MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f00 6725
Description: A class is a function with empty codomain iff it and its domain are empty. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
f00 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… ↔ (𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))

Proof of Theorem f00
StepHypRef Expression
1 ffun 6672 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ Fun 𝐹)
2 frn 6676 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆ…)
3 ss0 4359 . . . . . . 7 (ran 𝐹 βŠ† βˆ… β†’ ran 𝐹 = βˆ…)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ ran 𝐹 = βˆ…)
5 dm0rn0 5881 . . . . . 6 (dom 𝐹 = βˆ… ↔ ran 𝐹 = βˆ…)
64, 5sylibr 233 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ dom 𝐹 = βˆ…)
7 df-fn 6500 . . . . 5 (𝐹 Fn βˆ… ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = βˆ…))
81, 6, 7sylanbrc 584 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝐹 Fn βˆ…)
9 fn0 6633 . . . 4 (𝐹 Fn βˆ… ↔ 𝐹 = βˆ…)
108, 9sylib 217 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝐹 = βˆ…)
11 fdm 6678 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1211, 6eqtr3d 2779 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
1310, 12jca 513 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… β†’ (𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
14 f0 6724 . . 3 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
15 feq1 6650 . . . 4 (𝐹 = βˆ… β†’ (𝐹:π΄βŸΆβˆ… ↔ βˆ…:π΄βŸΆβˆ…))
16 feq2 6651 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (βˆ…:π΄βŸΆβˆ… ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…))
1715, 16sylan9bb 511 . . 3 ((𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβˆ… ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…))
1814, 17mpbiri 258 . 2 ((𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβˆ…)
1913, 18impbii 208 1 (𝐹:π΄βŸΆβˆ… ↔ (𝐹 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  dom cdm 5634  ran crn 5635  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501
This theorem is referenced by:  dom0  9047  cantnff  9611  0wrd0  14429  supcvg  15742  ram0  16895  itgsubstlem  25415  uhgr0vb  28026  lfuhgr1v0e  28205  wlkv0  28602  sate0fv0  34014  prv0  34027  ismgmOLD  36312  mof0  46911  mof0ALT  46913  mofeu  46921  fdomne0  46923  f002  46927  fullthinc  47073
  Copyright terms: Public domain W3C validator