MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem4 25235
Description: Lemma for mbfi1fseq 25238. This lemma is not as interesting as it is long - it is simply checking that 𝐺 is in fact a sequence of simple functions, by verifying that its range is in (0...𝑛2↑𝑛) / (2↑𝑛) (which is to say, the numbers from 0 to 𝑛 in increments of 1 / (2↑𝑛)), and also that the preimage of each point π‘˜ is measurable, because it is equal to (-𝑛[,]𝑛) ∩ (◑𝐹 β€œ (π‘˜[,)π‘˜ + 1 / (2↑𝑛))) for π‘˜ < 𝑛 and (-𝑛[,]𝑛) ∩ (◑𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) for π‘˜ = 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem4 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆdom ∫1)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘š,𝐽   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,π‘š)   𝐽(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem4
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11200 . . . . 5 ℝ ∈ V
21mptex 7224 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)) ∈ V
3 mbfi1fseq.4 . . . 4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
42, 3fnmpti 6693 . . 3 𝐺 Fn β„•
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn β„•)
6 mbfi1fseq.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfi1fseq.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
8 mbfi1fseq.3 . . . . . 6 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
96, 7, 8, 3mbfi1fseqlem3 25234 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›):β„βŸΆran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
10 elfznn0 13593 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
1110nn0red 12532 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
12 2nn 12284 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•
13 nnnn0 12478 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
14 nnexpcl 14039 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
1615adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
17 nndivre 12252 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ β„•) β†’ (π‘š / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1811, 16, 17syl2anr 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (π‘š / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7114 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))βŸΆβ„)
2019frnd 6725 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) βŠ† ℝ)
219, 20fssd 6735 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
22 fzfid 13937 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ∈ Fin)
2319ffnd 6718 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) Fn (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))))
24 dffn4 6811 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) Fn (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↔ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))–ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
2523, 24sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))–ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
26 fofi 9337 . . . . . 6 (((0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ∈ Fin ∧ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))–ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛)))) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) ∈ Fin)
2722, 25, 26syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) ∈ Fin)
289frnd 6725 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (πΊβ€˜π‘›) βŠ† ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
2927, 28ssfid 9266 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (πΊβ€˜π‘›) ∈ Fin)
306, 7, 8, 3mbfi1fseqlem2 25233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0)))
3130fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯))
3231ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
34 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝐽π‘₯) ∈ V
35 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ V
3634, 35ifex 4578 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ V
37 c0ex 11207 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
3836, 37ifex 4578 . . . . . . . . . . . . 13 if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ V
39 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4039fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4133, 38, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4232, 41eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4342adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4443eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜))
45 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) β†’ π‘˜ β‰  0)
4645ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ β‰  0)
47 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . 12 (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β‰  0 ↔ π‘˜ β‰  0))
4846, 47syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β‰  0))
49 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = 0)
5049necon1ai 2968 . . . . . . . . . . 11 (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛))
5148, 50syl6 35 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
5251pm4.71rd 563 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜)))
53 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛))
5453eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ ↔ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜))
55 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5655nnred 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
58 rge0ssre 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
60 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
617, 59, 60syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
6258, 61sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
63 nnnn0 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•0)
64 nnexpcl 14039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
6512, 63, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘š ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
6665ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
6766nnred 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ ℝ)
6862, 67remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
69 reflcl 13760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
7170, 66nndivred 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
7271ralrimivva 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
738fmpo 8053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
7472, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
75 fovcdm 7576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„ ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
7674, 75syl3an1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
77763expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
7877adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
80 lemin 13170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ↔ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ∧ 𝑛 ≀ 𝑛)))
8157, 79, 57, 80syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ↔ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ∧ 𝑛 ≀ 𝑛)))
8279, 57ifcld 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ ℝ)
8382, 57letri3d 11355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = 𝑛 ↔ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛))))
84 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘˜ = 𝑛)
8584eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = 𝑛))
86 min2 13168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛)
8779, 57, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛)
8887biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ↔ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛))))
8983, 85, 883bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ 𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛)))
9057leidd 11779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ 𝑛 ≀ 𝑛)
9190biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ↔ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ∧ 𝑛 ≀ 𝑛)))
9281, 89, 913bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ 𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯)))
93 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
947adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
9594ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
96 elrege0 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
9795, 96sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
9897simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9998adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
10055, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
101100nnred 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ)
10299, 101remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
103 reflcl 13760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
105100nngt0d 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 < (2↑𝑛))
