MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem8 27962
Description: Lemma for axcont 27967. A point in 𝐷 is between two others if its function value falls in the middle. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem8.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ (π‘ˆ Btwn βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∨ 𝑝 Btwn βŸ¨π‘, π‘ˆβŸ©)}
axcontlem8.2 𝐹 = {⟨π‘₯, π‘‘βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ (𝑑 ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)) β†’ 𝑄 Btwn βŸ¨π‘ƒ, π‘…βŸ©))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑝,𝑑,π‘₯   𝐹,𝑝,𝑖,𝑑   π‘₯,𝑖,𝑁,𝑝,𝑑   𝑃,𝑖,𝑝,𝑑,π‘₯   𝑄,𝑖,𝑝,𝑑,π‘₯   𝑅,𝑖,𝑝,𝑑,π‘₯   π‘ˆ,𝑖,𝑝,𝑑,π‘₯   𝑖,𝑍,𝑝,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem axcontlem8
StepHypRef Expression
1 axcontlem8.1 . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑝 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ (π‘ˆ Btwn βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∨ 𝑝 Btwn βŸ¨π‘, π‘ˆβŸ©)}
2 axcontlem8.2 . . . . . . . . 9 𝐹 = {⟨π‘₯, π‘‘βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ (𝑑 ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))}
31, 2axcontlem6 27960 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
43ex 414 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) β†’ (𝑃 ∈ 𝐷 β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
51, 2axcontlem6 27960 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
65ex 414 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) β†’ (𝑄 ∈ 𝐷 β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
71, 2axcontlem6 27960 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
87ex 414 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) β†’ (𝑅 ∈ 𝐷 β†’ ((πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
94, 6, 83anim123d 1444 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) β†’ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ∧ ((πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
109imp 408 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ∧ ((πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
1110adantr 482 . . . 4 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ∧ ((πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
12 3an6 1447 . . . . 5 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ∧ ((πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) ↔ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
13 0elunit 13392 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]1)
14 simplr1 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞))
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞))
16 elrege0 13377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
1716simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
1918recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚)
20 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„))
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„))
22 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))
23 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…))
2422, 23breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘ƒ))
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘ƒ))
26 simplr2 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞))
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞))
28 elrege0 13377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘„)))
2928simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ ℝ)
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ ℝ)
3118, 30letri3d 11302 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘„) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
3221, 25, 31mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘„))
33 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…))
34 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) β†’ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
37 fveecn 27893 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚)
3836, 37sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚)
39 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) β†’ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘))
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘))
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘))
42 fveecn 27893 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
4341, 42sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
44 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ β„‚
45 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚)
46 subcl 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
4744, 45, 46sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
48 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚)
4947, 48mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
50 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) ∈ β„‚)
5150adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) ∈ β„‚)
5249, 51addcld 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∈ β„‚)
5352mulid2d 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))
5452mul02d 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) = 0)
5553, 54oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) = ((((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) + 0))
5652addid1d 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) + 0) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))
5755, 56eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
58573adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
59 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘„) β†’ (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)))
6059oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘„) β†’ ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)))
61 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘„) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) = ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))
6260, 61oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘„) β†’ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))
63 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) β†’ (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))
6463oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) β†’ ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)))
65 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) = ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))
6664, 65oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) β†’ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))
6766oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) β†’ (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) = (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
6867oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) β†’ ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
6962, 68eqeqan12d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…)) β†’ ((((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) ↔ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
70693ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) ↔ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
7158, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
7219, 32, 33, 38, 43, 71syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
7372ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
74 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 0 β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = (1 βˆ’ 0))
75 1m0e1 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 βˆ’ 0) = 1
7674, 75eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 0 β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = 1)
7776oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 0 β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) = (1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
78 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 0 β†’ (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) = (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
7977, 78oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 0 β†’ (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
8079eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 0 β†’ ((((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) ↔ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
8180ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 0 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
8281rspcev 3580 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((1 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (0 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
8313, 73, 82sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
8483ex 414 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘…) β†’ (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
8526adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞))
8685, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ ℝ)
87 simplr3 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))
8887adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))
89 elrege0 13377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘…) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘…)))
9089simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘…) ∈ ℝ)
9188, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) ∈ ℝ)
9214adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞))
9392, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
94 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))
9586, 91, 93, 94lesub1dd 11776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
9686, 93resubcld 11588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
97 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„))
9886, 93subge0d 11750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„)))
9997, 98mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
10091, 93resubcld 11588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
10193, 86, 91, 97, 94letrd 11317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘…))
102 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…))
103102necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘…) β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
10493, 91, 101, 103leneltd 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) < (πΉβ€˜π‘…))
