Theorem onint0 7736

Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onint0	⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onint0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5252	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
2		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 ∈ V)
4		intex 5289	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
6		onint 7735	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
8		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
10	7, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12		int0el 4934	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 = ∅)
13	11, 12	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ∩ cint 4902  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321

This theorem is referenced by:  cfeq0  10166