Theorem mof0 49599

Description: There is at most one function into the empty set. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mof0	⊢ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅

Proof of Theorem mof0

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5271	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqeq2 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑓 = 𝑔 ↔ 𝑓 = ∅))
3	2	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔) ↔ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)))
4	3	albidv 1950	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)))
5	1, 4	spcev 3566	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅) → ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔))
6		f00 6762	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
7	6	simplbi 501	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)
8	5, 7	mpg 1827	. 2 ⊢ ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔)
9		dfmo 2568	. 2 ⊢ (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅ ↔ ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔))
10	8, 9	mpbir 234	1 ⊢ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1809  ∃*wmo 2565  ∅c0 4287  ⟶wf 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542

This theorem is referenced by:  mof02  49600