Theorem onssmin 7642

Description: A nonempty class of ordinal numbers has the smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onssmin	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem onssmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 7640	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		intss1 4894	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦)
3	2	rgen 3074	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦
4		sseq1 3946	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∩ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦))
5	4	ralbidv 3112	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∩ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦))
6	5	rspcev 3561	. 2 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)
7	1, 3, 6	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∩ cint 4879  Oncon0 6266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269  df-on 6270

This theorem is referenced by:  nummin  33063