MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelord 6288
Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordelord ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)

Proof of Theorem ordelord
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
21anbi2d 629 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((Ord 𝐴𝑥𝐴) ↔ (Ord 𝐴𝐵𝐴)))
3 ordeq 6273 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐵))
42, 3imbi12d 345 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Ord 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)))
5 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → Ord 𝐴)
6 3anrot 1099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑧𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴))
7 3anass 1094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑧𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)))
86, 7bitr3i 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)))
9 ordtr 6280 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
10 trel3 5199 . . . . . . . . . . . 12 (Tr 𝐴 → ((𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑧𝐴))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝐴 → ((𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑧𝐴))
128, 11syl5bir 242 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴 → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑧𝐴))
1312impl 456 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑧𝐴)
14 trel 5198 . . . . . . . . . . . . 13 (Tr 𝐴 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
159, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
1615expcomd 417 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝐴 → (𝑥𝐴 → (𝑦𝑥𝑦𝐴)))
1716imp31 418 . . . . . . . . . 10 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
1817adantrl 713 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
19 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑥𝐴)
20 ordwe 6279 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
21 wetrep 5582 . . . . . . . . . 10 (( E We 𝐴 ∧ (𝑧𝐴𝑦𝐴𝑥𝐴)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2220, 21sylan 580 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐴 ∧ (𝑧𝐴𝑦𝐴𝑥𝐴)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
235, 13, 18, 19, 22syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2423ex 413 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)))
2524pm2.43d 53 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2625alrimivv 1931 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
27 dftr2 5193 . . . . 5 (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2826, 27sylibr 233 . . . 4 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Tr 𝑥)
29 trss 5200 . . . . . . 7 (Tr 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
309, 29syl 17 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
31 wess 5576 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ( E We 𝐴 → E We 𝑥))
3230, 20, 31syl6ci 71 . . . . 5 (Ord 𝐴 → (𝑥𝐴 → E We 𝑥))
3332imp 407 . . . 4 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → E We 𝑥)
34 df-ord 6269 . . . 4 (Ord 𝑥 ↔ (Tr 𝑥 ∧ E We 𝑥))
3528, 33, 34sylanbrc 583 . . 3 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Ord 𝑥)
364, 35vtoclg 3505 . 2 (𝐵𝐴 → ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵))
3736anabsi7 668 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3887  Tr wtr 5191   E cep 5494   We wwe 5543  Ord word 6265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269
This theorem is referenced by:  tron  6289  ordelon  6290  ordtr2  6310  ordintdif  6315  ordsuc  7661  ordsucss  7665  ordsucelsuc  7669  ordsucuniel  7671  limsssuc  7697  smores  8183  smo11  8195  smoord  8196  smoword  8197  smogt  8198  smorndom  8199  rdglim2  8263  oesuclem  8355  ordtypelem3  9279  r1val1  9544  rankr1ag  9560  fin23lem24  10078  onsuct0  34630  dford3  40850  ordpss  42069
  Copyright terms: Public domain W3C validator