Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | reex 11200 |
. . . . 5
β’ β
β V |
2 | 1 | mptex 7224 |
. . . 4
β’ (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) β V |
3 | | mbfi1fseq.4 |
. . . 4
β’ πΊ = (π β β β¦ (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0))) |
4 | 2, 3 | fnmpti 6693 |
. . 3
β’ πΊ Fn β |
5 | 4 | a1i 11 |
. 2
β’ (π β πΊ Fn β) |
6 | | mbfi1fseq.1 |
. . . . . 6
β’ (π β πΉ β MblFn) |
7 | | mbfi1fseq.2 |
. . . . . 6
β’ (π β πΉ:ββΆ(0[,)+β)) |
8 | | mbfi1fseq.3 |
. . . . . 6
β’ π½ = (π β β, π¦ β β β¦
((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ))) |
9 | 6, 7, 8, 3 | mbfi1fseqlem3 25234 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β (πΊβπ):ββΆran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ)))) |
10 | | elfznn0 13593 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (0...(π Β· (2βπ))) β π β β0) |
11 | 10 | nn0red 12532 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (0...(π Β· (2βπ))) β π β β) |
12 | | 2nn 12284 |
. . . . . . . . . 10
β’ 2 β
β |
13 | | nnnn0 12478 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β β π β
β0) |
14 | | nnexpcl 14039 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((2
β β β§ π
β β0) β (2βπ) β β) |
15 | 12, 13, 14 | sylancr 587 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β
(2βπ) β
β) |
16 | 15 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (2βπ) β
β) |
17 | | nndivre 12252 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β β β§
(2βπ) β β)
β (π / (2βπ)) β
β) |
18 | 11, 16, 17 | syl2anr 597 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0...(π Β· (2βπ)))) β (π / (2βπ)) β β) |
19 | 18 | fmpttd 7114 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))):(0...(π Β· (2βπ)))βΆβ) |
20 | 19 | frnd 6725 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β ran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))) β β) |
21 | 9, 20 | fssd 6735 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β) β (πΊβπ):ββΆβ) |
22 | | fzfid 13937 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β (0...(π Β· (2βπ))) β Fin) |
23 | 19 | ffnd 6718 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))) Fn (0...(π Β· (2βπ)))) |
24 | | dffn4 6811 |
. . . . . . 7
β’ ((π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))) Fn (0...(π Β· (2βπ))) β (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))):(0...(π Β· (2βπ)))βontoβran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ)))) |
25 | 23, 24 | sylib 217 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))):(0...(π Β· (2βπ)))βontoβran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ)))) |
26 | | fofi 9337 |
. . . . . 6
β’
(((0...(π Β·
(2βπ))) β Fin
β§ (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))):(0...(π Β· (2βπ)))βontoβran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ)))) β ran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))) β Fin) |
27 | 22, 25, 26 | syl2anc 584 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β ran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))) β Fin) |
28 | 9 | frnd 6725 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β ran (πΊβπ) β ran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ)))) |
29 | 27, 28 | ssfid 9266 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β) β ran (πΊβπ) β Fin) |
30 | 6, 7, 8, 3 | mbfi1fseqlem2 25233 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β (πΊβπ) = (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0))) |
31 | 30 | fveq1d 6893 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β ((πΊβπ)βπ₯) = ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0))βπ₯)) |
32 | 31 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β ((πΊβπ)βπ₯) = ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0))βπ₯)) |
33 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β π₯ β β) |
34 | | ovex 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (ππ½π₯) β V |
35 | | vex 3478 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ π β V |
36 | 34, 35 | ifex 4578 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β V |
37 | | c0ex 11207 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ 0 β
V |
38 | 36, 37 | ifex 4578 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β V |
39 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) = (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) |
40 | 39 | fvmpt2 7009 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π₯ β β β§ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β V) β ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0))βπ₯) = if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) |
41 | 33, 38, 40 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0))βπ₯) = if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) |
42 | 32, 41 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β ((πΊβπ)βπ₯) = if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) |
43 | 42 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((πΊβπ)βπ₯) = if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) |
44 | 43 | eqeq1d 2734 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (((πΊβπ)βπ₯) = π β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = π)) |
45 | | eldifsni 4793 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (ran (πΊβπ) β {0}) β π β 0) |
46 | 45 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β π β 0) |
47 | | neeq1 3003 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = π β (if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β 0 β π β 0)) |
48 | 46, 47 | syl5ibrcom 246 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = π β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β 0)) |
49 | | iffalse 4537 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (Β¬
π₯ β (-π[,]π) β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = 0) |
50 | 49 | necon1ai 2968 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β 0 β π₯ β (-π[,]π)) |
51 | 48, 50 | syl6 35 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = π β π₯ β (-π[,]π))) |
52 | 51 | pm4.71rd 563 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = π β (π₯ β (-π[,]π) β§ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = π))) |
53 | | iftrue 4534 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π₯ β (-π[,]π) β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π)) |
54 | 53 | eqeq1d 2734 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π₯ β (-π[,]π) β (if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = π β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π)) |
55 | | simpllr 774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β π β β) |
56 | 55 | nnred 12226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β π β β) |
57 | 56 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β π β β) |
58 | | rge0ssre 13432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
(0[,)+β) β β |
59 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β β§ π¦ β β) β π¦ β
β) |
60 | | ffvelcdm 7083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((πΉ:ββΆ(0[,)+β)
β§ π¦ β β)
β (πΉβπ¦) β
(0[,)+β)) |
61 | 7, 59, 60 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β (πΉβπ¦) β (0[,)+β)) |
62 | 58, 61 | sselid 3980 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β (πΉβπ¦) β β) |
63 | | nnnn0 12478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β β β π β
β0) |
64 | | nnexpcl 14039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((2
β β β§ π
β β0) β (2βπ) β β) |
65 | 12, 63, 64 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π β β β
(2βπ) β
β) |
66 | 65 | ad2antrl 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β (2βπ) β
β) |
67 | 66 | nnred 12226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β (2βπ) β
β) |
68 | 62, 67 | remulcld 11243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β ((πΉβπ¦) Β· (2βπ)) β β) |
69 | | reflcl 13760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((πΉβπ¦) Β· (2βπ)) β β β
(ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) β β) |
70 | 68, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β
(ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) β β) |
71 | 70, 66 | nndivred 12265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β
((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ)) β β) |
72 | 71 | ralrimivva 3200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β βπ β β βπ¦ β β ((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ)) β β) |
73 | 8 | fmpo 8053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(βπ β
β βπ¦ β
β ((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ)) β β β π½:(β Γ
β)βΆβ) |
74 | 72, 73 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π½:(β Γ
β)βΆβ) |
75 | | fovcdm 7576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π½:(β Γ
β)βΆβ β§ π β β β§ π₯ β β) β (ππ½π₯) β β) |
76 | 74, 75 | syl3an1 1163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β β§ π₯ β β) β (ππ½π₯) β β) |
77 | 76 | 3expa 1118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β (ππ½π₯) β β) |
78 | 77 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (ππ½π₯) β β) |
79 | 78 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (ππ½π₯) β β) |
80 | | lemin 13170 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β β§ (ππ½π₯) β β β§ π β β) β (π β€ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β (π β€ (ππ½π₯) β§ π β€ π))) |
81 | 57, 79, 57, 80 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (π β€ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β (π β€ (ππ½π₯) β§ π β€ π))) |
82 | 79, 57 | ifcld 4574 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β β) |
83 | 82, 57 | letri3d 11355 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β€ π β§ π β€ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π)))) |
84 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β π = π) |
85 | 84 | eqeq2d 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π)) |
86 | | min2 13168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((ππ½π₯) β β β§ π β β) β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β€ π) |
87 | 79, 57, 86 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β€ π) |
88 | 87 | biantrurd 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (π β€ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β€ π β§ π β€ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π)))) |
89 | 83, 85, 88 | 3bitr4d 310 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β π β€ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π))) |
90 | 57 | leidd 11779 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β π β€ π) |
91 | 90 | biantrud 532 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (π β€ (ππ½π₯) β (π β€ (ππ½π₯) β§ π β€ π))) |
92 | 81, 89, 91 | 3bitr4d 310 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β π β€ (ππ½π₯))) |
93 | | breq1 5151 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π β (π β€ (πΉβπ₯) β π β€ (πΉβπ₯))) |
94 | 7 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β πΉ:ββΆ(0[,)+β)) |
95 | 94 | ffvelcdmda 7086 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β (πΉβπ₯) β (0[,)+β)) |
96 | | elrege0 13430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((πΉβπ₯) β (0[,)+β) β ((πΉβπ₯) β β β§ 0 β€ (πΉβπ₯))) |
97 | 95, 96 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) β β β§ 0 β€ (πΉβπ₯))) |
98 | 97 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β (πΉβπ₯) β β) |
99 | 98 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (πΉβπ₯) β β) |
100 | 55, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (2βπ) β
β) |
101 | 100 | nnred 12226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (2βπ) β
β) |
102 | 99, 101 | remulcld 11243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) β β) |
103 | | reflcl 13760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) β β β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) β β) |
104 | 102, 103 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) β β) |
105 | 100 | nngt0d 12260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β 0 < (2βπ)) |
106 | | lemuldiv 12093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β β§
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) β β β§ ((2βπ) β β β§ 0 <
(2βπ))) β ((π Β· (2βπ)) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) β π β€ ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) / (2βπ)))) |
107 | 56, 104, 101, 105, 106 | syl112anc 1374 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((π Β· (2βπ)) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) β π β€ ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) / (2βπ)))) |
108 | | lemul1 12065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ (πΉβπ₯) β β β§ ((2βπ) β β β§ 0 <
(2βπ))) β (π β€ (πΉβπ₯) β (π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)))) |
109 | 56, 99, 101, 105, 108 | syl112anc 1374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π β€ (πΉβπ₯) β (π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)))) |
110 | | nnmulcl 12235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§
(2βπ) β β)
β (π Β·
(2βπ)) β
β) |
111 | 55, 15, 110 | syl2anc2 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π Β· (2βπ)) β β) |
112 | 111 | nnzd 12584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π Β· (2βπ)) β β€) |
113 | | flge 13769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) β β β§ (π Β· (2βπ)) β β€) β ((π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) β (π Β· (2βπ)) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))))) |
114 | 102, 112,
113 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) β (π Β· (2βπ)) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))))) |
115 | 109, 114 | bitrd 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π β€ (πΉβπ₯) β (π Β· (2βπ)) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))))) |
116 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β π₯ β β) |
117 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π = π β§ π¦ = π₯) β π¦ = π₯) |
118 | 117 | fveq2d 6895 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π = π β§ π¦ = π₯) β (πΉβπ¦) = (πΉβπ₯)) |
119 | | simpl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π = π β§ π¦ = π₯) β π = π) |
120 | 119 | oveq2d 7424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π = π β§ π¦ = π₯) β (2βπ) = (2βπ)) |
121 | 118, 120 | oveq12d 7426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π = π β§ π¦ = π₯) β ((πΉβπ¦) Β· (2βπ)) = ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) |
122 | 121 | fveq2d 6895 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π = π β§ π¦ = π₯) β (ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) = (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)))) |
123 | 122, 120 | oveq12d 7426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π = π β§ π¦ = π₯) β ((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ)) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) / (2βπ))) |
124 | | ovex 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) / (2βπ)) β V |
125 | 123, 8, 124 | ovmpoa 7562 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ π₯ β β) β (ππ½π₯) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) / (2βπ))) |
126 | 55, 116, 125 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (ππ½π₯) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) / (2βπ))) |
127 | 126 | breq2d 5160 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π β€ (ππ½π₯) β π β€ ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) / (2βπ)))) |
128 | 107, 115,
127 | 3bitr4d 310 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π β€ (πΉβπ₯) β π β€ (ππ½π₯))) |
129 | 93, 128 | sylan9bbr 511 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (π β€ (πΉβπ₯) β π β€ (ππ½π₯))) |
130 | 116 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β π₯ β β) |
131 | | iftrue 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = π β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) = β) |
132 | 131 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) = β) |
133 | 130, 132 | eleqtrrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))))) |
134 | 133 | biantrurd 533 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (π β€ (πΉβπ₯) β (π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β§ π β€ (πΉβπ₯)))) |
135 | 92, 129, 134 | 3bitr2d 306 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π = π) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β (π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β§ π β€ (πΉβπ₯)))) |
136 | 28 | ssdifssd 4142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β) β (ran (πΊβπ) β {0}) β ran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ)))) |
137 | 136 | sselda 3982 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β π β ran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ)))) |
138 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))) = (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))) |
139 | 138 | rnmpt 5954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ran
(π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))) = {π β£ βπ β (0...(π Β· (2βπ)))π = (π / (2βπ))} |
140 | 139 | eqabri 2877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β ran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))) β βπ β (0...(π Β· (2βπ)))π = (π / (2βπ))) |
141 | | elfzelz 13500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π β (0...(π Β· (2βπ))) β π β β€) |
142 | 141 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0...(π Β· (2βπ)))) β π β β€) |
143 | 142 | zcnd 12666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0...(π Β· (2βπ)))) β π β β) |
144 | 15 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0...(π Β· (2βπ)))) β (2βπ) β β) |
145 | 144 | nncnd 12227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0...(π Β· (2βπ)))) β (2βπ) β β) |
146 | 144 | nnne0d 12261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0...(π Β· (2βπ)))) β (2βπ) β 0) |
147 | 143, 145,
146 | divcan1d 11990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0...(π Β· (2βπ)))) β ((π / (2βπ)) Β· (2βπ)) = π) |
148 | 147, 142 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0...(π Β· (2βπ)))) β ((π / (2βπ)) Β· (2βπ)) β β€) |
149 | | oveq1 7415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = (π / (2βπ)) β (π Β· (2βπ)) = ((π / (2βπ)) Β· (2βπ))) |
150 | 149 | eleq1d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = (π / (2βπ)) β ((π Β· (2βπ)) β β€ β ((π / (2βπ)) Β· (2βπ)) β β€)) |
151 | 148, 150 | syl5ibrcom 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0...(π Β· (2βπ)))) β (π = (π / (2βπ)) β (π Β· (2βπ)) β β€)) |
152 | 151 | rexlimdva 3155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β β) β (βπ β (0...(π Β· (2βπ)))π = (π / (2βπ)) β (π Β· (2βπ)) β β€)) |
153 | 140, 152 | biimtrid 241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β) β (π β ran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ))) β (π Β· (2βπ)) β β€)) |
154 | 153 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β) β§ π β ran (π β (0...(π Β· (2βπ))) β¦ (π / (2βπ)))) β (π Β· (2βπ)) β β€) |
155 | 137, 154 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (π Β· (2βπ)) β β€) |
156 | 155 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π Β· (2βπ)) β β€) |
157 | | flbi 13780 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) β β β§ (π Β· (2βπ)) β β€) β
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) = (π Β· (2βπ)) β ((π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) β§ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π Β· (2βπ)) + 1)))) |
158 | 102, 156,
157 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) = (π Β· (2βπ)) β ((π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) β§ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π Β· (2βπ)) + 1)))) |
159 | 158 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) = (π Β· (2βπ)) β ((π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) β§ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π Β· (2βπ)) + 1)))) |
160 | | neeq1 3003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β π β π β π)) |
161 | 160 | biimparc 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β π β§ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π) β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β π) |
162 | | iffalse 4537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (Β¬
(ππ½π₯) β€ π β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π) |
163 | 162 | necon1ai 2968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β π β (ππ½π₯) β€ π) |
164 | 161, 163 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β π β§ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π) β (ππ½π₯) β€ π) |
165 | 164 | iftrued 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β π β§ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π) β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = (ππ½π₯)) |
166 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β π β§ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π) β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π) |
