Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndmul 31971
Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
omndmul.1 ≀ = (leβ€˜π‘€)
omndmul.2 Β· = (.gβ€˜π‘€)
omndmul.o (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
omndmul.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
omndmul.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
omndmul.l (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
omndmul (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))

Proof of Theorem omndmul
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omndmul.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7365 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
3 oveq1 7365 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (0 Β· π‘Œ))
42, 3breq12d 5119 . . 3 (π‘š = 0 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
5 oveq1 7365 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑛 Β· 𝑋))
6 oveq1 7365 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (𝑛 Β· π‘Œ))
75, 6breq12d 5119 . . 3 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)))
8 oveq1 7365 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· 𝑋) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
9 oveq1 7365 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ))
108, 9breq12d 5119 . . 3 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ)))
11 oveq1 7365 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
12 oveq1 7365 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (𝑁 Β· π‘Œ))
1311, 12breq12d 5119 . . 3 (π‘š = 𝑁 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ)))
14 omndmul.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
15 omndtos 31962 . . . . . 6 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
16 tospos 18314 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Poset)
18 omndmul.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
19 omndmul.0 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
21 omndmul.2 . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜π‘€)
2219, 20, 21mulg0 18884 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
24 omndmnd 31961 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2519, 20mndidcl 18576 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2614, 24, 253syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2723, 26eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
28 omndmul.1 . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜π‘€)
2919, 28posref 18212 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ))
3017, 27, 29syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ))
31 omndmul.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3219, 20, 21mulg0 18884 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘€))
3332adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘€))
3422adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
3533, 34eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· 𝑋) = (0 Β· π‘Œ))
3635breq1d 5116 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
3731, 18, 36syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
3830, 37mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ))
39 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4014ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
4118ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4240, 24syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
43 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
4431ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4519, 21, 42, 43, 44mulgnn0cld 18902 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
4619, 21, 42, 43, 41mulgnn0cld 18902 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
47 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ))
48 omndmul.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
4948ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
50 omndmul.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
5150ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
5219, 28, 39, 40, 41, 45, 44, 46, 47, 49, 51omndadd2d 31965 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋) ≀ ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5319, 21, 39mulgnn0p1 18892 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) = ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋))
5442, 43, 44, 53syl3anc 1372 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) = ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋))
5519, 21, 39mulgnn0p1 18892 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ) = ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5642, 43, 41, 55syl3anc 1372 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ) = ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5752, 54, 563brtr4d 5138 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ))
584, 7, 10, 13, 38, 57nn0indd 12605 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
591, 58mpdan 686 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  lecple 17145  0gc0g 17326  Posetcpo 18201  Tosetctos 18310  Mndcmnd 18561  .gcmg 18877  CMndccmn 19567  oMndcomnd 31954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-0g 17328  df-proset 18189  df-poset 18207  df-toset 18311  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mulg 18878  df-cmn 19569  df-omnd 31956
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator