MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem4 25083
Description: Lemma for mbfi1fseq 25086. This lemma is not as interesting as it is long - it is simply checking that 𝐺 is in fact a sequence of simple functions, by verifying that its range is in (0...𝑛2↑𝑛) / (2↑𝑛) (which is to say, the numbers from 0 to 𝑛 in increments of 1 / (2↑𝑛)), and also that the preimage of each point 𝑘 is measurable, because it is equal to (-𝑛[,]𝑛) ∩ (𝐹 “ (𝑘[,)𝑘 + 1 / (2↑𝑛))) for 𝑘 < 𝑛 and (-𝑛[,]𝑛) ∩ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) for 𝑘 = 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem4 (𝜑𝐺:ℕ⟶dom ∫1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑚)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem4
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11142 . . . . 5 ℝ ∈ V
21mptex 7173 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)) ∈ V
3 mbfi1fseq.4 . . . 4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)))
42, 3fnmpti 6644 . . 3 𝐺 Fn ℕ
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 Fn ℕ)
6 mbfi1fseq.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfi1fseq.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
8 mbfi1fseq.3 . . . . . 6 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
96, 7, 8, 3mbfi1fseqlem3 25082 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛):ℝ⟶ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
10 elfznn0 13534 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
1110nn0red 12474 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) → 𝑚 ∈ ℝ)
12 2nn 12226 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
13 nnnn0 12420 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
14 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
1615adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
17 nndivre 12194 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℕ) → (𝑚 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1811, 16, 17syl2anr 597 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → (𝑚 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7063 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 · (2↑𝑛)))⟶ℝ)
2019frnd 6676 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
219, 20fssd 6686 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛):ℝ⟶ℝ)
22 fzfid 13878 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ∈ Fin)
2319ffnd 6669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) Fn (0...(𝑛 · (2↑𝑛))))
24 dffn4 6762 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) Fn (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↔ (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 · (2↑𝑛)))–onto→ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
2523, 24sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 · (2↑𝑛)))–onto→ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
26 fofi 9282 . . . . . 6 (((0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ∈ Fin ∧ (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 · (2↑𝑛)))–onto→ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛)))) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) ∈ Fin)
2722, 25, 26syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) ∈ Fin)
289frnd 6676 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝐺𝑛) ⊆ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
2927, 28ssfid 9211 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝐺𝑛) ∈ Fin)
306, 7, 8, 3mbfi1fseqlem2 25081 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0)))
3130fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥))
3231ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
34 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝐽𝑥) ∈ V
35 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ V
3634, 35ifex 4536 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ∈ V
37 c0ex 11149 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
3836, 37ifex 4536 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ∈ V
39 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
4039fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
4133, 38, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
4232, 41eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
4342adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
4443eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘 ↔ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘))
45 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
4645ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ≠ 0)
47 neeq1 3006 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘 → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≠ 0 ↔ 𝑘 ≠ 0))
4846, 47syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘 → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≠ 0))
49 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 0)
5049necon1ai 2971 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛))
5148, 50syl6 35 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
5251pm4.71rd 563 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘 ↔ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘)))
53 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛))
5453eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘 ↔ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘))
55 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℕ)
5655nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
58 rge0ssre 13373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
60 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
617, 59, 60syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
6258, 61sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
63 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
64 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
6512, 63, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
6665ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
6766nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
6862, 67remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
69 reflcl 13701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
7170, 66nndivred 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
7271ralrimivva 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
738fmpo 8000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ)
7472, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ)
75 fovcdm 7524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ)
7674, 75syl3an1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ)
77763expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ)
7877adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ)
80 lemin 13111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ↔ (𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥) ∧ 𝑛𝑛)))
8157, 79, 57, 80syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ↔ (𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥) ∧ 𝑛𝑛)))
8279, 57ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ∈ ℝ)
8382, 57letri3d 11297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑛 ↔ (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛))))
84 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑘 = 𝑛)
8584eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑛))
86 min2 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛)
8779, 57, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛)
8887biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ↔ (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛))))
8983, 85, 883bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘𝑛 ≤ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛)))
9057leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑛𝑛)
