Theorem tospos 18598

Description: A Toset is a Poset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tospos	⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)

Proof of Theorem tospos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
3	1, 2	istos 18596	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Toset ↔ (𝐹 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  lecple 17441  Posetcpo 18487  Tosetctos 18594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6547  df-toset 18595

This theorem is used by:  tltnle  18600  resstos  18610  omndadd2d  20350  omndadd2rd  20351  omndmul2  20353  omndmul  20355  gsumle  20365  orngsqr  21129  ofldchr  21888  odutos  33576  tlt3  33578  xrsclat  33619  isarchi3  33795  archirngz  33797  archiabllem1a  33799  archiabllem2c  33803  ordtrest2NEWlem  34601  ordtrest2NEW  34602  ordtconnlem1  34603  toslat  50190