Theorem omndaddr 32728

Description: In a right ordered monoid, the ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndadd.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndadd.2	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
omndaddr	⊢ (((oppg‘𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) ≤ (𝑍 + 𝑌))

Proof of Theorem omndaddr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (oppg‘𝑀) = (oppg‘𝑀)
2		omndadd.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3	1, 2	oppgbas 19265	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppg‘𝑀))
4		omndadd.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
5	1, 4	oppgle 32632	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘(oppg‘𝑀))
6		eqid 2726	. . 3 ⊢ (+g‘(oppg‘𝑀)) = (+g‘(oppg‘𝑀))
7	3, 5, 6	omndadd 32727	. 2 ⊢ (((oppg‘𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋(+g‘(oppg‘𝑀))𝑍) ≤ (𝑌(+g‘(oppg‘𝑀))𝑍))
8		omndadd.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
9	8, 1, 6	oppgplus 19262	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘(oppg‘𝑀))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
10	8, 1, 6	oppgplus 19262	. 2 ⊢ (𝑌(+g‘(oppg‘𝑀))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
11	7, 9, 10	3brtr3g 5174	1 ⊢ (((oppg‘𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) ≤ (𝑍 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203  lecple 17210  opp_gcoppg 19258  oMndcomnd 32718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-dec 12679  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-ple 17223  df-oppg 19259  df-omnd 32720

This theorem is referenced by:  omndadd2rd  32730