Theorem omndmul 33064

Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndmul.2	⊢ · = (.g‘𝑀)
omndmul.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
omndmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul.l	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
omndmul	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))

Proof of Theorem omndmul

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndmul.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
3		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
4	2, 3	breq12d 5179	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌)))
5		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
6		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑛 · 𝑌))
7	5, 6	breq12d 5179	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)))
8		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
9		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑌) = ((𝑛 + 1) · 𝑌))
10	8, 9	breq12d 5179	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑛 + 1) · 𝑋) ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑌)))
11		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
12		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑁 · 𝑌))
13	11, 12	breq12d 5179	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌)))
14		omndmul.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
15		omndtos 33055	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
16		tospos 18490	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Poset)
18		omndmul.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		omndmul.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
20		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		omndmul.2	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑀)
22	19, 20, 21	mulg0 19114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
23	18, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
24		omndmnd 33054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
25	19, 20	mndidcl 18787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
26	14, 24, 25	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
27	23, 26	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) ∈ 𝐵)
28		omndmul.1	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
29	19, 28	posref 18388	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌))
30	17, 27, 29	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌))
31		omndmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	19, 20, 21	mulg0 19114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑀))
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑀))
34	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
35	33, 34	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · 𝑌))
36	35	breq1d 5176	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌)))
37	31, 18, 36	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌)))
38	30, 37	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌))
39		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
40	14	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ oMnd)
41	18	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
42	40, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ Mnd)
43		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
44	31	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
45	19, 21, 42, 43, 44	mulgnn0cld 19135	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	19, 21, 42, 43, 41	mulgnn0cld 19135	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌))
48		omndmul.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
49	48	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
50		omndmul.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
51	50	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ CMnd)
52	19, 28, 39, 40, 41, 45, 44, 46, 47, 49, 51	omndadd2d 33058	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋) ≤ ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
53	19, 21, 39	mulgnn0p1 19125	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋))
54	42, 43, 44, 53	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋))
55	19, 21, 39	mulgnn0p1 19125	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
56	42, 43, 41, 55	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
57	52, 54, 56	3brtr4d 5198	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑌))
58	4, 7, 10, 13, 38, 57	nn0indd 12740	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))
59	1, 58	mpdan 686	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  lecple 17318  0_gc0g 17499  Posetcpo 18377  Tosetctos 18486  Mndcmnd 18772  ._gcmg 19107  CMndccmn 19822  oMndcomnd 33047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-toset 18487  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mulg 19108  df-cmn 19824  df-omnd 33049

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