Theorem itgmulc2 25742

Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmulc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgmulc2.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgmulc2	⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2	1	recld 15167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
5		itgmulc2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
6		iblmbf 25675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
8		itgmulc2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9	7, 8	mbfmptcl 25544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	recld 15167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
12	4, 11	mulcld 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
13	9	iblcn 25707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
14	5, 13	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
15	14	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
16	3, 10, 15	iblmulc2 25739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
17	12, 16	itgcl 25692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
18		ax-icn 11134	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
19	9	imcld 15168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
21	4, 20	mulcld 11201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
22	14	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
23	3, 19, 22	iblmulc2 25739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
24	21, 23	itgcl 25692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
25		mulcl 11159	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
26	18, 24, 25	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
27	1	imcld 15168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
28	27	renegcld 11612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
31	30, 20	mulcld 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
32	29, 19, 22	iblmulc2 25739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
33	31, 32	itgcl 25692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
34	27	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
36	35, 11	mulcld 11201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
37	34, 10, 15	iblmulc2 25739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
38	36, 37	itgcl 25692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
39		mulcl 11159	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
40	18, 38, 39	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
41	17, 26, 33, 40	add4d 11410	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
42	8, 5	itgcl 25692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
43		mulcl 11159	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐶)) ∈ ℂ)
44	18, 34, 43	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝐶)) ∈ ℂ)
45	8, 5	itgcnval 25708	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
46	45	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((ℜ‘𝐶) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
47	10, 15	itgcl 25692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
48	19, 22	itgcl 25692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
49		mulcl 11159	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
50	18, 48, 49	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
51	3, 47, 50	adddid 11205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
52	3, 10, 15, 2, 10	itgmulc2lem2 25741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)
53	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
54	3, 53, 48	mul12d 11390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
55	3, 19, 22, 2, 19	itgmulc2lem2 25741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
56	55	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
57	54, 56	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
58	52, 57	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)))
59	46, 51, 58	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)))
60	45	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((i · (ℑ‘𝐶)) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
61	44, 47, 50	adddid 11205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
62	53, 34, 47	mulassd 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = (i · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)))
63	34, 10, 15, 27, 10	itgmulc2lem2 25741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)
64	63	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
65	62, 64	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
66	53, 34, 53, 48	mul4d 11393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
67		ixi 11814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) = -1
68	67	oveq1i 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (-1 · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
69	34, 48	mulcld 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
70	69	mulm1d 11637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
71	68, 70	eqtrid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
72	34, 48	mulneg1d 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
73	29, 19, 22, 28, 19	itgmulc2lem2 25741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
74	72, 73	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
75	66, 71, 74	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
76	65, 75	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = ((i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
77	40, 33, 76	comraddd 11395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
78	60, 61, 77	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
79	59, 78	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
80	3, 42, 44, 79	joinlmuladdmuld 11208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
81	35, 20	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
82	12, 81	negsubd 11546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
83	35, 20	mulneg1d 11638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
84	83	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
85	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
86	85, 9	remuld 15191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
87	82, 84, 86	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
88	87	itgeq2dv 25690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) d𝑥 = ∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)
89	12, 16, 31, 32	itgadd 25733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
90	88, 89	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
91	85, 9	immuld 15192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
92	91	itgeq2dv 25690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) d𝑥)
93	21, 23, 36, 37	itgadd 25733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
94	92, 93	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
95	94	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥) = (i · (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
96	53, 24, 38	adddid 11205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
97	95, 96	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
98	90, 97	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
99	41, 80, 98	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)))
100	1	replimd 15170	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))))
101	100	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
102	85, 9	mulcld 11201	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
103	1, 8, 5	iblmulc2 25739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
104	102, 103	itgcnval 25708	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)))
105	99, 101, 104	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  -cneg 11413  ℜcre 15070  ℑcim 15071  MblFncmbf 25522  𝐿¹cibl 25525  ∫citg 25526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528  df-itg2 25529  df-ibl 25530  df-itg 25531  df-0p 25578

This theorem is referenced by:  itgabs  25743  itgpowd  25964  circlemeth  34638  3factsumint3  42018  lcmineqlem10  42033  areaquad  43212  itgsinexplem1  45959  fourierdlem30  46142  fourierdlem83  46194  fourierdlem95  46206  sqwvfoura  46233