MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  postr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem postr 18273
Description: A poset ordering is transitive. (Contributed by NM, 11-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
posi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
posi.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
postr ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))

Proof of Theorem postr
StepHypRef Expression
1 posi.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 posi.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
31, 2posi 18270 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 = π‘Œ) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)))
43simp3d 1145 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  Posetcpo 18260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-poset 18266
This theorem is referenced by:  odupos  18281  plttr  18295  joinle  18339  meetle  18353  lattr  18397  omndadd2d  32226  omndadd2rd  32227  omndmul2  32230  atlatle  38190  cvratlem  38292  llncmp  38393  llncvrlpln  38429  lplncmp  38433  lplncvrlvol  38487  lvolcmp  38488  pmaple  38632
  Copyright terms: Public domain W3C validator