Theorem mof0 49335

Description: There is at most one function into the empty set. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mof0	⊢ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅

Proof of Theorem mof0

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5236	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqeq2 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑓 = 𝑔 ↔ 𝑓 = ∅))
3	2	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔) ↔ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)))
4	3	albidv 1927	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)))
5	1, 4	spcev 3551	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅) → ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔))
6		f00 6716	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
7	6	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)
8	5, 7	mpg 1804	. 2 ⊢ ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔)
9		dfmo 2544	. 2 ⊢ (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅ ↔ ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔))
10	8, 9	mpbir 232	1 ⊢ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1545   = wceq 1547  ∃wex 1786  ∃*wmo 2541  ∅c0 4268  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-mo 2543  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496

This theorem is referenced by:  mof02  49336