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Theorem omndmul 30284
Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1 = (le‘𝑀)
omndmul.2 · = (.g𝑀)
omndmul.o (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x (𝜑𝑋𝐵)
omndmul.y (𝜑𝑌𝐵)
omndmul.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul.l (𝜑𝑋 𝑌)
Assertion
Ref Expression
omndmul (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌))

Proof of Theorem omndmul
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omndmul.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 oveq1 6931 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
3 oveq1 6931 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
42, 3breq12d 4901 . . 3 (𝑚 = 0 → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑋) (0 · 𝑌)))
5 oveq1 6931 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
6 oveq1 6931 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑛 · 𝑌))
75, 6breq12d 4901 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)))
8 oveq1 6931 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
9 oveq1 6931 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑌) = ((𝑛 + 1) · 𝑌))
108, 9breq12d 4901 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑛 + 1) · 𝑋) ((𝑛 + 1) · 𝑌)))
11 oveq1 6931 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
12 oveq1 6931 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑁 · 𝑌))
1311, 12breq12d 4901 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌)))
14 omndmul.o . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
15 omndtos 30275 . . . . . 6 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
16 tospos 30228 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Poset)
18 omndmul.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
19 omndmul.0 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
20 eqid 2778 . . . . . . . 8 (0g𝑀) = (0g𝑀)
21 omndmul.2 . . . . . . . 8 · = (.g𝑀)
2219, 20, 21mulg0 17944 . . . . . . 7 (𝑌𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g𝑀))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · 𝑌) = (0g𝑀))
24 omndmnd 30274 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
2519, 20mndidcl 17705 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Mnd → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
2614, 24, 253syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
2723, 26eqeltrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → (0 · 𝑌) ∈ 𝐵)
28 omndmul.1 . . . . . 6 = (le‘𝑀)
2919, 28posref 17348 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) (0 · 𝑌))
3017, 27, 29syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (0 · 𝑌) (0 · 𝑌))
31 omndmul.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
3219, 20, 21mulg0 17944 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝑀))
3332adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝑀))
3422adantl 475 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0 · 𝑌) = (0g𝑀))
3533, 34eqtr4d 2817 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · 𝑌))
3635breq1d 4898 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((0 · 𝑋) (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) (0 · 𝑌)))
3731, 18, 36syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((0 · 𝑋) (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) (0 · 𝑌)))
3830, 37mpbird 249 . . 3 (𝜑 → (0 · 𝑋) (0 · 𝑌))
39 eqid 2778 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4014ad2antrr 716 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ oMnd)
4118ad2antrr 716 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑌𝐵)
4240, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ Mnd)
43 simplr 759 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4431ad2antrr 716 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋𝐵)
4519, 21mulgnn0cl 17955 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4719, 21mulgnn0cl 17955 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑌𝐵) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
4842, 43, 41, 47syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
49 simpr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌))
50 omndmul.l . . . . . 6 (𝜑𝑋 𝑌)
5150ad2antrr 716 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
52 omndmul.c . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
5352ad2antrr 716 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ CMnd)
5419, 28, 39, 40, 41, 46, 44, 48, 49, 51, 53omndadd2d 30278 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑋)(+g𝑀)𝑋) ((𝑛 · 𝑌)(+g𝑀)𝑌))
5519, 21, 39mulgnn0p1 17950 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g𝑀)𝑋))
5642, 43, 44, 55syl3anc 1439 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g𝑀)𝑋))
5719, 21, 39mulgnn0p1 17950 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑌𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g𝑀)𝑌))
5842, 43, 41, 57syl3anc 1439 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g𝑀)𝑌))
5954, 56, 583brtr4d 4920 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) ((𝑛 + 1) · 𝑌))
604, 7, 10, 13, 38, 59nn0indd 11831 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌))
611, 60mpdan 677 1 (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277  0cn0 11647  Basecbs 16266  +gcplusg 16349  lecple 16356  0gc0g 16497  Posetcpo 17337  Tosetctos 17430  Mndcmnd 17691  .gcmg 17938  CMndccmn 18590  oMndcomnd 30267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-seq 13125  df-0g 16499  df-proset 17325  df-poset 17343  df-toset 17431  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mulg 17939  df-cmn 18592  df-omnd 30269
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