Theorem mof0 49649

Description: There is at most one function into the empty set. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mof0	⊢ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅

Proof of Theorem mof0

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5272	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqeq2 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑓 = 𝑔 ↔ 𝑓 = ∅))
3	2	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔) ↔ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)))
4	3	albidv 1953	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)))
5	1, 4	spcev 3567	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅) → ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔))
6		f00 6764	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
7	6	simplbi 502	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)
8	5, 7	mpg 1830	. 2 ⊢ ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔)
9		dfmo 2570	. 2 ⊢ (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅ ↔ ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔))
10	8, 9	mpbir 234	1 ⊢ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812  ∃*wmo 2567  ∅c0 4286  ⟶wf 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2569  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544

This theorem is used by:  mof02  49650