Theorem omndadd2rd 33059

Description: In a left- and right- ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndadd.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndadd.2	⊢ + = (+g‘𝑀)
omndadd2d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
omndadd2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndadd2d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
omndadd2d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
omndadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)
omndadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑊)
omndadd2rd.c	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ oMnd)

Assertion

Ref	Expression
omndadd2rd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))

Proof of Theorem omndadd2rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndadd2d.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
2		omndtos 33055	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
3		tospos 18490	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Poset)
5		omndmnd 33054	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		omndadd2d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		omndadd2d.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		omndadd.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
10		omndadd.2	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	9, 10	mndcl 18780	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13		omndadd2d.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	9, 10	mndcl 18780	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
16		omndadd2d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	9, 10	mndcl 18780	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
18	6, 16, 13, 17	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
19	12, 15, 18	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵))
20		omndadd2rd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ oMnd)
21		omndadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑊)
22		omndadd.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
23	9, 22, 10	omndaddr 33057	. . 3 ⊢ (((oppg‘𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊))
24	20, 8, 13, 7, 21, 23	syl131anc 1383	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊))
25		omndadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)
26	9, 22, 10	omndadd 33056	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))
27	1, 7, 16, 13, 25, 26	syl131anc 1383	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))
28	9, 22	postr 18390	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊)) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊)))
29	28	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))
30	4, 19, 24, 27, 29	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  lecple 17318  Posetcpo 18377  Tosetctos 18486  Mndcmnd 18772  opp_gcoppg 19385  oMndcomnd 33047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-dec 12759  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-ple 17331  df-poset 18383  df-toset 18487  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-oppg 19386  df-omnd 33049

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  33175