Theorem omndmul 32815

Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndmul.2	⊢ · = (.g‘𝑀)
omndmul.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
omndmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul.l	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
omndmul	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))

Proof of Theorem omndmul

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndmul.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
3		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
4	2, 3	breq12d 5165	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌)))
5		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
6		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑛 · 𝑌))
7	5, 6	breq12d 5165	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)))
8		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
9		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑌) = ((𝑛 + 1) · 𝑌))
10	8, 9	breq12d 5165	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑛 + 1) · 𝑋) ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑌)))
11		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
12		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑁 · 𝑌))
13	11, 12	breq12d 5165	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌)))
14		omndmul.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
15		omndtos 32806	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
16		tospos 18419	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Poset)
18		omndmul.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		omndmul.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
20		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		omndmul.2	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑀)
22	19, 20, 21	mulg0 19037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
23	18, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
24		omndmnd 32805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
25	19, 20	mndidcl 18716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
26	14, 24, 25	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
27	23, 26	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) ∈ 𝐵)
28		omndmul.1	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
29	19, 28	posref 18317	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌))
30	17, 27, 29	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌))
31		omndmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	19, 20, 21	mulg0 19037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑀))
33	32	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑀))
34	22	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
35	33, 34	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · 𝑌))
36	35	breq1d 5162	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌)))
37	31, 18, 36	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌)))
38	30, 37	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌))
39		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
40	14	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ oMnd)
41	18	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
42	40, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ Mnd)
43		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
44	31	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
45	19, 21, 42, 43, 44	mulgnn0cld 19057	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	19, 21, 42, 43, 41	mulgnn0cld 19057	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌))
48		omndmul.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
49	48	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
50		omndmul.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
51	50	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ CMnd)
52	19, 28, 39, 40, 41, 45, 44, 46, 47, 49, 51	omndadd2d 32809	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋) ≤ ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
53	19, 21, 39	mulgnn0p1 19047	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋))
54	42, 43, 44, 53	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋))
55	19, 21, 39	mulgnn0p1 19047	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
56	42, 43, 41, 55	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
57	52, 54, 56	3brtr4d 5184	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑌))
58	4, 7, 10, 13, 38, 57	nn0indd 12697	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))
59	1, 58	mpdan 685	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  lecple 17247  0_gc0g 17428  Posetcpo 18306  Tosetctos 18415  Mndcmnd 18701  ._gcmg 19030  CMndccmn 19742  oMndcomnd 32798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-0g 17430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-toset 18416  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mulg 19031  df-cmn 19744  df-omnd 32800

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