Theorem adddirp1d 11253

Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
adddirp1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
adddirp1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
adddirp1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Proof of Theorem adddirp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adddirp1d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11220	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3		adddirp1d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	adddird 11252	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
5	3	mullidd 11245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
6	5	oveq2d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
7	4, 6	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-mulcl 11180  ax-mulcom 11182  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-1rid 11188  ax-cnre 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426

This theorem is used by:  modvalp1  13943  pcexp  16944  mulgnnass  19206  cnfldmulg  21591  dgrcolem1  26467  abelthlem2  26632  2lgsoddprmlem3d  27614  chpdifbndlem1  27754  breprexplemc  35051  deg1pow  42949  fltnltalem  43435  lt3addmuld  46061  lt4addmuld  46066  itgsinexp  46710  fourierdlem19  46881  fourierdlem35  46897  fourierdlem51  46912  minusmodnep2tmod  48137  gpg3kgrtriexlem2  48890