Theorem tospos 18499

Description: A Toset is a Poset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tospos	⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)

Proof of Theorem tospos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
3	1, 2	istos 18497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Toset ↔ (𝐹 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  lecple 17342  Posetcpo 18388  Tosetctos 18495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-nul 5274

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-iota 6499  df-fv 6551  df-toset 18496

This theorem is used by:  tltnle  18501  resstos  18511  omndadd2d  20231  omndadd2rd  20232  omndmul2  20234  omndmul  20236  gsumle  20246  orngsqr  21006  ofldchr  21763  odutos  33319  tlt3  33321  xrsclat  33362  isarchi3  33538  archirngz  33540  archiabllem1a  33542  archiabllem2c  33546  ordtrest2NEWlem  34343  ordtrest2NEW  34344  ordtconnlem1  34345  toslat  49801