Theorem mof0 50043

Description: There is at most one function into the empty set. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mof0	⊢ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅

Proof of Theorem mof0

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5260	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqeq2 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑓 = 𝑔 ↔ 𝑓 = ∅))
3	2	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔) ↔ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)))
4	3	albidv 1952	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)))
5	1, 4	spcev 3560	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅) → ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔))
6		f00 6765	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
7	6	simplbi 502	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = ∅)
8	5, 7	mpg 1829	. 2 ⊢ ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔)
9		dfmo 2565	. 2 ⊢ (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅ ↔ ∃𝑔∀𝑓(𝑓:𝐴⟶∅ → 𝑓 = 𝑔))
10	8, 9	mpbir 234	1 ⊢ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶∅

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811  ∃*wmo 2562  ∅c0 4278  ⟶wf 6535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543

This theorem is used by:  mof02  50044