Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mof0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mof0 47494
Description: There is at most one function into the empty set. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
mof0 βˆƒ*𝑓 𝑓:π΄βŸΆβˆ…

Proof of Theorem mof0
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5307 . . . 4 βˆ… ∈ V
2 eqeq2 2744 . . . . . 6 (𝑔 = βˆ… β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ 𝑓 = βˆ…))
32imbi2d 340 . . . . 5 (𝑔 = βˆ… β†’ ((𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = 𝑔) ↔ (𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = βˆ…)))
43albidv 1923 . . . 4 (𝑔 = βˆ… β†’ (βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = 𝑔) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = βˆ…)))
51, 4spcev 3596 . . 3 (βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘”βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = 𝑔))
6 f00 6773 . . . 4 (𝑓:π΄βŸΆβˆ… ↔ (𝑓 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
76simplbi 498 . . 3 (𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = βˆ…)
85, 7mpg 1799 . 2 βˆƒπ‘”βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = 𝑔)
9 df-mo 2534 . 2 (βˆƒ*𝑓 𝑓:π΄βŸΆβˆ… ↔ βˆƒπ‘”βˆ€π‘“(𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝑓 = 𝑔))
108, 9mpbir 230 1 βˆƒ*𝑓 𝑓:π΄βŸΆβˆ…
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4  βˆ€wal 1539   = wceq 1541  βˆƒwex 1781  βˆƒ*wmo 2532  βˆ…c0 4322  βŸΆwf 6539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547
This theorem is referenced by:  mof02  47495
  Copyright terms: Public domain W3C validator