MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2 25351
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
itgmulc2.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgmulc2.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgmulc2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
21recld 15141 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
32recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
43adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
5 itgmulc2.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
6 iblmbf 25285 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
8 itgmulc2.2 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
97, 8mbfmptcl 25153 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
109recld 15141 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1110recnd 11242 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
124, 11mulcld 11234 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
139iblcn 25316 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
145, 13mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
1514simpld 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
163, 10, 15iblmulc2 25348 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
1712, 16itgcl 25301 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
18 ax-icn 11169 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
199imcld 15142 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2019recnd 11242 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
214, 20mulcld 11234 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2214simprd 497 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
233, 19, 22iblmulc2 25348 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
2421, 23itgcl 25301 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
25 mulcl 11194 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
2618, 24, 25sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
271imcld 15142 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
2827renegcld 11641 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
2928recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3029adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3130, 20mulcld 11234 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3229, 19, 22iblmulc2 25348 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
3331, 32itgcl 25301 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3427recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3534adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3635, 11mulcld 11234 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3734, 10, 15iblmulc2 25348 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) โˆˆ ๐ฟ1)
3836, 37itgcl 25301 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
39 mulcl 11194 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4018, 38, 39sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4117, 26, 33, 40add4d 11442 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
428, 5itgcl 25301 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
43 mulcl 11194 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
4418, 34, 43sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
458, 5itgcnval 25317 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
4645oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
4710, 15itgcl 25301 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4819, 22itgcl 25301 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
49 mulcl 11194 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
5018, 48, 49sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
513, 47, 50adddid 11238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
523, 10, 15, 2, 10itgmulc2lem2 25350 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
5318a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
543, 53, 48mul12d 11423 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
553, 19, 22, 2, 19itgmulc2lem2 25350 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
5655oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
5754, 56eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
5852, 57oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
5946, 51, 583eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
6045oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
6144, 47, 50adddid 11238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))))
6253, 34, 47mulassd 11237 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
6334, 10, 15, 27, 10itgmulc2lem2 25350 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
6463oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
6562, 64eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
6653, 34, 53, 48mul4d 11426 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
67 ixi 11843 . . . . . . . . . . 11 (i ยท i) = -1
6867oveq1i 7419 . . . . . . . . . 10 ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
6934, 48mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
7069mulm1d 11666 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
7168, 70eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท i) ยท ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
7234, 48mulneg1d 11667 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
7329, 19, 22, 28, 19itgmulc2lem2 25350 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
7472, 73eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
7566, 71, 743eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)
7665, 75oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = ((i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
7740, 33, 76comraddd 11428 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))) = (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
7860, 61, 773eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
7959, 78oveq12d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) + ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ)) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
803, 42, 44, 79joinlmuladdmuld 11241 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) + (โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
8135, 20mulcld 11234 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8212, 81negsubd 11577 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8335, 20mulneg1d 11667 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) = -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
8483oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + -((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
851adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8685, 9remuld 15165 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
8782, 84, 863eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)))
8887itgeq2dv 25299 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)
8912, 16, 31, 32itgadd 25342 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + (-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9088, 89eqtr3d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9185, 9immuld 15166 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))))
9291itgeq2dv 25299 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) d๐‘ฅ)
9321, 23, 36, 37itgadd 25342 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต))) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9492, 93eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))
9594oveq2d 7425 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ) = (i ยท (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
9653, 24, 38adddid 11238 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)) = ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
9795, 96eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ) = ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ)))
9890, 97oveq12d 7427 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)) = ((โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ + โˆซ๐ด(-(โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + ((i ยท โˆซ๐ด((โ„œโ€˜๐ถ) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) d๐‘ฅ) + (i ยท โˆซ๐ด((โ„‘โ€˜๐ถ) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) d๐‘ฅ))))
9941, 80, 983eqtr4d 2783 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)))
1001replimd 15144 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = ((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))))
101100oveq1d 7424 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = (((โ„œโ€˜๐ถ) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ถ))) ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ))
10285, 9mulcld 11234 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1031, 8, 5iblmulc2 25348 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
104102, 103itgcnval 25317 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜(๐ถ ยท ๐ต)) d๐‘ฅ)))
10599, 101, 1043eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ) = โˆซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  โ„œcre 15044  โ„‘cim 15045  MblFncmbf 25131  ๐ฟ1cibl 25134  โˆซcitg 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187
This theorem is referenced by:  itgabs  25352  itgpowd  25567  circlemeth  33652  3factsumint3  40888  lcmineqlem10  40903  areaquad  41965  itgsinexplem1  44670  fourierdlem30  44853  fourierdlem83  44905  fourierdlem95  44917  sqwvfoura  44944
  Copyright terms: Public domain W3C validator