MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2 25214
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgmulc2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
21recld 15085 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
32recnd 11188 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
43adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
5 itgmulc2.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
6 iblmbf 25148 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
8 itgmulc2.2 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
97, 8mbfmptcl 25016 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
109recld 15085 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1110recnd 11188 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
124, 11mulcld 11180 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
139iblcn 25179 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
145, 13mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
1514simpld 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
163, 10, 15iblmulc2 25211 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
1712, 16itgcl 25164 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
18 ax-icn 11115 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
199imcld 15086 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2019recnd 11188 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
214, 20mulcld 11180 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2214simprd 497 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
233, 19, 22iblmulc2 25211 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
2421, 23itgcl 25164 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
25 mulcl 11140 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
2618, 24, 25sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
271imcld 15086 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
2827renegcld 11587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
2928recnd 11188 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3029adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3130, 20mulcld 11180 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3229, 19, 22iblmulc2 25211 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
3331, 32itgcl 25164 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3427recnd 11188 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3534adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3635, 11mulcld 11180 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3734, 10, 15iblmulc2 25211 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
3836, 37itgcl 25164 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
39 mulcl 11140 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4018, 38, 39sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4117, 26, 33, 40add4d 11388 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
428, 5itgcl 25164 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
43 mulcl 11140 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
4418, 34, 43sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
458, 5itgcnval 25180 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
4645oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
4710, 15itgcl 25164 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4819, 22itgcl 25164 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
49 mulcl 11140 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
5018, 48, 49sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
513, 47, 50adddid 11184 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
523, 10, 15, 2, 10itgmulc2lem2 25213 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
5318a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
543, 53, 48mul12d 11369 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
553, 19, 22, 2, 19itgmulc2lem2 25213 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
5655oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
5754, 56eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
5852, 57oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
5946, 51, 583eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
6045oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
6144, 47, 50adddid 11184 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
6253, 34, 47mulassd 11183 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
6334, 10, 15, 27, 10itgmulc2lem2 25213 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
6463oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
6562, 64eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
6653, 34, 53, 48mul4d 11372 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
67 ixi 11789 . . . . . . . . . . 11 (i ยท i) = -1
6867oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
6934, 48mulcld 11180 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
7069mulm1d 11612 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
7168, 70eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
7234, 48mulneg1d 11613 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
7329, 19, 22, 28, 19itgmulc2lem2 25213 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
7472, 73eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
7566, 71, 743eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
7665, 75oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = ((i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
7740, 33, 76comraddd 11374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
7860, 61, 773eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
7959, 78oveq12d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
803, 42, 44, 79joinlmuladdmuld 11187 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
8135, 20mulcld 11180 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8212, 81negsubd 11523 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8335, 20mulneg1d 11613 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
8483oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
851adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8685, 9remuld 15109 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8782, 84, 863eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
8887itgeq2dv 25162 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)
8912, 16, 31, 32itgadd 25205 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9088, 89eqtr3d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9185, 9immuld 15110 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
9291itgeq2dv 25162 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) d๐‘ฅ)
9321, 23, 36, 37itgadd 25205 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9492, 93eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9594oveq2d 7374 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ) = (i ยท (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
9653, 24, 38adddid 11184 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) = ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
9795, 96eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ) = ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
9890, 97oveq12d 7376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
9941, 80, 983eqtr4d 2783 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)))
1001replimd 15088 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = ((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))))
101100oveq1d 7373 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
10285, 9mulcld 11180 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1031, 8, 5iblmulc2 25211 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
104102, 103itgcnval 25180 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)))
10599, 101, 1043eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  1c1 11057  ici 11058   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391  โ„œcre 14988  โ„‘cim 14989  MblFncmbf 24994  ๐ฟ1cibl 24997  โˆซcitg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050
This theorem is referenced by:  itgabs  25215  itgpowd  25430  circlemeth  33310  3factsumint3  40526  lcmineqlem10  40541  areaquad  41593  itgsinexplem1  44281  fourierdlem30  44464  fourierdlem83  44516  fourierdlem95  44528  sqwvfoura  44555
  Copyright terms: Public domain W3C validator