10593, 91posdifd 11747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) < (πΉβ€˜π‘…) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
106104, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
107 divelunit 13417 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ (0[,]1) ↔ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
10896, 99, 100, 106, 107syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ (0[,]1) ↔ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ≀ ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
10995, 108mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ (0[,]1))
11014ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞))
11117recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚)
113 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…))
11426ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞))
11529recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
11787ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))
11890recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚)
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚)
12034ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
121120, 37sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚)
12239ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘))
123122, 42sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
124 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚)
125 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚)
126124, 125subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ β„‚)
127 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚)
12844, 127, 46sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
129126, 128mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
130125, 127subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
131 subcl 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) ∈ β„‚)
13244, 124, 131sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) ∈ β„‚)
133130, 132mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) ∈ β„‚)
134124, 127subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
135 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…))
136135necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘…) β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
137124, 127, 136subne0d 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  0)
138129, 133, 134, 137divdird 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
139134mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· 1) = ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
140134, 125mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘„)) = ((πΉβ€˜π‘„) Β· ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
141125, 124, 127subdid 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))))
142140, 141eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘„)) = (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))))
143139, 142oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘„))) = (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
144 subdi 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘„))))
14544, 144mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘„))))
146134, 125, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘„))))
147 subdi 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))))
14844, 147mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))))
149126, 127, 148syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))))
150126mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· 1) = ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)))
151124, 125, 127subdird 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (((πΉβ€˜π‘…) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))))
152124, 127mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘…) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)))
153152oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))))
154151, 153eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))))
155150, 154oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
156149, 155eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
157 subdi 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) = ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…))))
15844, 157mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) = ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…))))
159130, 124, 158syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) = ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…))))
160130mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· 1) = ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
161125, 127, 124subdird 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…)) = (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…))))
162160, 161oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· 1) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…))) = (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)))))
163159, 162eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) = (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)))))
164156, 163oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)))) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…))))))
165127, 124mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) ∈ β„‚)
166125, 127mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
167165, 166subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
168 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) ∈ β„‚)
1691683ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) ∈ β„‚)
170169, 165subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…))) ∈ β„‚)
171126, 130, 167, 170addsub4d 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) + ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…))))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)))) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…))))))
172124, 125, 127npncand 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) + ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
173165, 166, 169npncan3d 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)))) = (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))))
174172, 173oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) + ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) βˆ’ ((((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…))))) = (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
175164, 171, 1743eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) = (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
176143, 146, 1753eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))))
177129, 133addcld 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) ∈ β„‚)
178 subcl 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ β„‚)
17944, 125, 178sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ β„‚)
180177, 134, 179, 137divmuld 11958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) ↔ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))))))
181176, 180mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)))
182126, 128, 134, 137div23d 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
183134, 130, 134, 137divsubdird 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
184124, 125, 127nnncan2d 11552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)))
185184oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
186134, 137dividd 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = 1)
187186oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) = (1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
188183, 185, 1873eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
189188oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
190182, 189eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
191130, 132, 134, 137div23d 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))))
192190, 191oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))))
193138, 181, 1923eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))))
194193oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) = ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) Β· (π‘β€˜π‘–)))
195126, 127mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
196130, 124mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…)) ∈ β„‚)
197195, 196, 134, 137divdird 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
198154, 161oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…))) = ((((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ))) + (((πΉβ€˜π‘„) Β· (πΉβ€˜π‘…)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (πΉβ€˜π‘…)))))
199173, 198, 1423eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘„)) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…))))
200195, 196addcld 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…))) ∈ β„‚)
201200, 134, 125, 137divmuld 11958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (πΉβ€˜π‘„) ↔ (((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘„)) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…)))))
202199, 201mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…))) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = (πΉβ€˜π‘„))
203126, 127, 134, 137div23d 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)))
204188oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) = ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)))
205203, 204eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)))
206130, 124, 134, 137div23d 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…)))
207205, 206oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (πΉβ€˜π‘…)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…))))
208197, 202, 2073eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…))))
209208oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) = ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…))) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))
210194, 209oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…))) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))
211130, 134, 137divcld 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
212 subcl 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ β„‚ ∧ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∈ β„‚)
21344, 211, 212sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) ∈ β„‚)
214 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚)
215128, 214mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
216213, 215mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–))) ∈ β„‚)
217132, 214mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
218211, 217mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–))) ∈ β„‚)
219 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
220127, 219mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) ∈ β„‚)
221213, 220mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∈ β„‚)
222124, 219mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) ∈ β„‚)
223211, 222mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∈ β„‚)
224216, 218, 221, 223add4d 11388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)))) + (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) = ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–))) + ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
225213, 128mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
226211, 132mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) ∈ β„‚)
227213, 128, 214mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (π‘β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–))))
228211, 132, 214mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) Β· (π‘β€˜π‘–)) = ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–))))
229227, 228oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…))) Β· (π‘β€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)))))
230225, 214, 226, 229joinlmuladdmuld 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) Β· (π‘β€˜π‘–)) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)))))
231213, 127mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
232211, 124mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…)) ∈ β„‚)
233213, 127, 219mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))
234211, 124, 219mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) = ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))
235233, 234oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) + (((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
236231, 219, 232, 235joinlmuladdmuld 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…))) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
237230, 236oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…))) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)))) + (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
238213, 215, 220adddid 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–))) + ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
239211, 217, 222adddid 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) = (((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
240238, 239oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) = ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–))) + ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
241224, 237, 2403eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) = (((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)))) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (πΉβ€˜π‘ƒ)) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (πΉβ€˜π‘…))) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))
242210, 241eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…)) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ β„‚) ∧ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ β„‚)) β†’ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
243112, 113, 116, 119, 121, 123, 242syl222anc 1387 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
244243ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
245 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = (1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))))
246245oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) = ((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
247 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) = ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
248246, 247oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
249248eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) ↔ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
250249ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
251250rspcev 3580 . . . . . . . . . . . 12 (((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ (0[,]1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + ((((πΉβ€˜π‘„) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) / ((πΉβ€˜π‘…) βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ))) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
252109, 244, 251syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) ∧ ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
253252ex 414 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘…) β†’ (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
25484, 253pm2.61ine 3025 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
255 r19.26-3 3112 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)((π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
256 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))
257 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
258 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) β†’ (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)) = (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))
259257, 258oveqan12d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
2602593adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))))
261256, 260eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–))) ↔ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
262261ralimi 3083 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)((π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)((π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–))) ↔ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
263 ralbi 3103 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)((π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–))) ↔ (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
264262, 263syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)((π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
265264rexbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)((π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))))))
266265biimprcd 250 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)((π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ (π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
267255, 266biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) + (𝑑 Β· (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
268254, 267syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
269268an32s 651 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞))) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
270269expimpd 455 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
271270adantlr 714 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
27212, 271biimtrid 241 . . . 4 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘ƒβ€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘ƒ)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘ƒ) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘„)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘„) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–)))) ∧ ((πΉβ€˜π‘…) ∈ (0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘…β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (πΉβ€˜π‘…)) Β· (π‘β€˜π‘–)) + ((πΉβ€˜π‘…) Β· (π‘ˆβ€˜π‘–))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
27311, 272mpd 15 . . 3 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–))))
274 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2751ssrab3 4041 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† (π”Όβ€˜π‘)
276275sseli 3941 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐷 β†’ 𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
277275sseli 3941 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐷 β†’ 𝑃 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
278275sseli 3941 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝐷 β†’ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
279276, 277, 2783anim123i 1152 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) β†’ (𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑃 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))
2802793com12 1124 . . . . 5 ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) β†’ (𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑃 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))
281 brbtwn 27890 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑃 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) β†’ (𝑄 Btwn βŸ¨π‘ƒ, π‘…βŸ© ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
282281adantl 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑃 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘))) β†’ (𝑄 Btwn βŸ¨π‘ƒ, π‘…βŸ© ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
283274, 280, 282syl2an 597 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑄 Btwn βŸ¨π‘ƒ, π‘…βŸ© ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
284283adantr 482 . . 3 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ (𝑄 Btwn βŸ¨π‘ƒ, π‘…βŸ© ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘ƒβ€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘…β€˜π‘–)))))
285273, 284mpbird 257 . 2 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…))) β†’ 𝑄 Btwn βŸ¨π‘ƒ, π‘…βŸ©)
286285ex 414 1 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑍 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ ∈ (π”Όβ€˜π‘)) ∧ 𝑍 β‰  π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (πΉβ€˜π‘„) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (πΉβ€˜π‘…)) β†’ 𝑄 Btwn βŸ¨π‘ƒ, π‘…βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  {copab 5168  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  +∞cpnf 11191   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  [,)cico 13272  [,]cicc 13273  ...cfz 13430  π”Όcee 27879   Btwn cbtwn 27880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-z 12505  df-uz 12769  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-ee 27882  df-btwn 27883
This theorem is referenced by:  axcontlem10  27964
  Copyright terms: Public domain W3C validator