MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onint0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onint0 7811
Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
onint0 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onint0
StepHypRef Expression
1 0ex 5313 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
2 eleq1 2827 . . . . . . 7 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
31, 2mpbiri 258 . . . . . 6 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
4 intex 5350 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
53, 4sylibr 234 . . . . 5 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
6 onint 7810 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
75, 6sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴𝐴)
8 eleq1 2827 . . . . 5 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
98adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → ( 𝐴𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
107, 9mpbid 232 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
1110ex 412 . 2 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12 int0el 4984 . 2 (∅ ∈ 𝐴 𝐴 = ∅)
1311, 12impbid1 225 1 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339   cint 4951  Oncon0 6386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390
This theorem is referenced by:  cfeq0  10294
  Copyright terms: Public domain W3C validator