9190biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥) ↔ (𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥) ∧ 𝑛𝑛)))
9281, 89, 913bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥)))
93 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝑛 ≤ (𝐹𝑥)))
947adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
9594ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
96 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
9795, 96sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
9897simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
9998adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
10055, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
101100nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
10299, 101remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
103 reflcl 13701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
105100nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 < (2↑𝑛))
106 lemuldiv 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → ((𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ↔ 𝑛 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
10756, 104, 101, 105, 106syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ↔ 𝑛 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
108 lemul1 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → (𝑛 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
10956, 99, 101, 105, 108syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
110 nnmulcl 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑𝑛)) ∈ ℕ)
11155, 15, 110syl2anc2 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 · (2↑𝑛)) ∈ ℕ)
112111nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ)
113 flge 13710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ) → ((𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ↔ (𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)))))
114102, 112, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ↔ (𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)))))
115109, 114bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 · (2↑𝑛)) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)))))
116 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
117 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
118117fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
119 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → 𝑚 = 𝑛)
120119oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → (2↑𝑚) = (2↑𝑛))
121118, 120oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) = ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)))
122121fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
123122, 120oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 = 𝑛𝑦 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
124 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ V
125123, 8, 124ovmpoa 7510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
12655, 116, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
127126breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥) ↔ 𝑛 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
128107, 115, 1273bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥)))
12993, 128sylan9bbr 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 𝑛 ≤ (𝑛𝐽𝑥)))
130116adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑥 ∈ ℝ)
131 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) = ℝ)
132131adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) = ℝ)
133130, 132eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))))
134133biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
13592, 129, 1343bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
13628ssdifssd 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (ran (𝐺𝑛) ∖ {0}) ⊆ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
137136sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))))
138 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) = (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛)))
139138rnmpt 5910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) = {𝑘 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛))}
140139eqabi 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛)))
141 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) → 𝑚 ∈ ℤ)
142141adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
143142zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
14415ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
145144nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
146144nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ≠ 0)
147143, 145, 146divcan1d 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → ((𝑚 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛)) = 𝑚)
148147, 142eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → ((𝑚 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛)) ∈ ℤ)
149 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛)) → (𝑘 · (2↑𝑛)) = ((𝑚 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛)))
150149eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛)) → ((𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ ↔ ((𝑚 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛)) ∈ ℤ))
151148, 150syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))) → (𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛)) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ))
152151rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛)))𝑘 = (𝑚 / (2↑𝑛)) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ))
153140, 152biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛))) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ))
154153imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ran (𝑚 ∈ (0...(𝑛 · (2↑𝑛))) ↦ (𝑚 / (2↑𝑛)))) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ)
155137, 154syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ)
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ)
157 flbi 13721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · (2↑𝑛)) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛)) ↔ ((𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))))
158102, 156, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛)) ↔ ((𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))))
159158adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛)) ↔ ((𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))))
160 neeq1 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≠ 𝑛𝑘𝑛))
161160biimparc 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≠ 𝑛)
162 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (¬ (𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛 → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑛)
163162necon1ai 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≠ 𝑛 → (𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛)
164161, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → (𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛)
165164iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = (𝑛𝐽𝑥))
166 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘)
167165, 166eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)
168167, 164eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → 𝑘𝑛)
169168, 167jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑛 ∧ if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘) → (𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘))
170169ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑛 → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 → (𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)))
171 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝐽𝑥) = 𝑘 → ((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛𝑘𝑛))
172171biimparc 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘) → (𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛)
173172iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = (𝑛𝐽𝑥))
174 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘) → (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)
175173, 174eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘)
176170, 175impbid1 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑛 → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)))
177176adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)))
178 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ran (𝐺𝑛))
179 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
180179ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
18177, 180, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛)
18213ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
183182nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑛)
184 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛 ↔ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≤ 𝑛))
185 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) → (0 ≤ 𝑛 ↔ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≤ 𝑛))
186184, 185ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ≤ 𝑛 ∧ 0 ≤ 𝑛) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≤ 𝑛)
187181, 183, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ≤ 𝑛)
18842, 187eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑛)
189188ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐺𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑛)
1909ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) Fn ℝ)
191 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = ((𝐺𝑛)‘𝑥) → (𝑘𝑛 ↔ ((𝐺𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑛))
192191ralrn 7038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺𝑛) Fn ℝ → (∀𝑘 ∈ ran (𝐺𝑛)𝑘𝑛 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐺𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑛))
193190, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ran (𝐺𝑛)𝑘𝑛 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐺𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑛))
194189, 193mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ran (𝐺𝑛)𝑘𝑛)
195194r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ran (𝐺𝑛)) → 𝑘𝑛)
196178, 195sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → 𝑘𝑛)
197196ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → 𝑘𝑛)
198197biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → ((𝑛𝐽𝑥) = 𝑘 ↔ (𝑘𝑛 ∧ (𝑛𝐽𝑥) = 𝑘)))
199126eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑛𝐽𝑥) = 𝑘 ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) = 𝑘))
200104recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) ∈ ℂ)
20128, 20sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝐺𝑛) ⊆ ℝ)
202201ssdifssd 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (ran (𝐺𝑛) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
203202sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
204203adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
205204recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
206100nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
207100nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
208200, 205, 206, 207divmul3d 11965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) = 𝑘 ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛))))
209199, 208bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑛𝐽𝑥) = 𝑘 ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛))))
210209adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → ((𝑛𝐽𝑥) = 𝑘 ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛))))
211177, 198, 2103bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))) = (𝑘 · (2↑𝑛))))
212 ifnefalse 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑛 → if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) = (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))))
213212eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑛 → (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))))
214100nnrecred 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
215204, 214readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
216215rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
217 elioomnf 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))))
218216, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))))
21994ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
220219ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
221 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))))
222220, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))))
223116, 222mpbirand 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))))
22499biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))))
225218, 223, 2243bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))
226 ltmul1 12005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → ((𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) · (2↑𝑛))))
22799, 215, 101, 105, 226syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) < (𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) · (2↑𝑛))))
228214recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
229206, 207recid2d 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛)) = 1)
230229oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑘 · (2↑𝑛)) + ((1 / (2↑𝑛)) · (2↑𝑛))) = ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))
231205, 206, 228, 230joinlmuladdmuld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) · (2↑𝑛)) = ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))
232231breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 + (1 / (2↑𝑛))) · (2↑𝑛)) ↔ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1)))
233225, 227, 2323bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1)))
234213, 233sylan9bbr 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ↔ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1)))
235 lemul1 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
236204, 99, 101, 105, 235syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
237236adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛))))
238234, 237anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → ((𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1) ∧ (𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)))))
239238biancomd 464 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → ((𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑘 · (2↑𝑛)) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝑛)) < ((𝑘 · (2↑𝑛)) + 1))))
240159, 211, 2393bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑛) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
241135, 240pm2.61dane 3032 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘 ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
242 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))))
243204rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ*)
244 elioomnf 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝑘) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝑘)))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝑘) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝑘)))
246 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝑘))))
247220, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝑘))))
248116, 247mpbirand 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝑘)))
24999biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) < 𝑘 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝑘)))
