Theorem ordelord 6349

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordelord	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Proof of Theorem ordelord

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
2	1	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)))
3		ordeq 6334	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐵))
4	2, 3	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)))
5		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → Ord 𝐴)
6		3anrot 1100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
7		3anass 1095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	6, 7	bitr3i 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
9		ordtr 6341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
10		trel3 5216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
12	8, 11	biimtrrid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐴))
13	12	impl 455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
14		trel 5215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
16	15	expcomd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
17	16	imp31 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18	17	adantrl 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20		ordwe 6340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
21		wetrep 5627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
22	20, 21	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
23	5, 13, 18, 19, 22	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
24	23	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)))
25	24	pm2.43d 53	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
26	25	alrimivv 1930	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
27		dftr2 5209	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
28	26, 27	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Tr 𝑥)
29		trss 5217	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
30	9, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
31		wess 5620	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ( E We 𝐴 → E We 𝑥))
32	30, 20, 31	syl6ci 71	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → E We 𝑥))
33	32	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → E We 𝑥)
34		df-ord 6330	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑥 ↔ (Tr 𝑥 ∧ E We 𝑥))
35	28, 33, 34	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
36	4, 35	vtoclg 3513	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵))
37	36	anabsi7 672	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  Tr wtr 5207   E cep 5533   We wwe 5586  Ord word 6326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-ord 6330

This theorem is referenced by:  tron  6350  ordelon  6351  ordtr2  6372  ordintdif  6378  ordsuc  7768  ordsucss  7772  ordsucelsuc  7776  ordsucuniel  7778  limsssuc  7804  smores  8296  smo11  8308  smoord  8309  smoword  8310  smogt  8311  smocdmdom  8312  rdglim2  8375  oesuclem  8464  ordtypelem3  9439  r1val1  9712  rankr1ag  9728  fin23lem24  10246  onsuct0  36663  dford3  43414  ordeldif  43644  ordeldifsucon  43645  ordeldif1o  43646  ordnexbtwnsuc  43653  ordpss  44835