Theorem postr 17953

Description: A poset ordering is transitive. (Contributed by NM, 11-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
posi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
posi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
postr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem postr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		posi.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	posi 17950	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑋 ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 = 𝑌) ∧ ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍)))
4	3	simp3d 1142	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  Posetcpo 17940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-poset 17946

This theorem is referenced by:  odupos  17961  plttr  17975  joinle  18019  meetle  18033  lattr  18077  omndadd2d  31236  omndadd2rd  31237  omndmul2  31240  atlatle  37261  cvratlem  37362  llncmp  37463  llncvrlpln  37499  lplncmp  37503  lplncvrlvol  37557  lvolcmp  37558  pmaple  37702