250245, 248, 2493bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ (𝐹𝑥) < 𝑘))
251250notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑘))
252204, 99lenltd 11301 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑘))
253251, 252bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ↔ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥)))
254253anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
255242, 254bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ↔ (𝑥 ∈ if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ 𝑘 ≤ (𝐹𝑥))))
256241, 255bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) = 𝑘𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))
25754, 256sylan9bbr 511 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛)) → (if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))
258257pm5.32da 579 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘) ↔ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))))))
25944, 52, 2583bitrd 304 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘 ↔ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))))))
260259pm5.32da 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))))
26121adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝐺𝑛):ℝ⟶ℝ)
262261ffnd 6669 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝐺𝑛) Fn ℝ)
263 fniniseg 7010 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑛) Fn ℝ → (𝑥 ∈ ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘)))
264262, 263syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘)))
265 elin 3926 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))
266179ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
267266renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → -𝑛 ∈ ℝ)
268 iccmbl 24930 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol)
269267, 266, 268syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol)
270 mblss 24895 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol → (-𝑛[,]𝑛) ⊆ ℝ)
271269, 270syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (-𝑛[,]𝑛) ⊆ ℝ)
272271sseld 3943 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) → 𝑥 ∈ ℝ))
273272adantrd 492 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) → 𝑥 ∈ ℝ))
274273pm4.71rd 563 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))))
275265, 274bitrid 282 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))))
276260, 264, 2753bitr4d 310 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ↔ 𝑥 ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))))))
277276eqrdv 2734 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) = ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))))
278 rembl 24904 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ dom vol
279 fss 6685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2807, 58, 279sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
281 mbfima 24994 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol)
2826, 280, 281syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol)
283 ifcl 4531 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol) → if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol)
284278, 282, 283sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol)
285 mbfima 24994 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ∈ dom vol)
2866, 280, 285syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ∈ dom vol)
287 difmbl 24907 . . . . . . . 8 ((if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)) ∈ dom vol) → (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ∈ dom vol)
288284, 286, 287syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ∈ dom vol)
289288ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ∈ dom vol)
290 inmbl 24906 . . . . . 6 (((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol ∧ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘))) ∈ dom vol) → ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) ∈ dom vol)
291269, 289, 290syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(𝑘 = 𝑛, ℝ, (𝐹 “ (-∞(,)(𝑘 + (1 / (2↑𝑛)))))) ∖ (𝐹 “ (-∞(,)𝑘)))) ∈ dom vol)
292277, 291eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ∈ dom vol)
293 mblvol 24894 . . . . . 6 (((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})) = (vol*‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})))
294292, 293syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})) = (vol*‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})))
295190adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝐺𝑛) Fn ℝ)
296295, 263syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘)))
29777, 180ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ∈ ℝ)
298 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
299 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ∈ ℝ)
300297, 298, 299sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ∈ ℝ)
30139fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
30233, 300, 301syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
30332, 302eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
304303adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0))
305304eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘 ↔ if(𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽𝑥) ≤ 𝑛, (𝑛𝐽𝑥), 𝑛), 0) = 𝑘))
306305, 51sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
307306expimpd 454 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑛)‘𝑥) = 𝑘) → 𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
308296, 307sylbid 239 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) → 𝑥 ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
309308ssrdv 3950 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → ((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ⊆ (-𝑛[,]𝑛))
310 iccssre 13346 . . . . . . 7 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑛[,]𝑛) ⊆ ℝ)
311267, 266, 310syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (-𝑛[,]𝑛) ⊆ ℝ)
312 mblvol 24894 . . . . . . . 8 ((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol → (vol‘(-𝑛[,]𝑛)) = (vol*‘(-𝑛[,]𝑛)))
313269, 312syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol‘(-𝑛[,]𝑛)) = (vol*‘(-𝑛[,]𝑛)))
314 iccvolcl 24931 . . . . . . . 8 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (vol‘(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
315267, 266, 314syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol‘(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
316313, 315eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol*‘(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
317 ovolsscl 24850 . . . . . 6 ((((𝐺𝑛) “ {𝑘}) ⊆ (-𝑛[,]𝑛) ∧ (-𝑛[,]𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})) ∈ ℝ)
318309, 311, 316, 317syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol*‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})) ∈ ℝ)
319294, 318eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ran (𝐺𝑛) ∖ {0})) → (vol‘((𝐺𝑛) “ {𝑘})) ∈ ℝ)
32021, 29, 292, 319i1fd 25045 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ dom ∫1)
321320ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐺𝑛) ∈ dom ∫1)
322 ffnfv 7066 . 2 (𝐺:ℕ⟶dom ∫1 ↔ (𝐺 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐺𝑛) ∈ dom ∫1))
3235, 321, 322sylanbrc 583 1 (𝜑𝐺:ℕ⟶dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  ontowfo 6494  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cfl 13695  cexp 13967  vol*covol 24826  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  1citg1 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  25084  mbfi1fseqlem6  25085
  Copyright terms: Public domain W3C validator