Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omndmul 32738
Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
omndmul.1 ≀ = (leβ€˜π‘€)
omndmul.2 Β· = (.gβ€˜π‘€)
omndmul.o (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
omndmul.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
omndmul.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
omndmul.l (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
omndmul (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
Proof of Theorem omndmul
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omndmul.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
3 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (0 Β· π‘Œ))
42, 3breq12d 5154 . . 3 (π‘š = 0 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
5 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑛 Β· 𝑋))
6 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (𝑛 Β· π‘Œ))
75, 6breq12d 5154 . . 3 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)))
8 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· 𝑋) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
9 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ))
108, 9breq12d 5154 . . 3 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ)))
11 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
12 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (𝑁 Β· π‘Œ))
1311, 12breq12d 5154 . . 3 (π‘š = 𝑁 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ)))
14 omndmul.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
15 omndtos 32729 . . . . . 6 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
16 tospos 18385 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Poset)
18 omndmul.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
19 omndmul.0 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
20 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
21 omndmul.2 . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜π‘€)
2219, 20, 21mulg0 19002 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
24 omndmnd 32728 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2519, 20mndidcl 18682 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2614, 24, 253syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2723, 26eqeltrd 2827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
28 omndmul.1 . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜π‘€)
2919, 28posref 18283 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ))
3017, 27, 29syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ))
31 omndmul.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3219, 20, 21mulg0 19002 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘€))
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘€))
3422adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
3533, 34eqtr4d 2769 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· 𝑋) = (0 Β· π‘Œ))
3635breq1d 5151 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
3731, 18, 36syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
3830, 37mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ))
39 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4014ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
4118ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4240, 24syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
43 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
4431ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4519, 21, 42, 43, 44mulgnn0cld 19022 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
4619, 21, 42, 43, 41mulgnn0cld 19022 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
47 simpr 484 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ))
48 omndmul.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
4948ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
50 omndmul.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
5150ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
5219, 28, 39, 40, 41, 45, 44, 46, 47, 49, 51omndadd2d 32732 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋) ≀ ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5319, 21, 39mulgnn0p1 19012 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) = ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋))
5442, 43, 44, 53syl3anc 1368 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) = ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋))
5519, 21, 39mulgnn0p1 19012 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ) = ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5642, 43, 41, 55syl3anc 1368 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ) = ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5752, 54, 563brtr4d 5173 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ))
584, 7, 10, 13, 38, 57nn0indd 12663 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
591, 58mpdan 684 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  lecple 17213  0gc0g 17394  Posetcpo 18272  Tosetctos 18381  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995  CMndccmn 19700  oMndcomnd 32721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-toset 18382  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mulg 18996  df-cmn 19702  df-omnd 32723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator