Theorem ordelord 6204

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordelord	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Proof of Theorem ordelord

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
2	1	anbi2d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)))
3		ordeq 6189	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐵))
4	2, 3	imbi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)))
5		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → Ord 𝐴)
6		3anrot 1101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
7		3anass 1096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	6, 7	bitr3i 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
9		ordtr 6196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
10		trel3 5154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
12	8, 11	syl5bir 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐴))
13	12	impl 459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
14		trel 5153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
16	15	expcomd 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
17	16	imp31 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18	17	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20		ordwe 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
21		wetrep 5528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
22	20, 21	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
23	5, 13, 18, 19, 22	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
24	23	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)))
25	24	pm2.43d 53	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
26	25	alrimivv 1935	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
27		dftr2 5148	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
28	26, 27	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Tr 𝑥)
29		trss 5155	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
30	9, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
31		wess 5522	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ( E We 𝐴 → E We 𝑥))
32	30, 20, 31	syl6ci 71	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → E We 𝑥))
33	32	imp 410	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → E We 𝑥)
34		df-ord 6185	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑥 ↔ (Tr 𝑥 ∧ E We 𝑥))
35	28, 33, 34	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
36	4, 35	vtoclg 3473	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵))
37	36	anabsi7 671	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3853  Tr wtr 5146   E cep 5443   We wwe 5492  Ord word 6181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2162  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-sb 2075  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-ne 2936  df-ral 3059  df-v 3402  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-tr 5147  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-ord 6185

This theorem is referenced by:  tron  6205  ordelon  6206  ordtr2  6226  ordintdif  6231  ordsuc  7560  ordsucss  7564  ordsucelsuc  7568  ordsucuniel  7570  limsssuc  7596  smores  8030  smo11  8042  smoord  8043  smoword  8044  smogt  8045  smorndom  8046  rdglim2  8109  oesuclem  8193  ordtypelem3  9069  r1val1  9300  rankr1ag  9316  fin23lem24  9834  onsuct0  34285  dford3  40462  ordpss  41647