MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssmin 7487
Description: A nonempty class of ordinal numbers has the smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
onssmin ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem onssmin
StepHypRef Expression
1 onint 7485 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
2 intss1 4864 . . 3 (𝑦𝐴 𝐴𝑦)
32rgen 3136 . 2 𝑦𝐴 𝐴𝑦
4 sseq1 3968 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑦 𝐴𝑦))
54ralbidv 3185 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝐴𝑦))
65rspcev 3600 . 2 (( 𝐴𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 𝐴𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
71, 3, 6sylancl 589 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wral 3126  wrex 3127  wss 3910  c0 4266   cint 4849  Oncon0 6164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-br 5040  df-opab 5102  df-tr 5146  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-ord 6167  df-on 6168
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator