MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2 25583
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgmulc2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
21recld 15145 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
32recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
43adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
5 itgmulc2.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
6 iblmbf 25517 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
8 itgmulc2.2 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
97, 8mbfmptcl 25385 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
109recld 15145 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1110recnd 11246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
124, 11mulcld 11238 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
139iblcn 25548 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
145, 13mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
1514simpld 493 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
163, 10, 15iblmulc2 25580 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
1712, 16itgcl 25533 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
18 ax-icn 11171 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
199imcld 15146 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2019recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
214, 20mulcld 11238 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2214simprd 494 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
233, 19, 22iblmulc2 25580 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
2421, 23itgcl 25533 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
25 mulcl 11196 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
2618, 24, 25sylancr 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
271imcld 15146 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
2827renegcld 11645 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
2928recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3029adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3130, 20mulcld 11238 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3229, 19, 22iblmulc2 25580 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
3331, 32itgcl 25533 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3427recnd 11246 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3534adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3635, 11mulcld 11238 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3734, 10, 15iblmulc2 25580 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
3836, 37itgcl 25533 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
39 mulcl 11196 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4018, 38, 39sylancr 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4117, 26, 33, 40add4d 11446 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
428, 5itgcl 25533 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
43 mulcl 11196 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
4418, 34, 43sylancr 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
458, 5itgcnval 25549 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
4645oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
4710, 15itgcl 25533 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4819, 22itgcl 25533 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
49 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
5018, 48, 49sylancr 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
513, 47, 50adddid 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
523, 10, 15, 2, 10itgmulc2lem2 25582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
5318a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
543, 53, 48mul12d 11427 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
553, 19, 22, 2, 19itgmulc2lem2 25582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
5655oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
5754, 56eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
5852, 57oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
5946, 51, 583eqtrd 2774 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
6045oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
6144, 47, 50adddid 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
6253, 34, 47mulassd 11241 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
6334, 10, 15, 27, 10itgmulc2lem2 25582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
6463oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
6562, 64eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
6653, 34, 53, 48mul4d 11430 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
67 ixi 11847 . . . . . . . . . . 11 (i ยท i) = -1
6867oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
6934, 48mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
7069mulm1d 11670 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
7168, 70eqtrid 2782 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
7234, 48mulneg1d 11671 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
7329, 19, 22, 28, 19itgmulc2lem2 25582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
7472, 73eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
7566, 71, 743eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
7665, 75oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = ((i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
7740, 33, 76comraddd 11432 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
7860, 61, 773eqtrd 2774 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
7959, 78oveq12d 7429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
803, 42, 44, 79joinlmuladdmuld 11245 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
8135, 20mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8212, 81negsubd 11581 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8335, 20mulneg1d 11671 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
8483oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
851adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8685, 9remuld 15169 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8782, 84, 863eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
8887itgeq2dv 25531 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)
8912, 16, 31, 32itgadd 25574 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9088, 89eqtr3d 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9185, 9immuld 15170 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
9291itgeq2dv 25531 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) d๐‘ฅ)
9321, 23, 36, 37itgadd 25574 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9492, 93eqtrd 2770 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9594oveq2d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ) = (i ยท (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
9653, 24, 38adddid 11242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) = ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
9795, 96eqtrd 2770 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ) = ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
9890, 97oveq12d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
9941, 80, 983eqtr4d 2780 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)))
1001replimd 15148 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = ((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))))
101100oveq1d 7426 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
10285, 9mulcld 11238 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1031, 8, 5iblmulc2 25580 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
104102, 103itgcnval 25549 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)))
10599, 101, 1043eqtr4d 2780 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„œcre 15048  โ„‘cim 15049  MblFncmbf 25363  ๐ฟ1cibl 25366  โˆซcitg 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419
This theorem is referenced by:  itgabs  25584  itgpowd  25802  circlemeth  33950  3factsumint3  41194  lcmineqlem10  41209  areaquad  42267  itgsinexplem1  44968  fourierdlem30  45151  fourierdlem83  45203  fourierdlem95  45215  sqwvfoura  45242
  Copyright terms: Public domain W3C validator