Theorem ordpss 44894

Description: ordelpss 6338 with an antecedent removed. (Contributed by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordpss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem ordpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6332	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
2	1	ex 413	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → Ord 𝐴))
3	2	ancrd 556	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)))
4		ordelpss 6338	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
5	4	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
6	5	biimpd 230	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))
7	6	expimpd 454	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊊ 𝐵))
8	3, 7	syld 47	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊊ wpss 3884  Ord word 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313

This theorem is referenced by: (None)