Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnorec2lem 45412
Description: Lemma for fmtnorec2 45413 (induction step). (Contributed by AV, 29-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec2lem (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2)))
Distinct variable group:   𝑦,𝑛

Proof of Theorem fmtnorec2lem
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12378 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ0)
2 peano2nn0 12378 . . . . . 6 ((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑦 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
3 fmtno 45399 . . . . . 6 (((𝑦 + 1) + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = ((2↑(2↑((𝑦 + 1) + 1))) + 1))
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = ((2↑(2↑((𝑦 + 1) + 1))) + 1))
5 2cnd 12156 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
65, 1expp1d 13970 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑((𝑦 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑦 + 1)) · 2))
76oveq2d 7357 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑((𝑦 + 1) + 1))) = (2↑((2↑(𝑦 + 1)) · 2)))
8 2nn0 12355 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
109, 1nn0expcld 14066 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑦 + 1)) ∈ ℕ0)
119, 10nn0expcld 14066 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑦 + 1))) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 12400 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑦 + 1))) ∈ ℂ)
1312sqvald 13966 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑦 + 1)))↑2) = ((2↑(2↑(𝑦 + 1))) · (2↑(2↑(𝑦 + 1)))))
145, 9, 10expmuld 13972 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑(𝑦 + 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑦 + 1)))↑2))
15 fmtnom1nn 45402 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑦 + 1))))
161, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑦 + 1))))
1716, 16oveq12d 7359 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = ((2↑(2↑(𝑦 + 1))) · (2↑(2↑(𝑦 + 1)))))
1813, 14, 173eqtr4d 2787 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑(𝑦 + 1)) · 2)) = (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
197, 18eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑((𝑦 + 1) + 1))) = (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
2019oveq1d 7356 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑((𝑦 + 1) + 1))) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
214, 20eqtrd 2777 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
2221adantr 482 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
23 oveq1 7348 . . . . . 6 ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) = ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1))
2423oveq1d 7356 . . . . 5 ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
2524oveq1d 7356 . . . 4 ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → ((((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
2625adantl 483 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → ((((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
27 fzfid 13798 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (0...𝑦) ∈ Fin)
28 elfznn0 13454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (0...𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29 fmtnonn 45401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
3029nncnd 12094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (0...𝑦) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
3231adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (0...𝑦)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
3327, 32fprodcl 15761 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
34 1cnd 11075 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3533, 5, 34addsubassd 11457 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + (2 − 1)))
36 2m1e1 12204 . . . . . . . . . 10 (2 − 1) = 1
3736oveq2i 7352 . . . . . . . . 9 (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + (2 − 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 1)
3835, 37eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 1))
3938oveq1d 7356 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
40 fmtnonn 45401 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑦 + 1)) ∈ ℕ)
411, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑦 + 1)) ∈ ℕ)
4241nncnd 12094 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
4342, 34subcld 11437 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
4433, 42muls1d 11540 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)))
4543mulid2d 11098 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (1 · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1))
4644, 45oveq12d 7359 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + (1 · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1))) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
4733, 43, 34, 46joinlmuladdmuld 11107 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
4839, 47eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
4948adantr 482 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
5049oveq1d 7356 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
51 eqcom 2744 . . . . . . 7 ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) ↔ (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘(𝑦 + 1)))
5242, 5, 33subadd2d 11456 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) = ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) ↔ (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘(𝑦 + 1))))
5351, 52bitr4id 290 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) ↔ ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) = ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)))
54 oveq2 7349 . . . . . . . . . . 11 (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) = ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)))
5554oveq1d 7356 . . . . . . . . . 10 (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)))
5655oveq1d 7356 . . . . . . . . 9 (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
5756eqcoms 2745 . . . . . . . 8 (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) = ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1))
5833, 42mulcld 11100 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) ∈ ℂ)
5942, 5subcld 11437 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) ∈ ℂ)
6058, 59subcld 11437 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) ∈ ℂ)
6160, 43, 34addassd 11102 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) + 1)))
62 elnn0uz 12728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (ℤ‘0))
6362biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (ℤ‘0))
64 elfznn0 13454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6564, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
67 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑦 + 1) → (FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘(𝑦 + 1)))
6863, 66, 67fprodp1 15778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ0 → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))))
6968eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) = ∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛))
7069oveq1d 7356 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)))
71 npcan1 11505 . . . . . . . . . . . 12 ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) ∈ ℂ → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) + 1) = (FermatNo‘(𝑦 + 1)))
7242, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) + 1) = (FermatNo‘(𝑦 + 1)))
7370, 72oveq12d 7359 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) + 1)) = ((∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + (FermatNo‘(𝑦 + 1))))
74 fzfid 13798 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ0 → (0...(𝑦 + 1)) ∈ Fin)
7574, 66fprodcl 15761 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
7675, 59, 42subadd23d 11459 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + (FermatNo‘(𝑦 + 1))) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2))))
7773, 76eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2))))
7842, 5nncand 11442 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) = 2)
7978oveq2d 7357 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2))) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8061, 77, 793eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8157, 80sylan9eqr 2799 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) = ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8281ex 414 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 2) = ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2)))
8353, 82sylbid 239 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2)))
8483imp 408 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) · (FermatNo‘(𝑦 + 1))) − ∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛)) + ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8550, 84eqtrd 2777 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → ((((∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) − 1) · ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) − 1)) + 1) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8622, 26, 853eqtrd 2781 . 2 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2)) → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2))
8786ex 414 1 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑦 + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...𝑦)(FermatNo‘𝑛) + 2) → (FermatNo‘((𝑦 + 1) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑦 + 1))(FermatNo‘𝑛) + 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6483  (class class class)co 7341  cc 10974  0cc0 10976  1c1 10977   + caddc 10979   · cmul 10981  cmin 11310  cn 12078  2c2 12133  0cn0 12338  cuz 12687  ...cfz 13344  cexp 13887  cprod 15714  FermatNocfmtno 45397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-sup 9303  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-rp 12836  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-prod 15715  df-fmtno 45398
This theorem is referenced by:  fmtnorec2  45413
  Copyright terms: Public domain W3C validator