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Theorem omndmul 30750
Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1 = (le‘𝑀)
omndmul.2 · = (.g𝑀)
omndmul.o (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x (𝜑𝑋𝐵)
omndmul.y (𝜑𝑌𝐵)
omndmul.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul.l (𝜑𝑋 𝑌)
Assertion
Ref Expression
omndmul (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌))

Proof of Theorem omndmul
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omndmul.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 oveq1 7156 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
3 oveq1 7156 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
42, 3breq12d 5065 . . 3 (𝑚 = 0 → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑋) (0 · 𝑌)))
5 oveq1 7156 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
6 oveq1 7156 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑛 · 𝑌))
75, 6breq12d 5065 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)))
8 oveq1 7156 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
9 oveq1 7156 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑌) = ((𝑛 + 1) · 𝑌))
108, 9breq12d 5065 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑛 + 1) · 𝑋) ((𝑛 + 1) · 𝑌)))
11 oveq1 7156 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
12 oveq1 7156 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑁 · 𝑌))
1311, 12breq12d 5065 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌)))
14 omndmul.o . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
15 omndtos 30741 . . . . . 6 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
16 tospos 30659 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Poset)
18 omndmul.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
19 omndmul.0 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
20 eqid 2824 . . . . . . . 8 (0g𝑀) = (0g𝑀)
21 omndmul.2 . . . . . . . 8 · = (.g𝑀)
2219, 20, 21mulg0 18231 . . . . . . 7 (𝑌𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g𝑀))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · 𝑌) = (0g𝑀))
24 omndmnd 30740 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
2519, 20mndidcl 17926 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Mnd → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
2614, 24, 253syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
2723, 26eqeltrd 2916 . . . . 5 (𝜑 → (0 · 𝑌) ∈ 𝐵)
28 omndmul.1 . . . . . 6 = (le‘𝑀)
2919, 28posref 17561 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) (0 · 𝑌))
3017, 27, 29syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (0 · 𝑌) (0 · 𝑌))
31 omndmul.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
3219, 20, 21mulg0 18231 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝑀))
3332adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝑀))
3422adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0 · 𝑌) = (0g𝑀))
3533, 34eqtr4d 2862 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · 𝑌))
3635breq1d 5062 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((0 · 𝑋) (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) (0 · 𝑌)))
3731, 18, 36syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((0 · 𝑋) (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) (0 · 𝑌)))
3830, 37mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (0 · 𝑋) (0 · 𝑌))
39 eqid 2824 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4014ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ oMnd)
4118ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑌𝐵)
4240, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ Mnd)
43 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4431ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋𝐵)
4519, 21mulgnn0cl 18244 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4719, 21mulgnn0cl 18244 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑌𝐵) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
4842, 43, 41, 47syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
49 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌))
50 omndmul.l . . . . . 6 (𝜑𝑋 𝑌)
5150ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
52 omndmul.c . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
5352ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ CMnd)
5419, 28, 39, 40, 41, 46, 44, 48, 49, 51, 53omndadd2d 30744 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑋)(+g𝑀)𝑋) ((𝑛 · 𝑌)(+g𝑀)𝑌))
5519, 21, 39mulgnn0p1 18239 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g𝑀)𝑋))
5642, 43, 44, 55syl3anc 1368 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g𝑀)𝑋))
5719, 21, 39mulgnn0p1 18239 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑌𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g𝑀)𝑌))
5842, 43, 41, 57syl3anc 1368 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g𝑀)𝑌))
5954, 56, 583brtr4d 5084 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) ((𝑛 + 1) · 𝑌))
604, 7, 10, 13, 38, 59nn0indd 12076 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌))
611, 60mpdan 686 1 (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538  0cn0 11894  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  lecple 16572  0gc0g 16713  Posetcpo 17550  Tosetctos 17643  Mndcmnd 17911  .gcmg 18224  CMndccmn 18906  oMndcomnd 30733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-seq 13374  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-toset 17644  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mulg 18225  df-cmn 18908  df-omnd 30735
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