Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndadd2rd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndadd2rd 30741
Description: In a left- and right- ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndadd.0 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1 = (le‘𝑀)
omndadd.2 + = (+g𝑀)
omndadd2d.m (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w (𝜑𝑊𝐵)
omndadd2d.x (𝜑𝑋𝐵)
omndadd2d.y (𝜑𝑌𝐵)
omndadd2d.z (𝜑𝑍𝐵)
omndadd2d.1 (𝜑𝑋 𝑍)
omndadd2d.2 (𝜑𝑌 𝑊)
omndadd2rd.c (𝜑 → (oppg𝑀) ∈ oMnd)
Assertion
Ref Expression
omndadd2rd (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))

Proof of Theorem omndadd2rd
StepHypRef Expression
1 omndadd2d.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
2 omndtos 30737 . . 3 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
3 tospos 30655 . . 3 (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑𝑀 ∈ Poset)
5 omndmnd 30736 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
7 omndadd2d.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
8 omndadd2d.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
9 omndadd.0 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
10 omndadd.2 . . . . 5 + = (+g𝑀)
119, 10mndcl 17910 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
126, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13 omndadd2d.w . . . 4 (𝜑𝑊𝐵)
149, 10mndcl 17910 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
156, 7, 13, 14syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
16 omndadd2d.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
179, 10mndcl 17910 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
186, 16, 13, 17syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
1912, 15, 183jca 1125 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵))
20 omndadd2rd.c . . 3 (𝜑 → (oppg𝑀) ∈ oMnd)
21 omndadd2d.2 . . 3 (𝜑𝑌 𝑊)
22 omndadd.1 . . . 4 = (le‘𝑀)
239, 22, 10omndaddr 30739 . . 3 (((oppg𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑌𝐵𝑊𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑌 𝑊) → (𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊))
2420, 8, 13, 7, 21, 23syl131anc 1380 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊))
25 omndadd2d.1 . . 3 (𝜑𝑋 𝑍)
269, 22, 10omndadd 30738 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊))
271, 7, 16, 13, 25, 26syl131anc 1380 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊))
289, 22postr 17554 . . 3 ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊)) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)))
2928imp 410 . 2 (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊))) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
304, 19, 24, 27, 29syl22anc 837 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  lecple 16563  Posetcpo 17541  Tosetctos 17634  Mndcmnd 17902  oppgcoppg 18464  oMndcomnd 30729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-dec 12087  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-ple 16576  df-poset 17547  df-toset 17635  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-oppg 18465  df-omnd 30731
This theorem is referenced by:  archiabllem2c  30855
  Copyright terms: Public domain W3C validator