MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem4 25236
Description: Lemma for mbfi1fseq 25239. This lemma is not as interesting as it is long - it is simply checking that 𝐺 is in fact a sequence of simple functions, by verifying that its range is in (0...𝑛2↑𝑛) / (2↑𝑛) (which is to say, the numbers from 0 to 𝑛 in increments of 1 / (2↑𝑛)), and also that the preimage of each point π‘˜ is measurable, because it is equal to (-𝑛[,]𝑛) ∩ (◑𝐹 β€œ (π‘˜[,)π‘˜ + 1 / (2↑𝑛))) for π‘˜ < 𝑛 and (-𝑛[,]𝑛) ∩ (◑𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) for π‘˜ = 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem4 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆdom ∫1)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘š,𝐽   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,π‘š)   𝐽(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem4
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11201 . . . . 5 ℝ ∈ V
21mptex 7225 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)) ∈ V
3 mbfi1fseq.4 . . . 4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-π‘š[,]π‘š), if((π‘šπ½π‘₯) ≀ π‘š, (π‘šπ½π‘₯), π‘š), 0)))
42, 3fnmpti 6694 . . 3 𝐺 Fn β„•
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn β„•)
6 mbfi1fseq.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfi1fseq.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
8 mbfi1fseq.3 . . . . . 6 𝐽 = (π‘š ∈ β„•, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)))
96, 7, 8, 3mbfi1fseqlem3 25235 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›):β„βŸΆran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
10 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
1110nn0red 12533 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
12 2nn 12285 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•
13 nnnn0 12479 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
14 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
1512, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
1615adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
17 nndivre 12253 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ β„•) β†’ (π‘š / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1811, 16, 17syl2anr 598 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (π‘š / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7115 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))βŸΆβ„)
2019frnd 6726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) βŠ† ℝ)
219, 20fssd 6736 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
22 fzfid 13938 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ∈ Fin)
2319ffnd 6719 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) Fn (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))))
24 dffn4 6812 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) Fn (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↔ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))–ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
2523, 24sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))–ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
26 fofi 9338 . . . . . 6 (((0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ∈ Fin ∧ (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))):(0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))–ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛)))) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) ∈ Fin)
2722, 25, 26syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) ∈ Fin)
289frnd 6726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (πΊβ€˜π‘›) βŠ† ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
2927, 28ssfid 9267 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (πΊβ€˜π‘›) ∈ Fin)
306, 7, 8, 3mbfi1fseqlem2 25234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0)))
3130fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯))
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯))
33 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
34 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝐽π‘₯) ∈ V
35 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ V
3634, 35ifex 4579 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ V
37 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
3836, 37ifex 4579 . . . . . . . . . . . . 13 if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ V
39 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4039fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4133, 38, 40sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4232, 41eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4342adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
4443eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜))
45 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) β†’ π‘˜ β‰  0)
4645ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ β‰  0)
47 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . 12 (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β‰  0 ↔ π‘˜ β‰  0))
4846, 47syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β‰  0))
49 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = 0)
5049necon1ai 2969 . . . . . . . . . . 11 (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛))
5148, 50syl6 35 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
5251pm4.71rd 564 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜)))
53 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛))
5453eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ ↔ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜))
55 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5655nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
58 rge0ssre 13433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
59 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
60 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
617, 59, 60syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)+∞))
6258, 61sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
63 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•0)
64 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
6512, 63, 64sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘š ∈ β„• β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
6766nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ ℝ)
6862, 67remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
69 reflcl 13761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
7170, 66nndivred 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
7271ralrimivva 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
738fmpo 8054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
7472, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„)
75 fovcdm 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽:(β„• Γ— ℝ)βŸΆβ„ ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
7674, 75syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
77763expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
7978adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ)
80 lemin 13171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ↔ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ∧ 𝑛 ≀ 𝑛)))
8157, 79, 57, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ↔ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ∧ 𝑛 ≀ 𝑛)))
8279, 57ifcld 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ ℝ)
8382, 57letri3d 11356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = 𝑛 ↔ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛))))
84 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘˜ = 𝑛)
8584eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = 𝑛))
86 min2 13169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛𝐽π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛)
8779, 57, 86syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛)
8887biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ↔ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛))))
8983, 85, 883bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ 𝑛 ≀ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛)))
9057leidd 11780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ 𝑛 ≀ 𝑛)
9190biantrud 533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ↔ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ∧ 𝑛 ≀ 𝑛)))
9281, 89, 913bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ 𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯)))
93 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
947adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
9594ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
96 elrege0 13431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
9795, 96sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
9897simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9998adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
10055, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
101100nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ)
10299, 101remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
103 reflcl 13761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
105100nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 < (2↑𝑛))
106 lemuldiv 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ↔ 𝑛 ≀ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
10756, 104, 101, 105, 106syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ↔ 𝑛 ≀ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
108 lemul1 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
10956, 99, 101, 105, 108syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
110 nnmulcl 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (2↑𝑛) ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„•)
11155, 15, 110syl2anc2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„•)
112111nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
113 flge 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
114102, 112, 113syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
115109, 114bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 Β· (2↑𝑛)) ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
116 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
117 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
118117fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
119 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ π‘š = 𝑛)
120119oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑𝑛))
121118, 120oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))
122121fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
123122, 120oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) Β· (2β†‘π‘š))) / (2β†‘π‘š)) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
124 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ V
125123, 8, 124ovmpoa 7563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
12655, 116, 125syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
127126breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))))
128107, 115, 1273bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯)))
12993, 128sylan9bbr 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑛 ≀ (𝑛𝐽π‘₯)))
130116adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
131 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) = ℝ)
132131adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) = ℝ)
133130, 132eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
134133biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
13592, 129, 1343bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
13628ssdifssd 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) βŠ† ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
137136sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))))
138 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) = (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛)))
139138rnmpt 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) = {π‘˜ ∣ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛))}
140139eqabri 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)))
141 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„€)
142141adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
143142zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
14415ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
145144nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
146144nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
147143, 145, 146divcan1d 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) = π‘š)
148147, 142eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
149 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) = ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)))
150149eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€ ↔ ((π‘š / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
151148, 150syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
152151rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛)))π‘˜ = (π‘š / (2↑𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
153140, 152biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛))) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€))
154153imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ran (π‘š ∈ (0...(𝑛 Β· (2↑𝑛))) ↦ (π‘š / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
155137, 154syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
156155adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€)
157 flbi 13781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
158102, 156, 157syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
159158adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
160 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) β‰  𝑛 ↔ π‘˜ β‰  𝑛))
161160biimparc 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) β‰  𝑛)
162 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Β¬ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛 β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = 𝑛)
163162necon1ai 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) β‰  𝑛 β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛)
164161, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛)
165164iftrued 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = (𝑛𝐽π‘₯))
166 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜)
167165, 166eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)
168167, 164eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
169168, 167jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ β‰  𝑛 ∧ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜))
170169ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ β†’ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
171 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛 ↔ π‘˜ ≀ 𝑛))
172171biimparc 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛)
173172iftrued 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = (𝑛𝐽π‘₯))
174 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)
175173, 174eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜)
176170, 175impbid1 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
177176adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
178 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) β†’ π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›))
179 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
180179ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
18177, 180, 86syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛)
18213ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
183182nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ 𝑛)
184 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛))
185 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) β†’ (0 ≀ 𝑛 ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛))
186184, 185ifboth 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ≀ 𝑛 ∧ 0 ≀ 𝑛) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛)
187181, 183, 186syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ≀ 𝑛)
18842, 187eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛)
189188ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛)
1909ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ)
191 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑛 ↔ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛))
192191ralrn 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)π‘˜ ≀ 𝑛 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛))
193190, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)π‘˜ ≀ 𝑛 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑛))
194189, 193mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)π‘˜ ≀ 𝑛)
195194r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ ran (πΊβ€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
196178, 195sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
197196ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ π‘˜ ≀ 𝑛)
198197biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ (π‘˜ ≀ 𝑛 ∧ (𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜)))
199126eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) = π‘˜))
200104recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) ∈ β„‚)
20128, 20sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (πΊβ€˜π‘›) βŠ† ℝ)
202201ssdifssd 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
203202sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
204203adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
205204recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
206100nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
207100nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
208200, 205, 206, 207divmul3d 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
209199, 208bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
210209adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((𝑛𝐽π‘₯) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
211177, 198, 2103bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))) = (π‘˜ Β· (2↑𝑛))))
212 ifnefalse 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
213212eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ β‰  𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
214100nnrecred 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
215204, 214readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
216215rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
217 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
218216, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
21994ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
220219ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
221 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
222220, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))))
223116, 222mpbirand 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
22499biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))))
225218, 223, 2243bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))
226 ltmul1 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛))))
