Theorem onint0 7794

Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onint0	⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onint0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5268	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
2		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
3	1, 2	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 ∈ V)
4		intex 5312	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
6		onint 7793	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
8		eleq1 2850	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
10	7, 9	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
11	10	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12		int0el 4942	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 = ∅)
13	11, 12	impbid1 228	1 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∩ cint 4910  Oncon0 6361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-ord 6364  df-on 6365

This theorem is used by:  cfeq0  10262