MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adddirp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adddirp1d 11285
Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
adddirp1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
adddirp1d.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
adddirp1d (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Proof of Theorem adddirp1d
StepHypRef Expression
1 adddirp1d.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 11254 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3 adddirp1d.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
41, 2, 3adddird 11284 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
53mullidd 11277 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
65oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
74, 6eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-mulcl 11215  ax-mulcom 11217  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-1rid 11223  ax-cnre 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434
This theorem is referenced by:  modvalp1  13927  pcexp  16893  mulgnnass  19140  cnfldmulg  21434  dgrcolem1  26328  abelthlem2  26491  2lgsoddprmlem3d  27472  chpdifbndlem1  27612  breprexplemc  34626  deg1pow  42123  fltnltalem  42649  lt3addmuld  45252  lt4addmuld  45257  itgsinexp  45911  fourierdlem19  46082  fourierdlem35  46098  fourierdlem51  46113  minusmodnep2tmod  47293
  Copyright terms: Public domain W3C validator