Theorem onssmin 7514

Description: A nonempty class of ordinal numbers has the smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onssmin	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem onssmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 7512	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		intss1 4893	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦)
3	2	rgen 3150	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦
4		sseq1 3994	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∩ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦))
5	4	ralbidv 3199	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∩ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦))
6	5	rspcev 3625	. 2 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)
7	1, 3, 6	sylancl 588	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ∩ cint 4878  Oncon0 6193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-ord 6196  df-on 6197

This theorem is referenced by: (None)