Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndadd2rd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndadd2rd 32832
Description: In a left- and right- ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndadd.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
omndadd.1 ≀ = (leβ€˜π‘€)
omndadd.2 + = (+gβ€˜π‘€)
omndadd2d.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
omndadd2d.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
omndadd2d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
omndadd2d.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
omndadd2d.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)
omndadd2d.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ π‘Š)
omndadd2rd.c (πœ‘ β†’ (oppgβ€˜π‘€) ∈ oMnd)
Assertion
Ref Expression
omndadd2rd (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š))

Proof of Theorem omndadd2rd
StepHypRef Expression
1 omndadd2d.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
2 omndtos 32828 . . 3 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
3 tospos 18409 . . 3 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
41, 2, 33syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Poset)
5 omndmnd 32827 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
7 omndadd2d.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 omndadd2d.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 omndadd.0 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
10 omndadd.2 . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘€)
119, 10mndcl 18699 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
126, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
13 omndadd2d.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
149, 10mndcl 18699 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Š) ∈ 𝐡)
156, 7, 13, 14syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Š) ∈ 𝐡)
16 omndadd2d.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
179, 10mndcl 18699 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 + π‘Š) ∈ 𝐡)
186, 16, 13, 17syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑍 + π‘Š) ∈ 𝐡)
1912, 15, 183jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 + π‘Š) ∈ 𝐡))
20 omndadd2rd.c . . 3 (πœ‘ β†’ (oppgβ€˜π‘€) ∈ oMnd)
21 omndadd2d.2 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ π‘Š)
22 omndadd.1 . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘€)
239, 22, 10omndaddr 32830 . . 3 (((oppgβ€˜π‘€) ∈ oMnd ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ π‘Š) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑋 + π‘Š))
2420, 8, 13, 7, 21, 23syl131anc 1380 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑋 + π‘Š))
25 omndadd2d.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)
269, 22, 10omndadd 32829 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (𝑋 + π‘Š) ≀ (𝑍 + π‘Š))
271, 7, 16, 13, 25, 26syl131anc 1380 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Š) ≀ (𝑍 + π‘Š))
289, 22postr 18309 . . 3 ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 + π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑋 + π‘Š) ∧ (𝑋 + π‘Š) ≀ (𝑍 + π‘Š)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š)))
2928imp 405 . 2 (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 + π‘Š) ∈ 𝐡)) ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑋 + π‘Š) ∧ (𝑋 + π‘Š) ≀ (𝑍 + π‘Š))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š))
304, 19, 24, 27, 29syl22anc 837 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ≀ (𝑍 + π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  lecple 17237  Posetcpo 18296  Tosetctos 18405  Mndcmnd 18691  oppgcoppg 19298  oMndcomnd 32820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-dec 12706  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-ple 17250  df-poset 18302  df-toset 18406  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-oppg 19299  df-omnd 32822
This theorem is referenced by:  archiabllem2c  32946
  Copyright terms: Public domain W3C validator