MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem4 25661
Description: Lemma for mbfi1fseq 25664. This lemma is not as interesting as it is long - it is simply checking that 𝐺 is in fact a sequence of simple functions, by verifying that its range is in (0...𝑛2↑𝑛) / (2↑𝑛) (which is to say, the numbers from 0 to 𝑛 in increments of 1 / (2↑𝑛)), and also that the preimage of each point π‘˜ is measurable, because it is equal to (-𝑛[,]𝑛) ∩ (◑𝐹 β€œ (π‘˜[,)π‘˜ + 1 / (2↑𝑛))) for π‘˜ < 𝑛 and (-𝑛[,]𝑛) ∩ (◑𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) for π‘˜ = 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem4 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆdom ∫1)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘š,𝐽   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,π‘š)   𝐽(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem4
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11224 . . . . 5 ℝ ∈ V
21mptex 7229 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)) ∈ V
3 mbfi1fseq.4 . . . 4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
42, 3fnmpti 6693 . . 3 𝐺 Fn β„•
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn β„•)
6 mbfi1fseq.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfi1fseq.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
8 mbfi1fseq.3 . . . . . 6 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
96, 7, 8, 3mbfi1fseqlem3 25660 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›):β„βŸΆran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
10 elfznn0 13621 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
1110nn0red 12558 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
12 2nn 12310 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•
13 nnnn0 12504 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
14 nnexpcl 14066 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
1512, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
1615adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
17 nndivre 12278 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ β„•) β†’ (π‘š / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1811, 16, 17syl2anr 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (π‘š / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7118 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))βŸΆβ„)
2019frnd 6725 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) βŠ† ℝ)
219, 20fssd 6734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
22 fzfid 13965 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ∈ Fin)
2319ffnd 6718 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) Fn (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))))
24 dffn4 6810 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) Fn (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↔ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))–ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
2523, 24sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))–ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
26 fofi 9357 . . . . . 6 (((0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ∈ Fin ∧ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))–ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛)))) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) ∈ Fin)
2722, 25, 26syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) ∈ Fin)
289frnd 6725 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (πΊβ€˜π‘›) βŠ† ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
2927, 28ssfid 9285 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (πΊβ€˜π‘›) ∈ Fin)
306, 7, 8, 3mbfi1fseqlem2 25659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0)))
3130fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯))
3231ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯))
33 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
34 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝐽π‘₯) ∈ V
35 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ V
3634, 35ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ V
37 c0ex 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
3836, 37ifex 4575 . . . . . . . . . . . . 13 if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ V
39 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4039fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4133, 38, 40sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4232, 41eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4342adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4443eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜))
45 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) β†’ π‘˜ β‰  0)
4645ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ β‰  0)
47 neeq1 2993 . . . . . . . . . . . 12 (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β‰  0 ↔ π‘˜ β‰  0))
4846, 47syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β‰  0))
49 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = 0)
5049necon1ai 2958 . . . . . . . . . . 11 (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛))
5148, 50syl6 35 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
5251pm4.71rd 561 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜)))
53 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛))
5453eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ ↔ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜))
55 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5655nnred 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
5756adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
58 rge0ssre 13460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
59 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
60 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
617, 59, 60syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
6258, 61sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
63 nnnn0 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•0)
64 nnexpcl 14066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
6512, 63, 64sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘š ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
6665ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
6766nnred 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ ℝ)
6862, 67remulcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
69 reflcl 13788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
7170, 66nndivred 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
7271ralrimivva 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
738fmpo 8066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
7472, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
75 fovcdm 7585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„ ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
7674, 75syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
77763expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
7877adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
7978adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
80 lemin 13198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ↔ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ∧ 𝑛 ≀ 𝑛)))
8157, 79, 57, 80syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ↔ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ∧ 𝑛 ≀ 𝑛)))
8279, 57ifcld 4571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ ℝ)
8382, 57letri3d 11381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = 𝑛 ↔ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛))))
84 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘˜ = 𝑛)
8584eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = 𝑛))
86 min2 13196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛)
8779, 57, 86syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛)
8887biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ↔ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛))))
8983, 85, 883bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ 𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛)))
9057leidd 11805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ 𝑛 ≀ 𝑛)
9190biantrud 530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ↔ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ∧ 𝑛 ≀ 𝑛)))
9281, 89, 913bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ 𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯)))
93 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
947adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
9594ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
96 elrege0 13458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
9795, 96sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
9897simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9998adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
10055, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
101100nnred 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ)
10299, 101remulcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
103 reflcl 13788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
105100nngt0d 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 < (2↑𝑛))
106 lemuldiv 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ↔ 𝑛 ≀ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
