MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adddirp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adddirp1d 11240
Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
adddirp1d.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
adddirp1d.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
adddirp1d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + ๐ต))

Proof of Theorem adddirp1d
StepHypRef Expression
1 adddirp1d.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 1cnd 11209 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3 adddirp1d.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3adddird 11239 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)))
53mullidd 11232 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
65oveq2d 7425 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) + ๐ต))
74, 6eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-mulcl 11172  ax-mulcom 11174  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-1rid 11180  ax-cnre 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412
This theorem is referenced by:  modvalp1  13855  pcexp  16792  mulgnnass  18989  cnfldmulg  20977  dgrcolem1  25787  abelthlem2  25944  2lgsoddprmlem3d  26916  chpdifbndlem1  27056  breprexplemc  33644  fltnltalem  41404  lt3addmuld  44011  lt4addmuld  44016  itgsinexp  44671  fourierdlem19  44842  fourierdlem35  44858  fourierdlem51  44873
  Copyright terms: Public domain W3C validator