MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adddirp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adddirp1d 10655
Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
adddirp1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
adddirp1d.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
adddirp1d (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Proof of Theorem adddirp1d
StepHypRef Expression
1 adddirp1d.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 10624 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3 adddirp1d.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
41, 2, 3adddird 10654 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
53mulid2d 10647 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
65oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
74, 6eqtrd 2853 1 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-mulcl 10587  ax-mulcom 10589  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-1rid 10595  ax-cnre 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7148
This theorem is referenced by:  modvalp1  13246  pcexp  16184  mulgnnass  18200  cnfldmulg  20505  dgrcolem1  24790  abelthlem2  24947  2lgsoddprmlem3d  25916  chpdifbndlem1  26056  breprexplemc  31802  fltnltalem  39152  lt3addmuld  41444  lt4addmuld  41449  itgsinexp  42116  fourierdlem19  42288  fourierdlem35  42304  fourierdlem51  42319
  Copyright terms: Public domain W3C validator