Theorem onssmin 7780

Description: A nonempty class of ordinal numbers has the smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onssmin	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem onssmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 7778	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		intss1 4968	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦)
3	2	rgen 3064	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦
4		sseq1 4008	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∩ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦))
5	4	ralbidv 3178	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∩ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦))
6	5	rspcev 3613	. 2 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)
7	1, 3, 6	sylancl 587	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ∩ cint 4951  Oncon0 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369

This theorem is referenced by:  nummin  34094