Theorem onint0 7631

Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onint0	⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onint0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5234	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
2		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
3	1, 2	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 ∈ V)
4		intex 5264	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
6		onint 7630	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
8		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
10	7, 9	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12		int0el 4915	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 = ∅)
13	11, 12	impbid1 224	1 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  Vcvv 3430   ⊆ wss 3891  ∅c0 4261  ∩ cint 4884  Oncon0 6263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-11 2157  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-sb 2071  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-br 5079  df-opab 5141  df-tr 5196  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-ord 6266  df-on 6267

This theorem is referenced by:  cfeq0  9996