MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onint0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onint0 7779
Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
onint0 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onint0
StepHypRef Expression
1 0ex 5308 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
2 eleq1 2822 . . . . . . 7 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
31, 2mpbiri 258 . . . . . 6 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
4 intex 5338 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
53, 4sylibr 233 . . . . 5 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
6 onint 7778 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
75, 6sylan2 594 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴𝐴)
8 eleq1 2822 . . . . 5 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
98adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → ( 𝐴𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
107, 9mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
1110ex 414 . 2 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12 int0el 4984 . 2 (∅ ∈ 𝐴 𝐴 = ∅)
1311, 12impbid1 224 1 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  wss 3949  c0 4323   cint 4951  Oncon0 6365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369
This theorem is referenced by:  cfeq0  10251
  Copyright terms: Public domain W3C validator