Theorem omndadd2rd 33030

Description: In a left- and right- ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndadd.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndadd.2	⊢ + = (+g‘𝑀)
omndadd2d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
omndadd2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndadd2d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
omndadd2d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
omndadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)
omndadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑊)
omndadd2rd.c	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ oMnd)

Assertion

Ref	Expression
omndadd2rd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))

Proof of Theorem omndadd2rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndadd2d.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
2		omndtos 33026	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
3		tospos 18386	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Poset)
5		omndmnd 33025	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		omndadd2d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		omndadd2d.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		omndadd.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
10		omndadd.2	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	9, 10	mndcl 18676	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13		omndadd2d.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	9, 10	mndcl 18676	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
16		omndadd2d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	9, 10	mndcl 18676	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
18	6, 16, 13, 17	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
19	12, 15, 18	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵))
20		omndadd2rd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ oMnd)
21		omndadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑊)
22		omndadd.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
23	9, 22, 10	omndaddr 33028	. . 3 ⊢ (((oppg‘𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊))
24	20, 8, 13, 7, 21, 23	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊))
25		omndadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)
26	9, 22, 10	omndadd 33027	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))
27	1, 7, 16, 13, 25, 26	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))
28	9, 22	postr 18288	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊)) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊)))
29	28	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))
30	4, 19, 24, 27, 29	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  lecple 17234  Posetcpo 18275  Tosetctos 18382  Mndcmnd 18668  opp_gcoppg 19284  oMndcomnd 33018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-ple 17247  df-poset 18281  df-toset 18383  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-oppg 19285  df-omnd 33020

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  33156