167 | 165, 166 | eqtr3d 2774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β π β§ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π) β (ππ½π₯) = π) |
168 | 167, 164 | eqbrtrrd 5172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β π β§ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π) β π β€ π) |
169 | 168, 167 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β π β§ if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π) β (π β€ π β§ (ππ½π₯) = π)) |
170 | 169 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β (π β€ π β§ (ππ½π₯) = π))) |
171 | | breq1 5151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((ππ½π₯) = π β ((ππ½π₯) β€ π β π β€ π)) |
172 | 171 | biimparc 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β€ π β§ (ππ½π₯) = π) β (ππ½π₯) β€ π) |
173 | 172 | iftrued 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β€ π β§ (ππ½π₯) = π) β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = (ππ½π₯)) |
174 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β€ π β§ (ππ½π₯) = π) β (ππ½π₯) = π) |
175 | 173, 174 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β€ π β§ (ππ½π₯) = π) β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π) |
176 | 170, 175 | impbid1 224 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β π β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β (π β€ π β§ (ππ½π₯) = π))) |
177 | 176 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β (π β€ π β§ (ππ½π₯) = π))) |
178 | | eldifi 4126 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (ran (πΊβπ) β {0}) β π β ran (πΊβπ)) |
179 | | nnre 12218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β β β π β
β) |
180 | 179 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β π β β) |
181 | 77, 180, 86 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β€ π) |
182 | 13 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β π β β0) |
183 | 182 | nn0ge0d 12534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ π) |
184 | | breq1 5151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β€ π β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β€ π)) |
185 | | breq1 5151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (0 =
if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β (0 β€ π β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β€ π)) |
186 | 184, 185 | ifboth 4567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β€ π β§ 0 β€ π) β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β€ π) |
187 | 181, 183,
186 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β€ π) |
188 | 42, 187 | eqbrtrd 5170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β ((πΊβπ)βπ₯) β€ π) |
189 | 188 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β β) β βπ₯ β β ((πΊβπ)βπ₯) β€ π) |
190 | 9 | ffnd 6718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β β) β (πΊβπ) Fn β) |
191 | | breq1 5151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = ((πΊβπ)βπ₯) β (π β€ π β ((πΊβπ)βπ₯) β€ π)) |
192 | 191 | ralrn 7089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((πΊβπ) Fn β β (βπ β ran (πΊβπ)π β€ π β βπ₯ β β ((πΊβπ)βπ₯) β€ π)) |
193 | 190, 192 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β β) β (βπ β ran (πΊβπ)π β€ π β βπ₯ β β ((πΊβπ)βπ₯) β€ π)) |
194 | 189, 193 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β) β βπ β ran (πΊβπ)π β€ π) |
195 | 194 | r19.21bi 3248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β) β§ π β ran (πΊβπ)) β π β€ π) |
196 | 178, 195 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β π β€ π) |
197 | 196 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β π β€ π) |
198 | 197 | biantrurd 533 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β ((ππ½π₯) = π β (π β€ π β§ (ππ½π₯) = π))) |
199 | 126 | eqeq1d 2734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((ππ½π₯) = π β ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) / (2βπ)) = π)) |
200 | 104 | recnd 11241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) β β) |
201 | 28, 20 | sstrd 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β β) β ran (πΊβπ) β β) |
202 | 201 | ssdifssd 4142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β β) β (ran (πΊβπ) β {0}) β
β) |
203 | 202 | sselda 3982 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β π β β) |
204 | 203 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β π β β) |
205 | 204 | recnd 11241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β π β β) |
206 | 100 | nncnd 12227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (2βπ) β
β) |
207 | 100 | nnne0d 12261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (2βπ) β 0) |
208 | 200, 205,
206, 207 | divmul3d 12023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β
(((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) / (2βπ)) = π β (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) = (π Β· (2βπ)))) |
209 | 199, 208 | bitrd 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((ππ½π₯) = π β (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) = (π Β· (2βπ)))) |
210 | 209 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β ((ππ½π₯) = π β (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) = (π Β· (2βπ)))) |
211 | 177, 198,
210 | 3bitr2d 306 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))) = (π Β· (2βπ)))) |
212 | | ifnefalse 4540 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) = (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) |
213 | 212 | eleq2d 2819 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π β (π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))))) |
214 | 100 | nnrecred 12262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (1 / (2βπ)) β
β) |
215 | 204, 214 | readdcld 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π + (1 / (2βπ))) β β) |
216 | 215 | rexrd 11263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π + (1 / (2βπ))) β
β*) |
217 | | elioomnf 13420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π + (1 / (2βπ))) β β*
β ((πΉβπ₯) β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))) β ((πΉβπ₯) β β β§ (πΉβπ₯) < (π + (1 / (2βπ)))))) |
218 | 216, 217 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))) β ((πΉβπ₯) β β β§ (πΉβπ₯) < (π + (1 / (2βπ)))))) |
219 | 94 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β πΉ:ββΆ(0[,)+β)) |
220 | 219 | ffnd 6718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β πΉ Fn β) |
221 | | elpreima 7059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (πΉ Fn β β (π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))) β (π₯ β β β§ (πΉβπ₯) β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))))) |
222 | 220, 221 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))) β (π₯ β β β§ (πΉβπ₯) β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))))) |
223 | 116, 222 | mpbirand 705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))) β (πΉβπ₯) β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) |
224 | 99 | biantrurd 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) < (π + (1 / (2βπ))) β ((πΉβπ₯) β β β§ (πΉβπ₯) < (π + (1 / (2βπ)))))) |
225 | 218, 223,
224 | 3bitr4d 310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))) β (πΉβπ₯) < (π + (1 / (2βπ))))) |
226 | | ltmul1 12063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((πΉβπ₯) β β β§ (π + (1 / (2βπ))) β β β§ ((2βπ) β β β§ 0 <
(2βπ))) β ((πΉβπ₯) < (π + (1 / (2βπ))) β ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π + (1 / (2βπ))) Β· (2βπ)))) |
227 | 99, 215, 101, 105, 226 | syl112anc 1374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) < (π + (1 / (2βπ))) β ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π + (1 / (2βπ))) Β· (2βπ)))) |
228 | 214 | recnd 11241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (1 / (2βπ)) β
β) |
229 | 206, 207 | recid2d 11985 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((1 / (2βπ)) Β· (2βπ)) = 1) |
230 | 229 | oveq2d 7424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((π Β· (2βπ)) + ((1 / (2βπ)) Β· (2βπ))) = ((π Β· (2βπ)) + 1)) |
231 | 205, 206,
228, 230 | joinlmuladdmuld 11240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((π + (1 / (2βπ))) Β· (2βπ)) = ((π Β· (2βπ)) + 1)) |
232 | 231 | breq2d 5160 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π + (1 / (2βπ))) Β· (2βπ)) β ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π Β· (2βπ)) + 1))) |
233 | 225, 227,
232 | 3bitrd 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))) β ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π Β· (2βπ)) + 1))) |
234 | 213, 233 | sylan9bbr 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β (π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π Β· (2βπ)) + 1))) |
235 | | lemul1 12065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ (πΉβπ₯) β β β§ ((2βπ) β β β§ 0 <
(2βπ))) β (π β€ (πΉβπ₯) β (π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)))) |
236 | 204, 99, 101, 105, 235 | syl112anc 1374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π β€ (πΉβπ₯) β (π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)))) |
237 | 236 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β (π β€ (πΉβπ₯) β (π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)))) |
238 | 234, 237 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β ((π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β§ π β€ (πΉβπ₯)) β (((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π Β· (2βπ)) + 1) β§ (π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ))))) |
239 | 238 | biancomd 464 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β ((π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β§ π β€ (πΉβπ₯)) β ((π Β· (2βπ)) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) β§ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ)) < ((π Β· (2βπ)) + 1)))) |
240 | 159, 211,
239 | 3bitr4d 310 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π β π) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β (π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β§ π β€ (πΉβπ₯)))) |
241 | 135, 240 | pm2.61dane 3029 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β (π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β§ π β€ (πΉβπ₯)))) |
242 | | eldif 3958 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))) β (π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β§ Β¬ π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)π)))) |
243 | 204 | rexrd 11263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β π β β*) |
244 | | elioomnf 13420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β*
β ((πΉβπ₯) β (-β(,)π) β ((πΉβπ₯) β β β§ (πΉβπ₯) < π))) |
245 | 243, 244 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) β (-β(,)π) β ((πΉβπ₯) β β β§ (πΉβπ₯) < π))) |
246 | | elpreima 7059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (πΉ Fn β β (π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)π)) β (π₯ β β β§ (πΉβπ₯) β (-β(,)π)))) |
247 | 220, 246 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)π)) β (π₯ β β β§ (πΉβπ₯) β (-β(,)π)))) |
248 | 116, 247 | mpbirand 705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)π)) β (πΉβπ₯) β (-β(,)π))) |
249 | 99 | biantrurd 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) < π β ((πΉβπ₯) β β β§ (πΉβπ₯) < π))) |
250 | 245, 248,
249 | 3bitr4d 310 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)π)) β (πΉβπ₯) < π)) |
251 | 250 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (Β¬ π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)π)) β Β¬ (πΉβπ₯) < π)) |
252 | 204, 99 | lenltd 11359 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π β€ (πΉβπ₯) β Β¬ (πΉβπ₯) < π)) |
253 | 251, 252 | bitr4d 281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (Β¬ π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)π)) β π β€ (πΉβπ₯))) |
254 | 253 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β§ Β¬ π₯ β (β‘πΉ β (-β(,)π))) β (π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β§ π β€ (πΉβπ₯)))) |
255 | 242, 254 | bitrid 282 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))) β (π₯ β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β§ π β€ (πΉβπ₯)))) |
256 | 241, 255 | bitr4d 281 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) = π β π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))))) |
257 | 54, 256 | sylan9bbr 511 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β§ π₯ β (-π[,]π)) β (if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = π β π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))))) |
258 | 257 | pm5.32da 579 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((π₯ β (-π[,]π) β§ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = π) β (π₯ β (-π[,]π) β§ π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π)))))) |
259 | 44, 52, 258 | 3bitrd 304 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (((πΊβπ)βπ₯) = π β (π₯ β (-π[,]π) β§ π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π)))))) |
260 | 259 | pm5.32da 579 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β ((π₯ β β β§ ((πΊβπ)βπ₯) = π) β (π₯ β β β§ (π₯ β (-π[,]π) β§ π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))))))) |
261 | 21 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (πΊβπ):ββΆβ) |
262 | 261 | ffnd 6718 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (πΊβπ) Fn β) |
263 | | fniniseg 7061 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΊβπ) Fn β β (π₯ β (β‘(πΊβπ) β {π}) β (π₯ β β β§ ((πΊβπ)βπ₯) = π))) |
264 | 262, 263 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (π₯ β (β‘(πΊβπ) β {π}) β (π₯ β β β§ ((πΊβπ)βπ₯) = π))) |
265 | | elin 3964 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ β ((-π[,]π) β© (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π)))) β (π₯ β (-π[,]π) β§ π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))))) |
266 | 179 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β π β β) |
267 | 266 | renegcld 11640 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β -π β β) |
268 | | iccmbl 25082 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((-π β β β§ π β β) β (-π[,]π) β dom vol) |
269 | 267, 266,
268 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (-π[,]π) β dom vol) |
270 | | mblss 25047 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((-π[,]π) β dom vol β (-π[,]π) β β) |
271 | 269, 270 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (-π[,]π) β β) |
272 | 271 | sseld 3981 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (π₯ β (-π[,]π) β π₯ β β)) |
273 | 272 | adantrd 492 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β ((π₯ β (-π[,]π) β§ π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π)))) β π₯ β β)) |
274 | 273 | pm4.71rd 563 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β ((π₯ β (-π[,]π) β§ π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π)))) β (π₯ β β β§ (π₯ β (-π[,]π) β§ π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))))))) |
275 | 265, 274 | bitrid 282 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (π₯ β ((-π[,]π) β© (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π)))) β (π₯ β β β§ (π₯ β (-π[,]π) β§ π₯ β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))))))) |
276 | 260, 264,
275 | 3bitr4d 310 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (π₯ β (β‘(πΊβπ) β {π}) β π₯ β ((-π[,]π) β© (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π)))))) |
277 | 276 | eqrdv 2730 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (β‘(πΊβπ) β {π}) = ((-π[,]π) β© (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))))) |
278 | | rembl 25056 |
. . . . . . . . 9
β’ β
β dom vol |
279 | | fss 6734 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉ:ββΆ(0[,)+β)
β§ (0[,)+β) β β) β πΉ:ββΆβ) |
280 | 7, 58, 279 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΉ:ββΆβ) |
281 | | mbfima 25146 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΉ β MblFn β§ πΉ:ββΆβ) β
