MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f00 6774
Description: A class is a function with empty codomain iff it and its domain are empty. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
f00 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… ↔ (𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))

Proof of Theorem f00
StepHypRef Expression
1 ffun 6721 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ Fun 𝐹)
2 frn 6725 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆ…)
3 ss0 4399 . . . . . . 7 (ran 𝐹 βŠ† βˆ… β†’ ran 𝐹 = βˆ…)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ ran 𝐹 = βˆ…)
5 dm0rn0 5925 . . . . . 6 (dom 𝐹 = βˆ… ↔ ran 𝐹 = βˆ…)
64, 5sylibr 233 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ dom 𝐹 = βˆ…)
7 df-fn 6547 . . . . 5 (𝐹 Fn βˆ… ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = βˆ…))
81, 6, 7sylanbrc 584 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝐹 Fn βˆ…)
9 fn0 6682 . . . 4 (𝐹 Fn βˆ… ↔ 𝐹 = βˆ…)
108, 9sylib 217 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝐹 = βˆ…)
11 fdm 6727 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1211, 6eqtr3d 2775 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
1310, 12jca 513 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ (𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
14 f0 6773 . . 3 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
15 feq1 6699 . . . 4 (𝐹 = βˆ… β†’ (𝐹:π΄βŸΆβˆ… ↔ βˆ…:π΄βŸΆβˆ…))
16 feq2 6700 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (βˆ…:π΄βŸΆβˆ… ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…))
1715, 16sylan9bb 511 . . 3 ((𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβˆ… ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…))
1814, 17mpbiri 258 . 2 ((𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβˆ…)
1913, 18impbii 208 1 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… ↔ (𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  dom cdm 5677  ran crn 5678  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548
This theorem is referenced by:  dom0  9102  cantnff  9669  0wrd0  14490  supcvg  15802  ram0  16955  itgsubstlem  25565  uhgr0vb  28332  lfuhgr1v0e  28511  wlkv0  28908  sate0fv0  34408  prv0  34421  ismgmOLD  36718  mof0  47504  mof0ALT  47506  mofeu  47514  fdomne0  47516  f002  47520  fullthinc  47666
  Copyright terms: Public domain W3C validator