Theorem onint0 7770

Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onint0	⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onint0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5265	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
2		eleq1 2817	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 ∈ V)
4		intex 5302	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
6		onint 7769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
8		eleq1 2817	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
10	7, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12		int0el 4946	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 = ∅)
13	11, 12	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∩ cint 4913  Oncon0 6335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-ord 6338  df-on 6339

This theorem is referenced by:  cfeq0  10216