106 lemuldiv 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ↔ 𝑛 ≀ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
10756, 104, 101, 105, 106syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ↔ 𝑛 ≀ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
108 lemul1 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
10956, 99, 101, 105, 108syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
110 nnmulcl 12235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (2↑𝑛) ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„•)
11155, 15, 110syl2anc2 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„•)
112111nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
113 flge 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
114102, 112, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
115109, 114bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
116 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
117 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
118117fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
119 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ π‘š = 𝑛)
120119oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑𝑛))
121118, 120oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))
122121fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
123122, 120oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
124 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ V
125123, 8, 124ovmpoa 7562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
12655, 116, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
127126breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
128107, 115, 1273bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯)))
12993, 128sylan9bbr 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯)))
130116adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
131 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) = ℝ)
132131adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) = ℝ)
133130, 132eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
134133biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
13592, 129, 1343bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
13628ssdifssd 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) βŠ† ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
137136sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
138 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) = (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛)))
139138rnmpt 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) = {π‘˜ ∣ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛))}
140139eqabri 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)))
141 elfzelz 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„€)
142141adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
143142zcnd 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
14415ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
145144nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
146144nnne0d 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
147143, 145, 146divcan1d 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) = π‘š)
148147, 142eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
149 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) = ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)))
150149eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€ ↔ ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
151148, 150syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
152151rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
153140, 152biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
154153imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
155137, 154syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
157 flbi 13780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
158102, 156, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
159158adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
160 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) β‰  𝑛 ↔ π‘˜ β‰  𝑛))
161160biimparc 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) β‰  𝑛)
162 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Β¬ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛 β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = 𝑛)
163162necon1ai 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) β‰  𝑛 β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛)
164161, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛)
165164iftrued 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = (𝑛𝐽π‘₯))
166 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜)
167165, 166eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)
168167, 164eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
169168, 167jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜))
170169ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ β†’ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
171 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛 ↔ π‘˜ ≀ 𝑛))
172171biimparc 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛)
173172iftrued 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = (𝑛𝐽π‘₯))
174 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)
175173, 174eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜)
176170, 175impbid1 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
177176adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
178 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) β†’ π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›))
179 nnre 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
180179ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
18177, 180, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛)
18213ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
183182nn0ge0d 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ 𝑛)
184 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛))
185 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β†’ (0 ≀ 𝑛 ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛))
186184, 185ifboth 4567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ∧ 0 ≀ 𝑛) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛)
187181, 183, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛)
18842, 187eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛)
189188ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛)
1909ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ)
191 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑛 ↔ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛))
192191ralrn 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)π‘˜ ≀ 𝑛 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛))
193190, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)π‘˜ ≀ 𝑛 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛))
194189, 193mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)π‘˜ ≀ 𝑛)
195194r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
196178, 195sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
197196ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
198197biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
199126eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) = π‘˜))
200104recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ β„‚)
20128, 20sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (πΊβ€˜π‘›) βŠ† ℝ)
202201ssdifssd 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
203202sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
204203adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
205204recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
206100nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
207100nnne0d 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
208200, 205, 206, 207divmul3d 12023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
209199, 208bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
210209adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
211177, 198, 2103bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
212 ifnefalse 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
213212eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
214100nnrecred 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
215204, 214readdcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
216215rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
217 elioomnf 13420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
218216, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
21994ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
220219ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
221 elpreima 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
222220, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
223116, 222mpbirand 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
22499biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
