Theorem omndadd2rd 33087

Description: In a left- and right- ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndadd.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndadd.2	⊢ + = (+g‘𝑀)
omndadd2d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
omndadd2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndadd2d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
omndadd2d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
omndadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)
omndadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑊)
omndadd2rd.c	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ oMnd)

Assertion

Ref	Expression
omndadd2rd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))

Proof of Theorem omndadd2rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndadd2d.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
2		omndtos 33083	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
3		tospos 18466	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Poset)
5		omndmnd 33082	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		omndadd2d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		omndadd2d.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		omndadd.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
10		omndadd.2	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	9, 10	mndcl 18756	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13		omndadd2d.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	9, 10	mndcl 18756	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
16		omndadd2d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	9, 10	mndcl 18756	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
18	6, 16, 13, 17	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
19	12, 15, 18	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵))
20		omndadd2rd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ oMnd)
21		omndadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑊)
22		omndadd.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
23	9, 22, 10	omndaddr 33085	. . 3 ⊢ (((oppg‘𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊))
24	20, 8, 13, 7, 21, 23	syl131anc 1384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊))
25		omndadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)
26	9, 22, 10	omndadd 33084	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))
27	1, 7, 16, 13, 25, 26	syl131anc 1384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))
28	9, 22	postr 18367	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊)) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊)))
29	28	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))
30	4, 19, 24, 27, 29	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  lecple 17305  Posetcpo 18354  Tosetctos 18462  Mndcmnd 18748  opp_gcoppg 19364  oMndcomnd 33075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-dec 12736  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-ple 17318  df-poset 18360  df-toset 18463  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-oppg 19365  df-omnd 33077

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  33203