(β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))) β dom vol) |
282 | 6, 280, 281 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))) β dom vol) |
283 | | ifcl 4573 |
. . . . . . . . 9
β’ ((β
β dom vol β§ (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ))))) β dom vol) β
if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β dom vol) |
284 | 278, 282,
283 | sylancr 587 |
. . . . . . . 8
β’ (π β if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β dom vol) |
285 | | mbfima 25146 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΉ β MblFn β§ πΉ:ββΆβ) β
(β‘πΉ β (-β(,)π)) β dom vol) |
286 | 6, 280, 285 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (β‘πΉ β (-β(,)π)) β dom vol) |
287 | | difmbl 25059 |
. . . . . . . 8
β’
((if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β dom vol β§ (β‘πΉ β (-β(,)π)) β dom vol) β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))) β dom vol) |
288 | 284, 286,
287 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
β’ (π β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))) β dom vol) |
289 | 288 | ad2antrr 724 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))) β dom vol) |
290 | | inmbl 25058 |
. . . . . 6
β’ (((-π[,]π) β dom vol β§ (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π))) β dom vol) β ((-π[,]π) β© (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π)))) β dom vol) |
291 | 269, 289,
290 | syl2anc 584 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β ((-π[,]π) β© (if(π = π, β, (β‘πΉ β (-β(,)(π + (1 / (2βπ)))))) β (β‘πΉ β (-β(,)π)))) β dom vol) |
292 | 277, 291 | eqeltrd 2833 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (β‘(πΊβπ) β {π}) β dom vol) |
293 | | mblvol 25046 |
. . . . . 6
β’ ((β‘(πΊβπ) β {π}) β dom vol β (volβ(β‘(πΊβπ) β {π})) = (vol*β(β‘(πΊβπ) β {π}))) |
294 | 292, 293 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (volβ(β‘(πΊβπ) β {π})) = (vol*β(β‘(πΊβπ) β {π}))) |
295 | 190 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (πΊβπ) Fn β) |
296 | 295, 263 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (π₯ β (β‘(πΊβπ) β {π}) β (π₯ β β β§ ((πΊβπ)βπ₯) = π))) |
297 | 77, 180 | ifcld 4574 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β β) |
298 | | 0re 11215 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ 0 β
β |
299 | | ifcl 4573 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π) β β β§ 0 β β)
β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β β) |
300 | 297, 298,
299 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β β) |
301 | 39 | fvmpt2 7009 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π₯ β β β§ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) β β) β ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0))βπ₯) = if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) |
302 | 33, 300, 301 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0))βπ₯) = if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) |
303 | 32, 302 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ π₯ β β) β ((πΊβπ)βπ₯) = if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) |
304 | 303 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β ((πΊβπ)βπ₯) = if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0)) |
305 | 304 | eqeq1d 2734 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (((πΊβπ)βπ₯) = π β if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0) = π)) |
306 | 305, 51 | sylbid 239 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β§ π₯ β β) β (((πΊβπ)βπ₯) = π β π₯ β (-π[,]π))) |
307 | 306 | expimpd 454 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β ((π₯ β β β§ ((πΊβπ)βπ₯) = π) β π₯ β (-π[,]π))) |
308 | 296, 307 | sylbid 239 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (π₯ β (β‘(πΊβπ) β {π}) β π₯ β (-π[,]π))) |
309 | 308 | ssrdv 3988 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (β‘(πΊβπ) β {π}) β (-π[,]π)) |
310 | | iccssre 13405 |
. . . . . . 7
β’ ((-π β β β§ π β β) β (-π[,]π) β β) |
311 | 267, 266,
310 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (-π[,]π) β β) |
312 | | mblvol 25046 |
. . . . . . . 8
β’ ((-π[,]π) β dom vol β (volβ(-π[,]π)) = (vol*β(-π[,]π))) |
313 | 269, 312 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (volβ(-π[,]π)) = (vol*β(-π[,]π))) |
314 | | iccvolcl 25083 |
. . . . . . . 8
β’ ((-π β β β§ π β β) β
(volβ(-π[,]π)) β
β) |
315 | 267, 266,
314 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (volβ(-π[,]π)) β β) |
316 | 313, 315 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (vol*β(-π[,]π)) β β) |
317 | | ovolsscl 25002 |
. . . . . 6
β’ (((β‘(πΊβπ) β {π}) β (-π[,]π) β§ (-π[,]π) β β β§ (vol*β(-π[,]π)) β β) β (vol*β(β‘(πΊβπ) β {π})) β β) |
318 | 309, 311,
316, 317 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (vol*β(β‘(πΊβπ) β {π})) β β) |
319 | 294, 318 | eqeltrd 2833 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (ran (πΊβπ) β {0})) β (volβ(β‘(πΊβπ) β {π})) β β) |
320 | 21, 29, 292, 319 | i1fd 25197 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β) β (πΊβπ) β dom
β«1) |
321 | 320 | ralrimiva 3146 |
. 2
β’ (π β βπ β β (πΊβπ) β dom
β«1) |
322 | | ffnfv 7117 |
. 2
β’ (πΊ:ββΆdom
β«1 β (πΊ
Fn β β§ βπ
β β (πΊβπ) β dom
β«1)) |
323 | 5, 321, 322 | sylanbrc 583 |
1
β’ (π β πΊ:ββΆdom
β«1) |