225218, 223, 2243bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))
226 ltmul1 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛))))
22799, 215, 101, 105, 226syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛))))
228214recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (1 / (2↑𝑛)) ∈ β„‚)
229206, 207recid2d 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((1 / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) = 1)
230229oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + ((1 / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛))) = ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))
231205, 206, 228, 230joinlmuladdmuld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛)) = ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))
232231breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛)) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1)))
233225, 227, 2323bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1)))
234213, 233sylan9bbr 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1)))
235 lemul1 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
236204, 99, 101, 105, 235syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
237236adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
238234, 237anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1) ∧ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
239238biancomd 464 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
240159, 211, 2393bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
241135, 240pm2.61dane 3029 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
242 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))
243204rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
244 elioomnf 13420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜)))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜)))
246 elpreima 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜))))
247220, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜))))
248116, 247mpbirand 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜)))
24999biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜ ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜)))
250245, 248, 2493bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜))
251250notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜))
252204, 99lenltd 11359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜))
253251, 252bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
254253anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
255242, 254bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
256241, 255bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
25754, 256sylan9bbr 511 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ ↔ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
258257pm5.32da 579 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))))
25944, 52, 2583bitrd 304 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))))
260259pm5.32da 579 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))))
26121adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (πΊβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
262261ffnd 6718 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ)
263 fniniseg 7061 . . . . . . . 8 ((πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜)))
264262, 263syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜)))
265 elin 3964 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
266179ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
267266renegcld 11640 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ -𝑛 ∈ ℝ)
268 iccmbl 25082 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol)
269267, 266, 268syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol)
270 mblss 25047 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
271269, 270syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
272271sseld 3981 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ π‘₯ ∈ ℝ))
273272adantrd 492 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ))
274273pm4.71rd 563 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))))
275265, 274bitrid 282 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))))
276260, 264, 2753bitr4d 310 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ π‘₯ ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))))
277276eqrdv 2730 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) = ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
278 rembl 25056 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ dom vol
279 fss 6734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2807, 58, 279sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
281 mbfima 25146 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol)
2826, 280, 281syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol)
283 ifcl 4573 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol) β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol)
284278, 282, 283sylancr 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol)
285 mbfima 25146 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ∈ dom vol)
2866, 280, 285syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ∈ dom vol)
287 difmbl 25059 . . . . . . . 8 ((if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ∈ dom vol) β†’ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol)
288284, 286, 287syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol)
289288ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol)
290 inmbl 25058 . . . . . 6 (((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol ∧ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol) β†’ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ∈ dom vol)
291269, 289, 290syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ∈ dom vol)
292277, 291eqeltrd 2833 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
293 mblvol 25046 . . . . . 6 ((β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})))
294292, 293syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})))
295190adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ)
296295, 263syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜)))
29777, 180ifcld 4574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ ℝ)
298 0re 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
299 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ ℝ)
300297, 298, 299sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ ℝ)
30139fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
30233, 300, 301syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
30332, 302eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
304303adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
305304eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜))
306305, 51sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
307306expimpd 454 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
308296, 307sylbid 239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
309308ssrdv 3988 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) βŠ† (-𝑛[,]𝑛))
310 iccssre 13405 . . . . . . 7 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
311267, 266, 310syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
312 mblvol 25046 . . . . . . . 8 ((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) = (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)))
313269, 312syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) = (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)))
314 iccvolcl 25083 . . . . . . . 8 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
315267, 266, 314syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
316313, 315eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
317 ovolsscl 25002 . . . . . 6 (((β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) βŠ† (-𝑛[,]𝑛) ∧ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
318309, 311, 316, 317syl3anc 1371 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
319294, 318eqeltrd 2833 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
32021, 29, 292, 319i1fd 25197 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
321320ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΊβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
322 ffnfv 7117 . 2 (𝐺:β„•βŸΆdom ∫1 ↔ (𝐺 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΊβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1))
3235, 321, 322sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆdom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  -cneg 11444   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  (,)cioo 13323  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  βŒŠcfl 13754  β†‘cexp 14026  vol*covol 24978  volcvol 24979  MblFncmbf 25130  βˆ«1citg1 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  25236  mbfi1fseqlem6  25237
  Copyright terms: Public domain W3C validator