Theorem ordpss 43673

Description: ordelpss 6392 with an antecedent removed. (Contributed by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordpss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem ordpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6386	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
2	1	ex 412	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → Ord 𝐴))
3	2	ancrd 551	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)))
4		ordelpss 6392	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
5	4	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
6	5	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))
7	6	expimpd 453	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊊ 𝐵))
8	3, 7	syld 47	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ⊊ wpss 3949  Ord word 6363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367

This theorem is referenced by: (None)