MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssmin 7812
Description: A nonempty class of ordinal numbers has the smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
onssmin ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem onssmin
StepHypRef Expression
1 onint 7810 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
2 intss1 4963 . . 3 (𝑦𝐴 𝐴𝑦)
32rgen 3063 . 2 𝑦𝐴 𝐴𝑦
4 sseq1 4009 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑦 𝐴𝑦))
54ralbidv 3178 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝐴𝑦))
65rspcev 3622 . 2 (( 𝐴𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝐴𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
71, 3, 6sylancl 586 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   cint 4946  Oncon0 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388
This theorem is referenced by:  nummin  35105
  Copyright terms: Public domain W3C validator