Theorem omndmul 20211

Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndmul.2	⊢ · = (.g‘𝑀)
omndmul.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
omndmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul.l	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
omndmul	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))

Proof of Theorem omndmul

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndmul.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
3		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
4	2, 3	breq12d 5121	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌)))
5		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
6		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑛 · 𝑌))
7	5, 6	breq12d 5121	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)))
8		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
9		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑌) = ((𝑛 + 1) · 𝑌))
10	8, 9	breq12d 5121	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑛 + 1) · 𝑋) ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑌)))
11		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
12		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑁 · 𝑌))
13	11, 12	breq12d 5121	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 · 𝑋) ≤ (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌)))
14		omndmul.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
15		omndtos 20203	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
16		tospos 18480	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
17	14, 15, 16	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Poset)
18		omndmul.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		omndmul.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
20		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		omndmul.2	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑀)
22	19, 20, 21	mulg0 19146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
23	18, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
24		omndmnd 20202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
25	19, 20	mndidcl 18813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
26	14, 24, 25	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
27	23, 26	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) ∈ 𝐵)
28		omndmul.1	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
29	19, 28	posref 18380	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌))
30	17, 27, 29	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌))
31		omndmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	19, 20, 21	mulg0 19146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑀))
33	32	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑀))
34	22	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) = (0g‘𝑀))
35	33, 34	eqtr4d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · 𝑌))
36	35	breq1d 5118	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌)))
37	31, 18, 36	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) ≤ (0 · 𝑌)))
38	30, 37	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑋) ≤ (0 · 𝑌))
39		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
40	14	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ oMnd)
41	18	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
42	40, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ Mnd)
43		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
44	31	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
45	19, 21, 42, 43, 44	mulgnn0cld 19167	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	19, 21, 42, 43, 41	mulgnn0cld 19167	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌))
48		omndmul.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
49	48	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
50		omndmul.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
51	50	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ CMnd)
52	19, 28, 39, 40, 41, 45, 44, 46, 47, 49, 51	omndadd2d 20206	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋) ≤ ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
53	19, 21, 39	mulgnn0p1 19157	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋))
54	42, 43, 44, 53	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g‘𝑀)𝑋))
55	19, 21, 39	mulgnn0p1 19157	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
56	42, 43, 41, 55	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g‘𝑀)𝑌))
57	52, 54, 56	3brtr4d 5142	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) ≤ (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑌))
58	4, 7, 10, 13, 38, 57	nn0indd 12699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))
59	1, 58	mpdan 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ≤ (𝑁 · 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  lecple 17323  0_gc0g 17498  Posetcpo 18369  Tosetctos 18476  Mndcmnd 18798  ._gcmg 19139  CMndccmn 19856  oMndcomnd 20195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-seq 14045  df-0g 17500  df-proset 18356  df-poset 18375  df-toset 18477  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mulg 19140  df-cmn 19858  df-omnd 20197

This theorem is used by: (None)