Theorem omndmul 33035

Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndmul.2	⊢ · = (.g‘𝑀)
omndmul.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
omndmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul.l	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
omndmul	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))

Proof of Theorem omndmul

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndmul.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
3		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
4	2, 3	breq12d 5123	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌)))
5		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
6		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑛 · 𝑌))
7	5, 6	breq12d 5123	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)))
8		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
9		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑌) = ((𝑛 + 1) · 𝑌))
10	8, 9	breq12d 5123	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑛 + 1) · 𝑋) ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑌)))
11		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
12		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑁 · 𝑌))
13	11, 12	breq12d 5123	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌)))
14		omndmul.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
15		omndtos 33026	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
16		tospos 18386	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Poset)
18		omndmul.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		omndmul.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
20		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		omndmul.2	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑀)
22	19, 20, 21	mulg0 19013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
23	18, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
24		omndmnd 33025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
25	19, 20	mndidcl 18683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
26	14, 24, 25	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
27	23, 26	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) ∈ 𝐵)
28		omndmul.1	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
29	19, 28	posref 18286	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌))
30	17, 27, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌))
31		omndmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	19, 20, 21	mulg0 19013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑀))
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑀))
34	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
35	33, 34	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · 𝑌))
36	35	breq1d 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌)))
37	31, 18, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌)))
38	30, 37	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌))
39		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
40	14	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ oMnd)
41	18	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
42	40, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ Mnd)
43		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
44	31	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
45	19, 21, 42, 43, 44	mulgnn0cld 19034	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	19, 21, 42, 43, 41	mulgnn0cld 19034	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌))
48		omndmul.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
49	48	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
50		omndmul.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
51	50	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ CMnd)
52	19, 28, 39, 40, 41, 45, 44, 46, 47, 49, 51	omndadd2d 33029	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋) ≤ ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
53	19, 21, 39	mulgnn0p1 19024	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋))
54	42, 43, 44, 53	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋))
55	19, 21, 39	mulgnn0p1 19024	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
56	42, 43, 41, 55	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
57	52, 54, 56	3brtr4d 5142	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑌))
58	4, 7, 10, 13, 38, 57	nn0indd 12638	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))
59	1, 58	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  lecple 17234  0_gc0g 17409  Posetcpo 18275  Tosetctos 18382  Mndcmnd 18668  ._gcmg 19006  CMndccmn 19717  oMndcomnd 33018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-0g 17411  df-proset 18262  df-poset 18281  df-toset 18383  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mulg 19007  df-cmn 19719  df-omnd 33020

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