Theorem ordelord 6339

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordelord	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Proof of Theorem ordelord

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
2	1	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)))
3		ordeq 6324	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐵))
4	2, 3	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)))
5		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → Ord 𝐴)
6		3anrot 1100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
7		3anass 1095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	6, 7	bitr3i 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
9		ordtr 6331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
10		trel3 5232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
12	8, 11	biimtrrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐴))
13	12	impl 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
14		trel 5231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
16	15	expcomd 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
17	16	imp31 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18	17	adantrl 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20		ordwe 6330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
21		wetrep 5626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
22	20, 21	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
23	5, 13, 18, 19, 22	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
24	23	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)))
25	24	pm2.43d 53	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
26	25	alrimivv 1931	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
27		dftr2 5224	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
28	26, 27	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Tr 𝑥)
29		trss 5233	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
30	9, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
31		wess 5620	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ( E We 𝐴 → E We 𝑥))
32	30, 20, 31	syl6ci 71	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → E We 𝑥))
33	32	imp 407	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → E We 𝑥)
34		df-ord 6320	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑥 ↔ (Tr 𝑥 ∧ E We 𝑥))
35	28, 33, 34	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
36	4, 35	vtoclg 3525	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵))
37	36	anabsi7 669	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910  Tr wtr 5222   E cep 5536   We wwe 5587  Ord word 6316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-ord 6320

This theorem is referenced by:  tron  6340  ordelon  6341  ordtr2  6361  ordintdif  6367  ordsuc  7748  ordsucOLD  7749  ordsucss  7753  ordsucelsuc  7757  ordsucuniel  7759  limsssuc  7786  smores  8298  smo11  8310  smoord  8311  smoword  8312  smogt  8313  smocdmdom  8314  rdglim2  8378  oesuclem  8471  ordtypelem3  9456  r1val1  9722  rankr1ag  9738  fin23lem24  10258  onsuct0  34913  dford3  41338  ordeldif  41579  ordeldifsucon  41580  ordeldif1o  41581  ordnexbtwnsuc  41588  ordpss  42721