Theorem onssmin 7812

Description: A nonempty class of ordinal numbers has the smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onssmin	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem onssmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 7810	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		intss1 4968	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦)
3	2	rgen 3061	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦
4		sseq1 4021	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∩ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦))
5	4	ralbidv 3176	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∩ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦))
6	5	rspcev 3622	. 2 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)
7	1, 3, 6	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ∩ cint 4951  Oncon0 6386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390

This theorem is referenced by:  nummin  35084