0}) ⊆ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
137136sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
138 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) = (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛)))
139138rnmpt 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) = {𝑘 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛))}
140139abeq2i 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛)))
141 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) → 𝑚 ∈ ℤ)
142141adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
143142zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
14415ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
145144nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
146144nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ≠ 0)
147143, 145, 146divcan1d 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → ((𝑚 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛)) = 𝑚)
148147, 142eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → ((𝑚 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛)) ∈ ℤ)
149 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛)) → (𝑘 · (2↑𝑛)) = ((𝑚 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛)))
150149eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛)) → ((𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ ↔ ((𝑚 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛)) ∈ ℤ))
151148, 150syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → (𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛)) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ))
152151rexlimdva 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛)) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ))
153140, 152syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ))
154153imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛)))) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ)
155137, 154syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ)
156155adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ)
157 flbi 13185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛)) ↔ ((𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))))
158102, 156, 157syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛)) ↔ ((𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))))
159158adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛)) ↔ ((𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))))
160 neeq1 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≠ 𝑛𝑘𝑛))
161160biimparc 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≠ 𝑛)
162 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (¬ (𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛 → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑛)
163162necon1ai 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≠ 𝑛 → (𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛)
164161, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → (𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛)
165164iftrued 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = (𝑛𝐽𝑥))
166 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘)
167165, 166eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)
168167, 164eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → 𝑘𝑛)
169168, 167jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → (𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘))
170169ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑛 → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 → (𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)))
171 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝐽𝑥) = 𝑘 → ((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛𝑘𝑛))
172171biimparc 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘) → (𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛)
173172iftrued 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = (𝑛𝐽𝑥))
174 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘) → (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)
175173, 174eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘)
176170, 175impbid1 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑛 → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)))
177176adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)))
178 eldifi 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ran (𝐺𝑛))
179 nnre 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
180179ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
18177, 180, 86syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛)
18213ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
183182nn0ge0d 11950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑛)
184 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛 ↔ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≤ 𝑛))
185 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) → (0 ≤ 𝑛 ↔ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≤ 𝑛))
186184, 185ifboth 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛 ∧ 0 ≤ 𝑛) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≤ 𝑛)
187181, 183, 186syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≤ 𝑛)
18842, 187eqbrtrd 5055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑛)
189188ralrimiva 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐺𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑛)
1909ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) Fn ℝ)
191 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = ((𝐺𝑛)‘𝑥) → (𝑘𝑛 ↔ ((𝐺𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑛))
192191ralrn 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺𝑛) Fn ℝ → (∀𝑘 ∈ ran (𝐺𝑛)𝑘𝑛 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐺𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑛))
193190, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ran (𝐺𝑛)𝑘𝑛 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐺𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑛))
194189, 193mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ran (𝐺𝑛)𝑘𝑛)
195194r19.21bi 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ran (𝐺𝑛)) → 𝑘𝑛)
196178, 195sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → 𝑘𝑛)
197196ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → 𝑘𝑛)
198197biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → ((𝑛𝐽𝑥) = 𝑘 ↔ (𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)))
199126eqeq1d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑛𝐽𝑥) = 𝑘 ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) = 𝑘))
200104recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ∈ ℂ)
20128, 20sstrd 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝐺𝑛) ⊆ ℝ)
202201ssdifssd 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (ran (𝐺𝑛) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
203202sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
204203adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
205204recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
206100nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
207100nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
208200, 205, 206, 207divmul3d 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) = 𝑘 ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛))))
209199, 208bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑛𝐽𝑥) = 𝑘 ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛))))
210209adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → ((𝑛𝐽𝑥) = 𝑘 ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛))))
211177, 198, 2103bitr2d 310 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛))))
212 ifnefalse 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑛 → if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) = (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))))
213212eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑛 → (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))))
214100nnrecred 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
215204, 214readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
216215rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
217 elioomnf 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))))
218216, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))))
21994ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
220219ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
221 elpreima 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))))
222220, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))))
223116, 222mpbirand 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))))
22499biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))))
225218, 223, 2243bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))
226 ltmul1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → ((𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) · (2↑𝑛))))
22799, 215, 101, 105, 226syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) · (2↑𝑛))))
228214recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
229206, 207recid2d 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛)) = 1)
230229oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑘 · (2↑𝑛)) + ((1 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛))) = ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))
231205, 206, 228, 230joinlmuladdmuld 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) · (2↑𝑛)) = ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))
232231breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) · (2↑𝑛)) ↔ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1)))
233225, 227, 2323bitrd 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1)))
234213, 233sylan9bbr 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ↔ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1)))
235 lemul1 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
236204, 99, 101, 105, 235syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
237236adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
238234, 237anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → ((𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1) ∧ (𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)))))
239238biancomd 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → ((𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))))
240159, 211, 2393bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
241135, 240pm2.61dane 3077 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
242 eldif 3894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))))
243204rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ*)
244 elioomnf 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝑘) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝑘)))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝑘) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝑘)))
246 elpreima 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝑘))))
247220, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝑘))))
248116, 247mpbirand 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝑘)))
24999biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) < 𝑘 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝑘)))
250245, 248, 2493bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ (𝐹𝑥) < 𝑘))
251250notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑘))
252204, 99lenltd 10779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑘))
253251, 252bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥)))
254253anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
255242, 254syl5bb 286 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
256241, 255bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))
25754, 256sylan9bbr 514 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛)) → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))
258257pm5.32da 582 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘) ↔ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))))))
25944, 52, 2583bitrd 308 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘 ↔ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))))))
260259pm5.32da 582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))))
26121adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝐺𝑛):ℝ⟶ℝ)
262261ffnd 6492 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝐺𝑛) Fn ℝ)
263 fniniseg 6811 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑛) Fn ℝ → (𝑥 ∈ ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘)))
264262, 263syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘)))
265 elin 3900 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))
266179ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
267266renegcld 11060 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → -𝑛 ∈ ℝ)
268 iccmbl 24174 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol)
269267, 266, 268syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol)
270 mblss 24139 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol → (-𝑛[,]𝑛) ⊆ ℝ)
271269, 270syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (-𝑛[,]𝑛) ⊆ ℝ)
272271sseld 3917 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) → 𝑥 ∈ ℝ))
273272adantrd 495 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) → 𝑥 ∈ ℝ))
274273pm4.71rd 566 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))))
275265, 274syl5bb 286 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))))
276260, 264, 2753bitr4d 314 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ↔ 𝑥 ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))))))
277276eqrdv 2799 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) = ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))
278 rembl 24148 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ dom vol
279 fss 6505 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2807, 58, 279sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
281 mbfima 24238 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol)
2826, 280, 281syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol)
283 ifcl 4472 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol) → if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol)
284278, 282, 283sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol)
285 mbfima 24238 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ∈ dom vol)
2866, 280, 285syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ∈ dom vol)
287 difmbl 24151 . . . . . . . 8 ((if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ∈ dom vol) → (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ∈ dom vol)
288284, 286, 287syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ∈ dom vol)
289288ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ∈ dom vol)
290 inmbl 24150 . . . . . 6 (((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol ∧ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ∈ dom vol) → ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) ∈ dom vol)
291269, 289, 290syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) ∈ dom vol)
292277, 291eqeltrd 2893 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ∈ dom vol)
293 mblvol 24138 . . . . . 6 (((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})) = (vol*‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})))
294292, 293syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})) = (vol*‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})))
295190adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝐺𝑛) Fn ℝ)
296295, 263syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘)))
29777, 180ifcld 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ∈ ℝ)
298 0re 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
299 ifcl 4472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ∈ ℝ)
300297, 298, 299sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ∈ ℝ)
30139fvmpt2 6760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
30233, 300, 301syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
30332, 302eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
304303adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
305304eqeq1d 2803 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘 ↔ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘))
306305, 51sylbid 243 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
307306expimpd 457 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘) → 𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
308296, 307sylbid 243 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) → 𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
309308ssrdv 3924 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ⊆ (-𝑛[,]𝑛))
310 iccssre 12811 . . . . . . 7 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑛[,]𝑛) ⊆ ℝ)
311267, 266, 310syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (-𝑛[,]𝑛) ⊆ ℝ)
312 mblvol 24138 . . . . . . . 8 ((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol → (vol‘(-𝑛[,]𝑛)) = (vol*‘(-𝑛[,]𝑛)))
313269, 312syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol‘(-𝑛[,]𝑛)) = (vol*‘(-𝑛[,]𝑛)))
314 iccvolcl 24175 . . . . . . . 8 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (vol‘(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
315267, 266, 314syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol‘(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
316313, 315eqeltrrd 2894 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol*‘(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
317 ovolsscl 24094 . . . . . 6 ((((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ⊆ (-𝑛[,]𝑛) ∧ (-𝑛[,]𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})) ∈ ℝ)
318309, 311, 316, 317syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol*‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})) ∈ ℝ)
319294, 318eqeltrd 2893 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})) ∈ ℝ)
32021, 29, 292, 319i1fd 24289 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ dom ∫1)
321320ralrimiva 3152 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐺𝑛) ∈ dom ∫1)
322 ffnfv 6863 . 2 (𝐺:ℕ⟶dom ∫1 ↔ (𝐺 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐺𝑛) ∈ dom ∫1))
3235, 321, 322sylanbrc 586 1 (𝜑𝐺:ℕ⟶dom ∫1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524   “ cima 5526   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  –onto→wfo 6326  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  Fincfn 8496  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669  -cneg 10864   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  (,)cioo 12730  [,)cico 12732  [,]cicc 12733  ...cfz 12889  ⌊cfl 13159  ↑cexp 13429  vol*covol 24070  volcvol 24071  MblFncmbf 24222  ∫1citg1 24223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-rest 16692  df-topgen 16713  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-top 21503  df-topon 21520  df-bases 21555  df-cmp 21996  df-ovol 24072  df-vol 24073  df-mbf 24227  df-itg1 24228 This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  24327  mbfi1fseqlem6  24328
 Copyright terms: Public domain W3C validator