Theorem ordpss 44413

Description: ordelpss 6348 with an antecedent removed. (Contributed by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordpss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem ordpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6342	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
2	1	ex 412	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → Ord 𝐴))
3	2	ancrd 551	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)))
4		ordelpss 6348	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
5	4	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
6	5	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))
7	6	expimpd 453	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊊ 𝐵))
8	3, 7	syld 47	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊊ wpss 3912  Ord word 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323

This theorem is referenced by: (None)