10756, 104, 101, 105, 106syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ↔ 𝑛 ≀ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
108 lemul1 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
10956, 99, 101, 105, 108syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
110 nnmulcl 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (2↑𝑛) ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„•)
11155, 15, 110syl2anc2 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„•)
112111nnzd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
113 flge 13797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
114102, 112, 113syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
115109, 114bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
116 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
117 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
118117fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
119 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ π‘š = 𝑛)
120119oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑𝑛))
121118, 120oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))
122121fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
123122, 120oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
124 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ V
125123, 8, 124ovmpoa 7570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
12655, 116, 125syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
127126breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
128107, 115, 1273bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯)))
12993, 128sylan9bbr 509 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯)))
130116adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
131 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) = ℝ)
132131adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) = ℝ)
133130, 132eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
134133biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
13592, 129, 1343bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
13628ssdifssd 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) βŠ† ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
137136sselda 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
138 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) = (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛)))
139138rnmpt 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) = {π‘˜ ∣ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛))}
140139eqabri 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)))
141 elfzelz 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„€)
142141adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
143142zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
14415ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
145144nncnd 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
146144nnne0d 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
147143, 145, 146divcan1d 12016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) = π‘š)
148147, 142eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
149 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) = ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)))
150149eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€ ↔ ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
151148, 150syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
152151rexlimdva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
153140, 152biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
154153imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
155137, 154syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
156155adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
157 flbi 13808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
158102, 156, 157syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
159158adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
160 neeq1 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) β‰  𝑛 ↔ π‘˜ β‰  𝑛))
161160biimparc 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) β‰  𝑛)
162 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Β¬ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛 β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = 𝑛)
163162necon1ai 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) β‰  𝑛 β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛)
164161, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛)
165164iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = (𝑛𝐽π‘₯))
166 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜)
167165, 166eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)
168167, 164eqbrtrrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
169168, 167jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜))
170169ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ β†’ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
171 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛 ↔ π‘˜ ≀ 𝑛))
172171biimparc 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛)
173172iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = (𝑛𝐽π‘₯))
174 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)
175173, 174eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜)
176170, 175impbid1 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
177176adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
178 eldifi 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) β†’ π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›))
179 nnre 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
180179ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
18177, 180, 86syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛)
18213ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
183182nn0ge0d 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ 𝑛)
184 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛))
185 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β†’ (0 ≀ 𝑛 ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛))
186184, 185ifboth 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ∧ 0 ≀ 𝑛) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛)
187181, 183, 186syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛)
18842, 187eqbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛)
189188ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛)
1909ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ)
191 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑛 ↔ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛))
192191ralrn 7091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)π‘˜ ≀ 𝑛 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛))
193190, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)π‘˜ ≀ 𝑛 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛))
194189, 193mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)π‘˜ ≀ 𝑛)
195194r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
196178, 195sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
197196ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
198197biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
199126eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) = π‘˜))
200104recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ β„‚)
20128, 20sstrd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (πΊβ€˜π‘›) βŠ† ℝ)
202201ssdifssd 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
203202sselda 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
204203adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
205204recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
206100nncnd 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
207100nnne0d 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
208200, 205, 206, 207divmul3d 12049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
209199, 208bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
210209adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
211177, 198, 2103bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
212 ifnefalse 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
213212eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
214100nnrecred 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
215204, 214readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
216215rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
217 elioomnf 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
218216, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
21994ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
220219ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
221 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
222220, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
223116, 222mpbirand 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
22499biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
225218, 223, 2243bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))
226 ltmul1 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛))))
22799, 215, 101, 105, 226syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛))))
