Theorem omndadd2rd 33082

Description: In a left- and right- ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndadd.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndadd.2	⊢ + = (+g‘𝑀)
omndadd2d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
omndadd2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndadd2d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
omndadd2d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
omndadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)
omndadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑊)
omndadd2rd.c	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ oMnd)

Assertion

Ref	Expression
omndadd2rd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))

Proof of Theorem omndadd2rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndadd2d.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
2		omndtos 33078	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
3		tospos 18435	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Poset)
5		omndmnd 33077	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		omndadd2d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		omndadd2d.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		omndadd.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
10		omndadd.2	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	9, 10	mndcl 18725	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13		omndadd2d.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	9, 10	mndcl 18725	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
16		omndadd2d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	9, 10	mndcl 18725	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
18	6, 16, 13, 17	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
19	12, 15, 18	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵))
20		omndadd2rd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ oMnd)
21		omndadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑊)
22		omndadd.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
23	9, 22, 10	omndaddr 33080	. . 3 ⊢ (((oppg‘𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊))
24	20, 8, 13, 7, 21, 23	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊))
25		omndadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)
26	9, 22, 10	omndadd 33079	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))
27	1, 7, 16, 13, 25, 26	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))
28	9, 22	postr 18337	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊)) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊)))
29	28	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))
30	4, 19, 24, 27, 29	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  lecple 17283  Posetcpo 18324  Tosetctos 18431  Mndcmnd 18717  opp_gcoppg 19333  oMndcomnd 33070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-dec 12714  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-ple 17296  df-poset 18330  df-toset 18432  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-oppg 19334  df-omnd 33072

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  33198