Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mof0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mof0 47716
Description: There is at most one function into the empty set. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
mof0 βˆƒ*𝑓 𝑓:π΄βŸΆβˆ…

Proof of Theorem mof0
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5298 . . . 4 βˆ… ∈ V
2 eqeq2 2736 . . . . . 6 (𝑔 = βˆ… β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ 𝑓 = βˆ…))
32imbi2d 340 . . . . 5 (𝑔 = βˆ… β†’ ((𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = 𝑔) ↔ (𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = βˆ…)))
43albidv 1915 . . . 4 (𝑔 = βˆ… β†’ (βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = 𝑔) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = βˆ…)))
51, 4spcev 3588 . . 3 (βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘”βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = 𝑔))
6 f00 6764 . . . 4 (𝑓:π΄βŸΆβˆ… ↔ (𝑓 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
76simplbi 497 . . 3 (𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = βˆ…)
85, 7mpg 1791 . 2 βˆƒπ‘”βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = 𝑔)
9 df-mo 2526 . 2 (βˆƒ*𝑓 𝑓:π΄βŸΆβˆ… ↔ βˆƒπ‘”βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = 𝑔))
108, 9mpbir 230 1 βˆƒ*𝑓 𝑓:π΄βŸΆβˆ…
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4  βˆ€wal 1531   = wceq 1533  βˆƒwex 1773  βˆƒ*wmo 2524  βˆ…c0 4315  βŸΆwf 6530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538
This theorem is referenced by:  mof02  47717
  Copyright terms: Public domain W3C validator