228214recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (1 / (2↑𝑛)) ∈ β„‚)
229206, 207recid2d 12011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((1 / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) = 1)
230229oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + ((1 / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛))) = ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))
231205, 206, 228, 230joinlmuladdmuld 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛)) = ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))
232231breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛)) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1)))
233225, 227, 2323bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1)))
234213, 233sylan9bbr 509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1)))
235 lemul1 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
236204, 99, 101, 105, 235syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
237236adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
238234, 237anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1) ∧ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
239238biancomd 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
240159, 211, 2393bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
241135, 240pm2.61dane 3019 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
242 eldif 3951 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))
243204rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
244 elioomnf 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜)))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜)))
246 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜))))
247220, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜))))
248116, 247mpbirand 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜)))
24999biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜ ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜)))
250245, 248, 2493bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜))
251250notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜))
252204, 99lenltd 11385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜))
253251, 252bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
254253anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
255242, 254bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
256241, 255bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
25754, 256sylan9bbr 509 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ ↔ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
258257pm5.32da 577 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))))
25944, 52, 2583bitrd 304 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))))
260259pm5.32da 577 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))))
26121adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (πΊβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
262261ffnd 6718 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ)
263 fniniseg 7062 . . . . . . . 8 ((πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜)))
264262, 263syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜)))
265 elin 3957 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
266179ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
267266renegcld 11666 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ -𝑛 ∈ ℝ)
268 iccmbl 25508 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol)
269267, 266, 268syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol)
270 mblss 25473 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
271269, 270syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
272271sseld 3972 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ π‘₯ ∈ ℝ))
273272adantrd 490 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ))
274273pm4.71rd 561 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))))
275265, 274bitrid 282 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))))
276260, 264, 2753bitr4d 310 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ π‘₯ ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))))
277276eqrdv 2723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) = ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
278 rembl 25482 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ dom vol
279 fss 6733 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2807, 58, 279sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
281 mbfima 25572 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol)
2826, 280, 281syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol)
283 ifcl 4570 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol) β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol)
284278, 282, 283sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol)
285 mbfima 25572 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ∈ dom vol)
2866, 280, 285syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ∈ dom vol)
287 difmbl 25485 . . . . . . . 8 ((if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ∈ dom vol) β†’ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol)
288284, 286, 287syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol)
289288ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol)
290 inmbl 25484 . . . . . 6 (((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol ∧ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol) β†’ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ∈ dom vol)
291269, 289, 290syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ∈ dom vol)
292277, 291eqeltrd 2825 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
293 mblvol 25472 . . . . . 6 ((β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})))
294292, 293syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})))
295190adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ)
296295, 263syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜)))
29777, 180ifcld 4571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ ℝ)
298 0re 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
299 ifcl 4570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ ℝ)
300297, 298, 299sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ ℝ)
30139fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
30233, 300, 301syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
30332, 302eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
304303adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
305304eqeq1d 2727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜))
306305, 51sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
307306expimpd 452 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
308296, 307sylbid 239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
309308ssrdv 3979 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) βŠ† (-𝑛[,]𝑛))
310 iccssre 13433 . . . . . . 7 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
311267, 266, 310syl2anc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
312 mblvol 25472 . . . . . . . 8 ((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) = (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)))
313269, 312syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) = (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)))
314 iccvolcl 25509 . . . . . . . 8 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
315267, 266, 314syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
316313, 315eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
317 ovolsscl 25428 . . . . . 6 (((β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) βŠ† (-𝑛[,]𝑛) ∧ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
318309, 311, 316, 317syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
319294, 318eqeltrd 2825 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
32021, 29, 292, 319i1fd 25623 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
321320ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΊβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
322 ffnfv 7122 . 2 (𝐺:β„•βŸΆdom ∫1 ↔ (𝐺 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΊβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1))
3235, 321, 322sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆdom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3938   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  ifcif 4525  {csn 4625   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671  β—‘ccnv 5672  dom cdm 5673  ran crn 5674   β€œ cima 5676   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Fincfn 8957  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138  +∞cpnf 11270  -∞cmnf 11271  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274  -cneg 11470   / cdiv 11896  β„•cn 12237  2c2 12292  β„•0cn0 12497  β„€cz 12583  (,)cioo 13351  [,)cico 13353  [,]cicc 13354  ...cfz 13511  βŒŠcfl 13782  β†‘cexp 14053  vol*covol 25404  volcvol 25405  MblFncmbf 25556  βˆ«1citg1 25557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-rest 17398  df-topgen 17419  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cmp 23304  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  25662  mbfi1fseqlem6  25663
  Copyright terms: Public domain W3C validator