Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumle 31981
Description: A finite sum in an ordered monoid is monotonic. This proof would be much easier in an ordered group, where an inverse element would be available. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumle.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
gsumle.l ≀ = (leβ€˜π‘€)
gsumle.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
gsumle.n (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
gsumle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
gsumle.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumle.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
gsumle.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumle (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g 𝐹) ≀ (𝑀 Ξ£g 𝐺))

Proof of Theorem gsumle
Dummy variables 𝑒 π‘Ž 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumle.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 3967 . . . 4 𝐴 βŠ† 𝐴
3 sseq1 3970 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
43anbi2d 630 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴)))
5 reseq2 5933 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ βˆ…))
65oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)))
7 reseq2 5933 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ βˆ…))
87oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))
96, 8breq12d 5119 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…))))
104, 9imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))))
11 sseq1 3970 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ 𝑒 βŠ† 𝐴))
1211anbi2d 630 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴)))
13 reseq2 5933 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ 𝑒))
1413oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)))
15 reseq2 5933 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ 𝑒))
1615oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))
1714, 16breq12d 5119 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))))
1812, 17imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))))
19 sseq1 3970 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴))
2019anbi2d 630 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)))
21 reseq2 5933 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})))
2221oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
23 reseq2 5933 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})))
2423oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
2522, 24breq12d 5119 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})))))
2620, 25imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
27 sseq1 3970 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 βŠ† 𝐴))
2827anbi2d 630 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴)))
29 reseq2 5933 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Ž) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3029oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
31 reseq2 5933 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐺 β†Ύ π‘Ž) = (𝐺 β†Ύ 𝐴))
3231oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
3330, 32breq12d 5119 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴))))
3428, 33imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ π‘Ž)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))))
35 gsumle.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
36 omndtos 31962 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
37 tospos 18314 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Poset)
39 res0 5942 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4039oveq2i 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) = (𝑀 Ξ£g βˆ…)
41 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
4241gsum0 18544 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)
4340, 42eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) = (0gβ€˜π‘€)
44 omndmnd 31961 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
45 gsumle.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
4645, 41mndidcl 18576 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
4735, 44, 463syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
4843, 47eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ∈ 𝐡)
49 gsumle.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜π‘€)
5045, 49posref 18212 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Poset ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)))
5138, 48, 50syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)))
52 res0 5942 . . . . . . . . . 10 (𝐺 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
5339, 52eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = (𝐺 β†Ύ βˆ…)
5453oveq2i 7369 . . . . . . . 8 (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…))
5551, 54breqtrdi 5147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))
5655adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ βˆ…)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ βˆ…)))
57 ssun1 4133 . . . . . . . . . 10 𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦})
58 sstr2 3952 . . . . . . . . . 10 (𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
6059anim2i 618 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴))
6160imim1i 63 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))))
62 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴))
63 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒)
64 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))
65 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
6635ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
67 gsumle.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
69 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)
70 ssun2 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦} βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦})
71 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
7271snss 4747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↔ {𝑦} βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
7370, 72mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦})
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
7569, 74sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
7668, 75ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
7776adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
78 gsumle.n . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
7978ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
80 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑒 ∈ V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ V)
82 gsumle.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
8457, 69sstrid 3956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
8583, 84fssresd 6710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆπ΅)
861ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
87 fvexd 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ V)
8883, 86, 87fdmfifsupp 9320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘€))
8988, 87fsuppres 9335 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑒) finSupp (0gβ€˜π‘€))
9045, 41, 79, 81, 85, 89gsumcl 19697 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
9190adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
9283, 75ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
9392adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
9468, 84fssresd 6710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆπ΅)
95 ssfi 9120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
9686, 84, 95syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
9794, 96, 87fdmfifsupp 9320 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑒) finSupp (0gβ€˜π‘€))
9845, 41, 79, 81, 94, 97gsumcl 19697 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
9998adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)) ∈ 𝐡)
100 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)))
101 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ πœ‘)
102 gsumle.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺)
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺)
10482ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
10567ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
106 inidm 4179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
107 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
108 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
109104, 105, 1, 1, 106, 107, 108ofrval 7630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐺 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
110101, 103, 75, 109syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
111110adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))
11279adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
11345, 49, 65, 66, 77, 91, 93, 99, 100, 111, 112omndadd2d 31965 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
11496adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
11582ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
116 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)
117 elun1 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ 𝑒 β†’ 𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
118117adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
119116, 118sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
120115, 119ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
121120ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ 𝑒 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡))
122121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑒 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡))
123122imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
12471a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ 𝑦 ∈ V)
125 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒)
126 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
12745, 65, 112, 114, 123, 124, 125, 93, 126gsumunsn 19742 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)))
12883, 69feqresmpt 6912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) = (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
129128oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))))
13083, 84feqresmpt 6912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑒) = (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
131130oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§))))
132131oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)))
133129, 132eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦))))
134133adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦))))
135127, 134mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘¦)))
13667adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
137136ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
138119adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
139137, 138ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
14071a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ V)
141 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒)
142 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘¦))
14345, 65, 79, 96, 139, 140, 141, 76, 142gsumunsn 19742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
144 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)
145136, 144feqresmpt 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) = (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
146145oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
147 resabs1 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝐺 β†Ύ 𝑒))
14857, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝐺 β†Ύ 𝑒))
14959adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
150136, 149feqresmpt 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑒) = (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
151148, 150eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
152151oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒)) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
153 resabs1 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({𝑦} βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑦}) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝐺 β†Ύ {𝑦}))
15470, 153mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝐺 β†Ύ {𝑦}))
15570, 144sstrid 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
156136, 155feqresmpt 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐺 β†Ύ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
157154, 156eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
158157oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
15935, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
160159adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
16171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ V)
16273a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))
163144, 162sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
164136, 163ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
165142adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝑦) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘¦))
16645, 160, 161, 164, 165gsumsnd 19734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = (πΊβ€˜π‘¦))
167158, 166eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦})) = (πΊβ€˜π‘¦))
168152, 167oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
169146, 168eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦))))
170169adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = ((𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦))))
171143, 170mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))))
17257, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒) = (𝐺 β†Ύ 𝑒)
173172oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒)) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))
17470, 153ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}) = (𝐺 β†Ύ {𝑦})
175174oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦})) = (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦}))
176173, 175oveq12i 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g ((𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦})) β†Ύ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦})))
177171, 176eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦}))))
17870, 69sstrid 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ {𝑦} βŠ† 𝐴)
17968, 178feqresmpt 6912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝐺 β†Ύ {𝑦}) = (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
180179oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦})) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
181 cmnmnd 19584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ CMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
18279, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
183 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
18445, 183gsumsn 19736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ V ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜π‘¦))
185182, 140, 76, 184syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦} ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (πΊβ€˜π‘¦))
186180, 185eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦})) = (πΊβ€˜π‘¦))
187186oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
188177, 187eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
189188adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) = ((𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))(+gβ€˜π‘€)(πΊβ€˜π‘¦)))
190113, 135, 1893brtr4d 5138 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
19162, 63, 64, 190syl21anc 837 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))
192191exp31 421 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
193192a2d 29 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
19461, 193syl5 34 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑒)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝑒))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑦}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ (𝑒 βˆͺ {𝑦}))))))
19510, 18, 26, 34, 56, 194findcard2s 9112 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴))))
196195imp 408 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
1972, 196mpanr2 703 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ πœ‘) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
1981, 197mpancom 687 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ≀ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)))
199 fnresdm 6621 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
200104, 199syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
201200oveq2d 7374 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (𝑀 Ξ£g 𝐹))
202 fnresdm 6621 . . . 4 (𝐺 Fn 𝐴 β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐴) = 𝐺)
203105, 202syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐴) = 𝐺)
204203oveq2d 7374 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐺 β†Ύ 𝐴)) = (𝑀 Ξ£g 𝐺))
205198, 201, 2043brtr3d 5137 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g 𝐹) ≀ (𝑀 Ξ£g 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   β†Ύ cres 5636   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘r cofr 7617  Fincfn 8886  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  lecple 17145  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Posetcpo 18201  Tosetctos 18310  Mndcmnd 18561  CMndccmn 19567  oMndcomnd 31954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-proset 18189  df-poset 18207  df-toset 18311  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-omnd 31956
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator