Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumle 32229
Description: A finite sum in an ordered monoid is monotonic. This proof would be much easier in an ordered group, where an inverse element would be available. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumle.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
gsumle.l ≀ = (leβ€˜π‘€)
gsumle.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
gsumle.n (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
gsumle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
gsumle.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumle.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
gsumle.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumle (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g 𝐹) ≀ (𝑀 Ξ£g 𝐺))
Proof of Theorem gsumle
Dummy variables 𝑒 π‘Ž 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumle.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 4003 . . . 4 𝐴 βŠ† 𝐴
3 sseq1 4006 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
43anbi2d 629 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴)))
5 reseq2 5974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ βˆ…))
65oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)))
7 reseq2 5974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ βˆ…))
87oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))
96, 8breq12d 5160 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…))))
104, 9imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))))
11 sseq1 4006 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ 𝑒 βŠ† 𝐴))
1211anbi2d 629 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴)))
13 reseq2 5974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ 𝑒))
1413oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)))
15 reseq2 5974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ 𝑒))
1615oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))
1714, 16breq12d 5160 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))))
1812, 17imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))))
19 sseq1 4006 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴))
2019anbi2d 629 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)))
21 reseq2 5974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})))
2221oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
23 reseq2 5974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})))
2423oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
2522, 24breq12d 5160 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})))))
2620, 25imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
27 sseq1 4006 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 βŠ† 𝐴))
2827anbi2d 629 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴)))
29 reseq2 5974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3029oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
31 reseq2 5974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ 𝐴))
3231oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
3330, 32breq12d 5160 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴))))
3428, 33imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))))
35 gsumle.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
36 omndtos 32210 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
37 tospos 18369 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Poset)
39 res0 5983 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4039oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) = (𝑀 Ξ£g βˆ…)
41 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
4241gsum0 18599 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)
4340, 42eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) = (0gβ€˜π‘€)
44 omndmnd 32209 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
45 gsumle.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
4645, 41mndidcl 18636 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
4735, 44, 463syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
4843, 47eqeltrid 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ∈ 𝐡)
49 gsumle.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜π‘€)
5045, 49posref 18267 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Poset ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)))
5138, 48, 50syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)))
52 res0 5983 . . . . . . . . . 10 (𝐺 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
5339, 52eqtr4i 2763 . . . . . . . . 9 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = (𝐺 β†Ύ βˆ…)
5453oveq2i 7416 . . . . . . . 8 (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…))
5551, 54breqtrdi 5188 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))
5655adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))
57 ssun1 4171 . . . . . . . . . 10 𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦})
58 sstr2 3988 . . . . . . . . . 10 (𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
6059anim2i 617 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴))
6160imim1i 63 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))))
62 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴))
63 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒)
64 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))
65 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
6635ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
67 gsumle.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
6867ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
69 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)
70 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦} βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦})
71 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
7271snss 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↔ {𝑦} βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
7370, 72mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦})
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
7569, 74sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
7668, 75ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
78 gsumle.n . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
7978ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
80 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑒 ∈ V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ V)
82 gsumle.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
8382ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
8457, 69sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
8583, 84fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆπ΅)
861ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
87 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ V)
8883, 86, 87fdmfifsupp 9369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘€))
8988, 87fsuppres 9384 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑒) finSupp (0gβ€˜π‘€))
9045, 41, 79, 81, 85, 89gsumcl 19777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
9283, 75ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
9468, 84fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆπ΅)
95 ssfi 9169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
9686, 84, 95syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
9794, 96, 87fdmfifsupp 9369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑒) finSupp (0gβ€˜π‘€))
9845, 41, 79, 81, 94, 97gsumcl 19777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
100 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))
101 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ πœ‘)
102 gsumle.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺)
103102ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺)
10482ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
10567ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
106 inidm 4217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
107 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
108 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
109104, 105, 1, 1, 106, 107, 108ofrval 7678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
110101, 103, 75, 109syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
11279adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
11345, 49, 65, 66, 77, 91, 93, 99, 100, 111, 112omndadd2d 32213 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
11496adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
11582ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
116 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)
117 elun1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ 𝑒 β†’ 𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
119116, 118sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
120115, 119ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
121120ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ 𝑒 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡))
122121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑒 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡))
123122imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
12471a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑦 ∈ V)
125 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒)
126 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
12745, 65, 112, 114, 123, 124, 125, 93, 126gsumunsn 19822 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)))
12883, 69feqresmpt 6958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) = (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
129128oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))))
13083, 84feqresmpt 6958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑒) = (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
131130oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§))))
132131oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)))
133129, 132eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦))))
134133adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦))))
135127, 134mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)))
13667adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
137136ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
138119adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
139137, 138ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
14071a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ V)
141 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒)
142 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘¦))
14345, 65, 79, 96, 139, 140, 141, 76, 142gsumunsn 19822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
144 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)
145136, 144feqresmpt 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) = (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
146145oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
147 resabs1 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝐺 β†Ύ 𝑒))
14857, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝐺 β†Ύ 𝑒))
14959adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
150136, 149feqresmpt 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑒) = (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
151148, 150eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
152151oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒)) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
153 resabs1 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({𝑦} βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝐺 β†Ύ {𝑦}))
15470, 153mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝐺 β†Ύ {𝑦}))
15570, 144sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
156136, 155feqresmpt 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐺 β†Ύ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
157154, 156eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
158157oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
15935, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
16171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ V)
16273a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
163144, 162sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
164136, 163ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
165142adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝑦) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘¦))
16645, 160, 161, 164, 165gsumsnd 19814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = (πΊβ€˜π‘¦))
167158, 166eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦})) = (πΊβ€˜π‘¦))
168152, 167oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
169146, 168eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦))))
170169adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦))))
171143, 170mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))))
17257, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝐺 β†Ύ 𝑒)
173172oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))
17470, 153ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝐺 β†Ύ {𝑦})
175174oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦})) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦}))
176173, 175oveq12i 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦})))
177171, 176eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦}))))
17870, 69sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
17968, 178feqresmpt 6958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 β†Ύ {𝑦}) = (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
180179oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦})) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
181 cmnmnd 19659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ CMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
18279, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
183 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
18445, 183gsumsn 19816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ V ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜π‘¦))
185182, 140, 76, 184syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜π‘¦))
186180, 185eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦})) = (πΊβ€˜π‘¦))
187186oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
188177, 187eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
189188adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
190113, 135, 1893brtr4d 5179 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
19162, 63, 64, 190syl21anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
192191exp31 420 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
193192a2d 29 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
19461, 193syl5 34 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
19510, 18, 26, 34, 56, 194findcard2s 9161 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴))))
196195imp 407 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
1972, 196mpanr2 702 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ πœ‘) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
1981, 197mpancom 686 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
199 fnresdm 6666 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
200104, 199syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
201200oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (𝑀 Ξ£g 𝐹))
202 fnresdm 6666 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐴 β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐴) = 𝐺)
203105, 202syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐴) = 𝐺)
204203oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)) = (𝑀 Ξ£g 𝐺))
205198, 201, 2043brtr3d 5178 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g 𝐹) ≀ (𝑀 Ξ£g 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘r cofr 7665  Fincfn 8935  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  lecple 17200  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Posetcpo 18256  Tosetctos 18365  Mndcmnd 18621  CMndccmn 19642  oMndcomnd 32202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-toset 18366  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-omnd 32204
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator