Theorem adddirp1d 11205

Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
adddirp1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
adddirp1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
adddirp1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Proof of Theorem adddirp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adddirp1d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11172	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3		adddirp1d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	adddird 11204	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
5	3	mullidd 11197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
6	5	oveq2d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
7	4, 6	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-mulcl 11132  ax-mulcom 11134  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-1rid 11140  ax-cnre 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6473  df-fv 6525  df-ov 7395

This theorem is referenced by:  modvalp1  13897  pcexp  16878  mulgnnass  19134  cnfldmulg  21436  dgrcolem1  26313  abelthlem2  26472  2lgsoddprmlem3d  27454  chpdifbndlem1  27594  breprexplemc  34890  deg1pow  42722  fltnltalem  43208  lt3addmuld  45844  lt4addmuld  45849  itgsinexp  46493  fourierdlem19  46664  fourierdlem35  46680  fourierdlem51  46695  minusmodnep2tmod  47917  gpg3kgrtriexlem2  48670