Theorem f00 6640

Description: A class is a function with empty codomain iff it and its domain are empty. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f00	⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem f00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 6587	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → Fun 𝐹)
2		frn 6591	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → ran 𝐹 ⊆ ∅)
3		ss0 4329	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ∅ → ran 𝐹 = ∅)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → ran 𝐹 = ∅)
5		dm0rn0 5823	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
6	4, 5	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → dom 𝐹 = ∅)
7		df-fn 6421	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = ∅))
8	1, 6, 7	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → 𝐹 Fn ∅)
9		fn0 6548	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
10	8, 9	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → 𝐹 = ∅)
11		fdm 6593	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → dom 𝐹 = 𝐴)
12	11, 6	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
13	10, 12	jca 511	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14		f0 6639	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
15		feq1 6565	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝐴⟶∅ ↔ ∅:𝐴⟶∅))
16		feq2 6566	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅:𝐴⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
17	15, 16	sylan9bb 509	. . 3 ⊢ ((𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹:𝐴⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
18	14, 17	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐹:𝐴⟶∅)
19	13, 18	impbii 208	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  dom cdm 5580  ran crn 5581  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422

This theorem is referenced by:  cantnff  9362  0wrd0  14171  supcvg  15496  ram0  16651  itgsubstlem  25117  uhgr0vb  27345  lfuhgr1v0e  27524  wlkv0  27920  sate0fv0  33279  prv0  33292  ismgmOLD  35935  mof0  46053  mof0ALT  46055  mofeu  46063  fdomne0  46065  f002  46069  fullthinc  46215