Theorem mof0 48830

Description: There is at most one function into the empty set. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mof0	⊢ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅

Proof of Theorem mof0

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5265	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqeq2 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑓 = 𝑔 ↔ 𝑓 = ∅))
3	2	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔) ↔ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)))
4	3	albidv 1920	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)))
5	1, 4	spcev 3575	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅) → ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔))
6		f00 6745	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
7	6	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)
8	5, 7	mpg 1797	. 2 ⊢ ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔)
9		df-mo 2534	. 2 ⊢ (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅ ↔ ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔))
10	8, 9	mpbir 231	1 ⊢ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779  ∃*wmo 2532  ∅c0 4299  ⟶wf 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518

This theorem is referenced by:  mof02  48831