22799, 215, 101, 105, 226syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < (π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛))))
228214recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (1 / (2↑𝑛)) ∈ β„‚)
229206, 207recid2d 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((1 / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛)) = 1)
230229oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + ((1 / (2↑𝑛)) Β· (2↑𝑛))) = ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))
231205, 206, 228, 230joinlmuladdmuld 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛)) = ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))
232231breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))) Β· (2↑𝑛)) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1)))
233225, 227, 2323bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1)))
234213, 233sylan9bbr 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1)))
235 lemul1 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
236204, 99, 101, 105, 235syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
237236adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛))))
238234, 237anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1) ∧ (π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)))))
239238biancomd 465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (2↑𝑛)) < ((π‘˜ Β· (2↑𝑛)) + 1))))
240159, 211, 2393bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ β‰  𝑛) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
241135, 240pm2.61dane 3030 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
242 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))
243204rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
244 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜)))
245243, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜)))
246 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜))))
247220, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜))))
248116, 247mpbirand 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)π‘˜)))
24999biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜ ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜)))
250245, 248, 2493bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜))
251250notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜))
252204, 99lenltd 11360 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘˜))
253251, 252bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ↔ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
254253anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
255242, 254bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ↔ (π‘₯ ∈ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∧ π‘˜ ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
256241, 255bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) = π‘˜ ↔ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
25754, 256sylan9bbr 512 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)) β†’ (if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜ ↔ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
258257pm5.32da 580 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))))
25944, 52, 2583bitrd 305 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))))
260259pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))))
26121adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (πΊβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
262261ffnd 6719 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ)
263 fniniseg 7062 . . . . . . . 8 ((πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜)))
264262, 263syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜)))
265 elin 3965 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ↔ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
266179ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
267266renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ -𝑛 ∈ ℝ)
268 iccmbl 25083 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol)
269267, 266, 268syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol)
270 mblss 25048 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
271269, 270syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
272271sseld 3982 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) β†’ π‘₯ ∈ ℝ))
273272adantrd 493 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ))
274273pm4.71rd 564 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))))
275265, 274bitrid 283 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛) ∧ π‘₯ ∈ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))))
276260, 264, 2753bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ π‘₯ ∈ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))))))
277276eqrdv 2731 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) = ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))))
278 rembl 25057 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ dom vol
279 fss 6735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2807, 58, 279sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
281 mbfima 25147 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol)
2826, 280, 281syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol)
283 ifcl 4574 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛))))) ∈ dom vol) β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol)
284278, 282, 283sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol)
285 mbfima 25147 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ∈ dom vol)
2866, 280, 285syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ∈ dom vol)
287 difmbl 25060 . . . . . . . 8 ((if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)) ∈ dom vol) β†’ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol)
288284, 286, 287syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol)
289288ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol)
290 inmbl 25059 . . . . . 6 (((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol ∧ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜))) ∈ dom vol) β†’ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ∈ dom vol)
291269, 289, 290syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((-𝑛[,]𝑛) ∩ (if(π‘˜ = 𝑛, ℝ, (◑𝐹 β€œ (-∞(,)(π‘˜ + (1 / (2↑𝑛)))))) βˆ– (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘˜)))) ∈ dom vol)
292277, 291eqeltrd 2834 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
293 mblvol 25047 . . . . . 6 ((β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})))
294292, 293syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})))
295190adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn ℝ)
296295, 263syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜)))
29777, 180ifcld 4575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ ℝ)
298 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
299 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ ℝ)
300297, 298, 299sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ ℝ)
30139fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
30233, 300, 301syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
30332, 302eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
304303adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0))
305304eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ if(π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛), if((𝑛𝐽π‘₯) ≀ 𝑛, (𝑛𝐽π‘₯), 𝑛), 0) = π‘˜))
306305, 51sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
307306expimpd 455 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
308296, 307sylbid 239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ (-𝑛[,]𝑛)))
309308ssrdv 3989 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) βŠ† (-𝑛[,]𝑛))
310 iccssre 13406 . . . . . . 7 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
311267, 266, 310syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ)
312 mblvol 25047 . . . . . . . 8 ((-𝑛[,]𝑛) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) = (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)))
313269, 312syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) = (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)))
314 iccvolcl 25084 . . . . . . . 8 ((-𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
315267, 266, 314syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
316313, 315eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ)
317 ovolsscl 25003 . . . . . 6 (((β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜}) βŠ† (-𝑛[,]𝑛) ∧ (-𝑛[,]𝑛) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(-𝑛[,]𝑛)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
318309, 311, 316, 317syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
319294, 318eqeltrd 2834 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran (πΊβ€˜π‘›) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(πΊβ€˜π‘›) β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
32021, 29, 292, 319i1fd 25198 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
321320ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΊβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
322 ffnfv 7118 . 2 (𝐺:β„•βŸΆdom ∫1 ↔ (𝐺 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΊβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1))
3235, 321, 322sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆdom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755  β†‘cexp 14027  vol*covol 24979  volcvol 24980  MblFncmbf 25131  βˆ«1citg1 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  25237  mbfi1fseqlem6  25238
  Copyright terms: Public domain W3C validator