Theorem tospos 18478

Description: A Toset is a Poset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tospos	⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)

Proof of Theorem tospos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
3	1, 2	istos 18476	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Toset ↔ (𝐹 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
4	3	simplbi 501	1 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 860   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Basecbs 17273  lecple 17321  Posetcpo 18367  Tosetctos 18474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-nul 5269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-iota 6492  df-fv 6544  df-toset 18475

This theorem is used by:  tltnle  18480  resstos  18490  omndadd2d  20204  omndadd2rd  20205  omndmul2  20207  omndmul  20209  gsumle  20219  orngsqr  20978  ofldchr  21735  odutos  33297  tlt3  33299  xrsclat  33340  isarchi3  33516  archirngz  33518  archiabllem1a  33520  archiabllem2c  33524  ordtrest2NEWlem  34321  ordtrest2NEW  34322  ordtconnlem1  34323  toslat  49788