Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omndmul 32219
Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
omndmul.1 ≀ = (leβ€˜π‘€)
omndmul.2 Β· = (.gβ€˜π‘€)
omndmul.o (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
omndmul.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
omndmul.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
omndmul.l (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
omndmul (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
Proof of Theorem omndmul
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omndmul.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
3 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (0 Β· π‘Œ))
42, 3breq12d 5160 . . 3 (π‘š = 0 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
5 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑛 Β· 𝑋))
6 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (𝑛 Β· π‘Œ))
75, 6breq12d 5160 . . 3 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)))
8 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· 𝑋) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
9 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ))
108, 9breq12d 5160 . . 3 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ)))
11 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
12 oveq1 7412 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (𝑁 Β· π‘Œ))
1311, 12breq12d 5160 . . 3 (π‘š = 𝑁 β†’ ((π‘š Β· 𝑋) ≀ (π‘š Β· π‘Œ) ↔ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ)))
14 omndmul.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
15 omndtos 32210 . . . . . 6 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
16 tospos 18369 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Poset)
18 omndmul.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
19 omndmul.0 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
21 omndmul.2 . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜π‘€)
2219, 20, 21mulg0 18951 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
24 omndmnd 32209 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2519, 20mndidcl 18636 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2614, 24, 253syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
2723, 26eqeltrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
28 omndmul.1 . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜π‘€)
2919, 28posref 18267 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ))
3017, 27, 29syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ))
31 omndmul.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3219, 20, 21mulg0 18951 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘€))
3332adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘€))
3422adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘€))
3533, 34eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· 𝑋) = (0 Β· π‘Œ))
3635breq1d 5157 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
3731, 18, 36syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ) ↔ (0 Β· π‘Œ) ≀ (0 Β· π‘Œ)))
3830, 37mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 Β· 𝑋) ≀ (0 Β· π‘Œ))
39 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4014ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
4118ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4240, 24syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
43 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
4431ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4519, 21, 42, 43, 44mulgnn0cld 18969 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
4619, 21, 42, 43, 41mulgnn0cld 18969 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
47 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ))
48 omndmul.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
4948ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
50 omndmul.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
5150ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
5219, 28, 39, 40, 41, 45, 44, 46, 47, 49, 51omndadd2d 32213 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋) ≀ ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5319, 21, 39mulgnn0p1 18959 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) = ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋))
5442, 43, 44, 53syl3anc 1371 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) = ((𝑛 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)𝑋))
5519, 21, 39mulgnn0p1 18959 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ) = ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5642, 43, 41, 55syl3anc 1371 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ) = ((𝑛 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)π‘Œ))
5752, 54, 563brtr4d 5179 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ (𝑛 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· π‘Œ))
584, 7, 10, 13, 38, 57nn0indd 12655 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
591, 58mpdan 685 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ≀ (𝑁 Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  lecple 17200  0gc0g 17381  Posetcpo 18256  Tosetctos 18365  Mndcmnd 18621  .gcmg 18944  CMndccmn 19642  oMndcomnd 32202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-toset 18366  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mulg 18945  df-cmn 19644  df-omnd 32204
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator