MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onint0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onint0 7772
Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
onint0 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onint0
StepHypRef Expression
1 0ex 5297 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
2 eleq1 2813 . . . . . . 7 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
31, 2mpbiri 258 . . . . . 6 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
4 intex 5327 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
53, 4sylibr 233 . . . . 5 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
6 onint 7771 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
75, 6sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴𝐴)
8 eleq1 2813 . . . . 5 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
98adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → ( 𝐴𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
107, 9mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
1110ex 412 . 2 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12 int0el 4973 . 2 (∅ ∈ 𝐴 𝐴 = ∅)
1311, 12impbid1 224 1 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  Vcvv 3466  wss 3940  c0 4314   cint 4940  Oncon0 6354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-br 5139  df-opab 5201  df-tr 5256  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-ord 6357  df-on 6358
This theorem is referenced by:  cfeq0  10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator