Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omndmul 32815
Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
omndmul.1 ≀ = (leβ€˜π‘€)
omndmul.2 Β· = (.gβ€˜π‘€)
omndmul.o (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
omndmul.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
omndmul.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
omndmul.l (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
omndmul (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
Proof of Theorem omndmul
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omndmul.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7433 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
3 oveq1 7433 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (0 Β· π‘Œ))
42, 3breq12d 5165 . . 3 (π‘š = 0 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
5 oveq1 7433 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑛 Β· 𝑋))
6 oveq1 7433 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (𝑛 Β· π‘Œ))
75, 6breq12d 5165 . . 3 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)))
8 oveq1 7433 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· 𝑋) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
9 oveq1 7433 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ))
108, 9breq12d 5165 . . 3 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ)))
11 oveq1 7433 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
12 oveq1 7433 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (𝑁 Β· π‘Œ))
1311, 12breq12d 5165 . . 3 (π‘š = 𝑁 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ)))
14 omndmul.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
15 omndtos 32806 . . . . . 6 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
16 tospos 18419 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Poset)
18 omndmul.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
19 omndmul.0 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
20 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
21 omndmul.2 . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜π‘€)
2219, 20, 21mulg0 19037 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
24 omndmnd 32805 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2519, 20mndidcl 18716 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2614, 24, 253syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2723, 26eqeltrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
28 omndmul.1 . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜π‘€)
2919, 28posref 18317 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ))
3017, 27, 29syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ))
31 omndmul.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3219, 20, 21mulg0 19037 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘€))
3332adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘€))
3422adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
3533, 34eqtr4d 2771 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· 𝑋) = (0 Β· π‘Œ))
3635breq1d 5162 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
3731, 18, 36syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
3830, 37mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ))
39 eqid 2728 . . . . 5 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4014ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
4118ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4240, 24syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
43 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
4431ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4519, 21, 42, 43, 44mulgnn0cld 19057 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
4619, 21, 42, 43, 41mulgnn0cld 19057 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
47 simpr 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ))
48 omndmul.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
4948ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
50 omndmul.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
5150ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
5219, 28, 39, 40, 41, 45, 44, 46, 47, 49, 51omndadd2d 32809 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋) ≀ ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5319, 21, 39mulgnn0p1 19047 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) = ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋))
5442, 43, 44, 53syl3anc 1368 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) = ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋))
5519, 21, 39mulgnn0p1 19047 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ) = ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5642, 43, 41, 55syl3anc 1368 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ) = ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5752, 54, 563brtr4d 5184 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ))
584, 7, 10, 13, 38, 57nn0indd 12697 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
591, 58mpdan 685 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  lecple 17247  0gc0g 17428  Posetcpo 18306  Tosetctos 18415  Mndcmnd 18701  .gcmg 19030  CMndccmn 19742  oMndcomnd 32798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-0g 17430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-toset 18416  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mulg 19031  df-cmn 19744  df-omnd 32800
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator