Theorem omndmul 33037

Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndmul.2	⊢ · = (.g‘𝑀)
omndmul.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
omndmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul.l	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
omndmul	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))

Proof of Theorem omndmul

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndmul.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
3		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
4	2, 3	breq12d 5138	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌)))
5		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
6		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑛 · 𝑌))
7	5, 6	breq12d 5138	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)))
8		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
9		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑌) = ((𝑛 + 1) · 𝑌))
10	8, 9	breq12d 5138	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑛 + 1) · 𝑋) ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑌)))
11		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
12		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑁 · 𝑌))
13	11, 12	breq12d 5138	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌)))
14		omndmul.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
15		omndtos 33028	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
16		tospos 18439	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Poset)
18		omndmul.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		omndmul.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
20		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		omndmul.2	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑀)
22	19, 20, 21	mulg0 19066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
23	18, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
24		omndmnd 33027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
25	19, 20	mndidcl 18736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
26	14, 24, 25	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
27	23, 26	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) ∈ 𝐵)
28		omndmul.1	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
29	19, 28	posref 18339	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌))
30	17, 27, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌))
31		omndmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	19, 20, 21	mulg0 19066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑀))
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑀))
34	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
35	33, 34	eqtr4d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · 𝑌))
36	35	breq1d 5135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌)))
37	31, 18, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌)))
38	30, 37	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌))
39		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
40	14	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ oMnd)
41	18	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
42	40, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ Mnd)
43		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
44	31	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
45	19, 21, 42, 43, 44	mulgnn0cld 19087	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	19, 21, 42, 43, 41	mulgnn0cld 19087	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌))
48		omndmul.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
49	48	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
50		omndmul.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
51	50	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ CMnd)
52	19, 28, 39, 40, 41, 45, 44, 46, 47, 49, 51	omndadd2d 33031	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋) ≤ ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
53	19, 21, 39	mulgnn0p1 19077	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋))
54	42, 43, 44, 53	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋))
55	19, 21, 39	mulgnn0p1 19077	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
56	42, 43, 41, 55	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
57	52, 54, 56	3brtr4d 5157	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑌))
58	4, 7, 10, 13, 38, 57	nn0indd 12699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))
59	1, 58	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17230  +_gcplusg 17277  lecple 17284  0_gc0g 17460  Posetcpo 18328  Tosetctos 18435  Mndcmnd 18721  ._gcmg 19059  CMndccmn 19771  oMndcomnd 33020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-seq 14026  df-0g 17462  df-proset 18315  df-poset 18334  df-toset 18436  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-mulg 19060  df-cmn 19773  df-omnd 33022

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