Theorem adddirp1d 11160

Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
adddirp1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
adddirp1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
adddirp1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Proof of Theorem adddirp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adddirp1d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11129	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3		adddirp1d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	adddird 11159	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
5	3	mullidd 11152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
6	5	oveq2d 7369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
7	4, 6	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-mulcl 11090  ax-mulcom 11092  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-1rid 11098  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7356

This theorem is referenced by:  modvalp1  13812  pcexp  16789  mulgnnass  19006  cnfldmulg  21328  dgrcolem1  26195  abelthlem2  26358  2lgsoddprmlem3d  27340  chpdifbndlem1  27480  breprexplemc  34599  deg1pow  42114  fltnltalem  42635  lt3addmuld  45283  lt4addmuld  45288  itgsinexp  45937  fourierdlem19  46108  fourierdlem35  46124  fourierdlem51  46139  minusmodnep2tmod  47338  gpg3kgrtriexlem2  48069