MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssmin 7732
Description: A nonempty class of ordinal numbers has the smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
onssmin ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem onssmin
StepHypRef Expression
1 onint 7730 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
2 intss1 4929 . . 3 (𝑦𝐴 𝐴𝑦)
32rgen 3067 . 2 𝑦𝐴 𝐴𝑦
4 sseq1 3974 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑦 𝐴𝑦))
54ralbidv 3175 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝐴𝑦))
65rspcev 3584 . 2 (( 𝐴𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝐴𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
71, 3, 6sylancl 587 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3074  wss 3915  c0 4287   cint 4912  Oncon0 6322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-ord 6325  df-on 6326
This theorem is referenced by:  nummin  33735
  Copyright terms: Public domain W3C validator