Theorem itgmulc2 25756

Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmulc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgmulc2.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgmulc2	⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2	1	recld 15167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
5		itgmulc2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
6		iblmbf 25690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
8		itgmulc2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9	7, 8	mbfmptcl 25558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	recld 15167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11266	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
12	4, 11	mulcld 11258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
13	9	iblcn 25721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
14	5, 13	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
15	14	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
16	3, 10, 15	iblmulc2 25753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
17	12, 16	itgcl 25706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
18		ax-icn 11191	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
19	9	imcld 15168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
21	4, 20	mulcld 11258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
22	14	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
23	3, 19, 22	iblmulc2 25753	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
24	21, 23	itgcl 25706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
25		mulcl 11216	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
26	18, 24, 25	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
27	1	imcld 15168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
28	27	renegcld 11665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
31	30, 20	mulcld 11258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
32	29, 19, 22	iblmulc2 25753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
33	31, 32	itgcl 25706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
34	27	recnd 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
36	35, 11	mulcld 11258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
37	34, 10, 15	iblmulc2 25753	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) ∈ 𝐿1)
38	36, 37	itgcl 25706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ)
39		mulcl 11216	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
40	18, 38, 39	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) ∈ ℂ)
41	17, 26, 33, 40	add4d 11466	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
42	8, 5	itgcl 25706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
43		mulcl 11216	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐶)) ∈ ℂ)
44	18, 34, 43	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝐶)) ∈ ℂ)
45	8, 5	itgcnval 25722	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
46	45	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((ℜ‘𝐶) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
47	10, 15	itgcl 25706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
48	19, 22	itgcl 25706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
49		mulcl 11216	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
50	18, 48, 49	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
51	3, 47, 50	adddid 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
52	3, 10, 15, 2, 10	itgmulc2lem2 25755	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)
53	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
54	3, 53, 48	mul12d 11447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
55	3, 19, 22, 2, 19	itgmulc2lem2 25755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
56	55	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
57	54, 56	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
58	52, 57	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((ℜ‘𝐶) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)))
59	46, 51, 58	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)))
60	45	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((i · (ℑ‘𝐶)) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
61	44, 47, 50	adddid 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))))
62	53, 34, 47	mulassd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = (i · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)))
63	34, 10, 15, 27, 10	itgmulc2lem2 25755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)
64	63	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥)) = (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
65	62, 64	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) = (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
66	53, 34, 53, 48	mul4d 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
67		ixi 11867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) = -1
68	67	oveq1i 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (-1 · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
69	34, 48	mulcld 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
70	69	mulm1d 11690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
71	68, 70	eqtrid 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · i) · ((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
72	34, 48	mulneg1d 11691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
73	29, 19, 22, 28, 19	itgmulc2lem2 25755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
74	72, 73	eqtr3d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((ℑ‘𝐶) · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
75	66, 71, 74	3eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)
76	65, 75	oveq12d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = ((i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥) + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
77	40, 33, 76	comraddd 11452	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
78	60, 61, 77	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
79	59, 78	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) + ((i · (ℑ‘𝐶)) · ∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
80	3, 42, 44, 79	joinlmuladdmuld 11265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥)) + (∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
81	35, 20	mulcld 11258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
82	12, 81	negsubd 11601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
83	35, 20	mulneg1d 11691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
84	83	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
85	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
86	85, 9	remuld 15191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
87	82, 84, 86	3eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
88	87	itgeq2dv 25704	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) d𝑥 = ∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)
89	12, 16, 31, 32	itgadd 25747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
90	88, 89	eqtr3d 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥))
91	85, 9	immuld 15192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
92	91	itgeq2dv 25704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) d𝑥)
93	21, 23, 36, 37	itgadd 25747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
94	92, 93	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 = (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))
95	94	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥) = (i · (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
96	53, 24, 38	adddid 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
97	95, 96	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥)))
98	90, 97	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)) = ((∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥 + ∫𝐴(-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + ((i · ∫𝐴((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) d𝑥) + (i · ∫𝐴((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) d𝑥))))
99	41, 80, 98	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)))
100	1	replimd 15170	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))))
101	100	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (((ℜ‘𝐶) + (i · (ℑ‘𝐶))) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
102	85, 9	mulcld 11258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
103	1, 8, 5	iblmulc2 25753	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
104	102, 103	itgcnval 25722	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) d𝑥)))
105	99, 101, 104	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  ℝcr 11131  1c1 11133  ici 11134   + caddc 11135   · cmul 11137   − cmin 11468  -cneg 11469  ℜcre 15070  ℑcim 15071  MblFncmbf 25536  𝐿¹cibl 25539  ∫citg 25540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-dju 9918  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-cmp 23284  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cncf 24791  df-ovol 25386  df-vol 25387  df-mbf 25541  df-itg1 25542  df-itg2 25543  df-ibl 25544  df-itg 25545  df-0p 25592

This theorem is referenced by:  itgabs  25757  itgpowd  25978  circlemeth  34266  3factsumint3  41488  lcmineqlem10  41503  areaquad  42638  itgsinexplem1  45336  fourierdlem30  45519  fourierdlem83  45571  fourierdlem95  45583  sqwvfoura  45610