Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndadd2d Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omndadd2d 32833
Description: In a commutative left ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndadd.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
omndadd.1 ≀ = (leβ€˜π‘€)
omndadd.2 + = (+gβ€˜π‘€)
omndadd2d.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
omndadd2d.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
omndadd2d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
omndadd2d.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
omndadd2d.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)
omndadd2d.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ π‘Š)
omndadd2d.c (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
Assertion
Ref Expression
omndadd2d (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š))
Proof of Theorem omndadd2d
StepHypRef Expression
1 omndadd2d.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
2 omndtos 32830 . . 3 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
3 tospos 18411 . . 3 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
41, 2, 33syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Poset)
5 omndmnd 32829 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
7 omndadd2d.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 omndadd2d.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 omndadd.0 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
10 omndadd.2 . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘€)
119, 10mndcl 18701 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
126, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
13 omndadd2d.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
149, 10mndcl 18701 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
156, 13, 8, 14syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑍 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
16 omndadd2d.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
179, 10mndcl 18701 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 + π‘Š) ∈ 𝐡)
186, 13, 16, 17syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑍 + π‘Š) ∈ 𝐡)
1912, 15, 183jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 + π‘Š) ∈ 𝐡))
20 omndadd2d.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)
21 omndadd.1 . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘€)
229, 21, 10omndadd 32831 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Œ))
231, 7, 13, 8, 20, 22syl131anc 1380 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Œ))
24 omndadd2d.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ π‘Š)
259, 21, 10omndadd 32831 . . . 4 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ π‘Š) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ≀ (π‘Š + 𝑍))
261, 8, 16, 13, 24, 25syl131anc 1380 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ≀ (π‘Š + 𝑍))
27 omndadd2d.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
289, 10cmncom 19757 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ + 𝑍) = (𝑍 + π‘Œ))
2927, 8, 13, 28syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) = (𝑍 + π‘Œ))
309, 10cmncom 19757 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š + 𝑍) = (𝑍 + π‘Š))
3127, 16, 13, 30syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Š + 𝑍) = (𝑍 + π‘Š))
3226, 29, 313brtr3d 5174 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š))
339, 21postr 18311 . . 3 ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 + π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Œ) ∧ (𝑍 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š)))
3433imp 405 . 2 (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 + π‘Š) ∈ 𝐡)) ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Œ) ∧ (𝑍 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š))
354, 19, 23, 32, 34syl22anc 837 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  lecple 17239  Posetcpo 18298  Tosetctos 18407  Mndcmnd 18693  CMndccmn 19739  oMndcomnd 32822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-nul 5301
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-dif 3942  df-un 3944  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7419  df-poset 18304  df-toset 18408  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-cmn 19741  df-omnd 32824
This theorem is referenced by:  omndmul  32839  gsumle  32849
  Copyright terms: Public domain W3C validator