Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumle 32678
Description: A finite sum in an ordered monoid is monotonic. This proof would be much easier in an ordered group, where an inverse element would be available. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumle.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
gsumle.l ≀ = (leβ€˜π‘€)
gsumle.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
gsumle.n (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
gsumle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
gsumle.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumle.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
gsumle.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumle (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g 𝐹) ≀ (𝑀 Ξ£g 𝐺))
Proof of Theorem gsumle
Dummy variables 𝑒 π‘Ž 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumle.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 4004 . . . 4 𝐴 βŠ† 𝐴
3 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
43anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴)))
5 reseq2 5976 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ βˆ…))
65oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)))
7 reseq2 5976 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ βˆ…))
87oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))
96, 8breq12d 5161 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…))))
104, 9imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))))
11 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ 𝑒 βŠ† 𝐴))
1211anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴)))
13 reseq2 5976 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ 𝑒))
1413oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)))
15 reseq2 5976 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ 𝑒))
1615oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))
1714, 16breq12d 5161 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))))
1812, 17imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))))
19 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴))
2019anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)))
21 reseq2 5976 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})))
2221oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
23 reseq2 5976 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})))
2423oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
2522, 24breq12d 5161 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})))))
2620, 25imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
27 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 βŠ† 𝐴))
2827anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴)))
29 reseq2 5976 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3029oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
31 reseq2 5976 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ 𝐴))
3231oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
3330, 32breq12d 5161 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴))))
3428, 33imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))))
35 gsumle.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
36 omndtos 32659 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
37 tospos 18383 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Poset)
39 res0 5985 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4039oveq2i 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) = (𝑀 Ξ£g βˆ…)
41 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
4241gsum0 18615 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)
4340, 42eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) = (0gβ€˜π‘€)
44 omndmnd 32658 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
45 gsumle.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
4645, 41mndidcl 18680 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
4735, 44, 463syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
4843, 47eqeltrid 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ∈ 𝐡)
49 gsumle.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜π‘€)
5045, 49posref 18281 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Poset ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)))
5138, 48, 50syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)))
52 res0 5985 . . . . . . . . . 10 (𝐺 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
5339, 52eqtr4i 2762 . . . . . . . . 9 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = (𝐺 β†Ύ βˆ…)
5453oveq2i 7423 . . . . . . . 8 (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…))
5551, 54breqtrdi 5189 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))
5655adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))
57 ssun1 4172 . . . . . . . . . 10 𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦})
58 sstr2 3989 . . . . . . . . . 10 (𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
6059anim2i 616 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴))
6160imim1i 63 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))))
62 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴))
63 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒)
64 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))
65 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
6635ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
67 gsumle.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
6867ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
69 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)
70 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦} βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦})
71 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
7271snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↔ {𝑦} βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
7370, 72mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦})
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
7569, 74sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
7668, 75ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
78 gsumle.n . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
7978ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
80 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑒 ∈ V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ V)
82 gsumle.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
8382ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
8457, 69sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
8583, 84fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆπ΅)
861ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
87 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ V)
8883, 86, 87fdmfifsupp 9379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘€))
8988, 87fsuppres 9394 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑒) finSupp (0gβ€˜π‘€))
9045, 41, 79, 81, 85, 89gsumcl 19831 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
9283, 75ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
9468, 84fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆπ΅)
95 ssfi 9179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
9686, 84, 95syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
9794, 96, 87fdmfifsupp 9379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑒) finSupp (0gβ€˜π‘€))
9845, 41, 79, 81, 94, 97gsumcl 19831 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
100 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))
101 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ πœ‘)
102 gsumle.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺)
103102ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺)
10482ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
10567ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
106 inidm 4218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
107 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
108 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
109104, 105, 1, 1, 106, 107, 108ofrval 7686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
110101, 103, 75, 109syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
11279adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
11345, 49, 65, 66, 77, 91, 93, 99, 100, 111, 112omndadd2d 32662 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
11496adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
11582ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
116 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)
117 elun1 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ 𝑒 β†’ 𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
119116, 118sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
120115, 119ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
121120ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ 𝑒 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡))
122121ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑒 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡))
123122imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
12471a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑦 ∈ V)
125 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒)
126 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
12745, 65, 112, 114, 123, 124, 125, 93, 126gsumunsn 19876 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)))
12883, 69feqresmpt 6961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) = (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
129128oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))))
13083, 84feqresmpt 6961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑒) = (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
131130oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§))))
132131oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)))
133129, 132eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦))))
134133adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦))))
135127, 134mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)))
13667adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
137136ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
138119adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
139137, 138ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
14071a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ V)
141 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒)
142 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘¦))
14345, 65, 79, 96, 139, 140, 141, 76, 142gsumunsn 19876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
144 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)
145136, 144feqresmpt 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) = (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
146145oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
147 resabs1 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝐺 β†Ύ 𝑒))
14857, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝐺 β†Ύ 𝑒))
14959adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
150136, 149feqresmpt 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑒) = (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
151148, 150eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
152151oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒)) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
153 resabs1 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({𝑦} βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝐺 β†Ύ {𝑦}))
15470, 153mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝐺 β†Ύ {𝑦}))
15570, 144sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
156136, 155feqresmpt 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐺 β†Ύ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
157154, 156eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
158157oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
15935, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
16171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ V)
16273a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
163144, 162sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
164136, 163ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
165142adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝑦) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘¦))
16645, 160, 161, 164, 165gsumsnd 19868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = (πΊβ€˜π‘¦))
167158, 166eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦})) = (πΊβ€˜π‘¦))
168152, 167oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
169146, 168eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦))))
170169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦))))
171143, 170mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))))
17257, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝐺 β†Ύ 𝑒)
173172oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))
17470, 153ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝐺 β†Ύ {𝑦})
175174oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦})) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦}))
176173, 175oveq12i 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦})))
177171, 176eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦}))))
17870, 69sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
17968, 178feqresmpt 6961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 β†Ύ {𝑦}) = (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
180179oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦})) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
181 cmnmnd 19713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ CMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
18279, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
183 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
18445, 183gsumsn 19870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ V ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜π‘¦))
185182, 140, 76, 184syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜π‘¦))
186180, 185eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦})) = (πΊβ€˜π‘¦))
187186oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
188177, 187eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
189188adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
190113, 135, 1893brtr4d 5180 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
19162, 63, 64, 190syl21anc 835 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
192191exp31 419 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
193192a2d 29 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
19461, 193syl5 34 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
19510, 18, 26, 34, 56, 194findcard2s 9171 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴))))
196195imp 406 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
1972, 196mpanr2 701 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ πœ‘) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
1981, 197mpancom 685 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
199 fnresdm 6669 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
200104, 199syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
201200oveq2d 7428 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (𝑀 Ξ£g 𝐹))
202 fnresdm 6669 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐴 β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐴) = 𝐺)
203105, 202syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐴) = 𝐺)
204203oveq2d 7428 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)) = (𝑀 Ξ£g 𝐺))
205198, 201, 2043brtr3d 5179 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g 𝐹) ≀ (𝑀 Ξ£g 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘r cofr 7673  Fincfn 8945  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  lecple 17211  0gc0g 17392   Ξ£g cgsu 17393  Posetcpo 18270  Tosetctos 18379  Mndcmnd 18665  CMndccmn 19696  oMndcomnd 32651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-toset 18380  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-omnd 32653
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator