MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelord 6408
Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordelord ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)

Proof of Theorem ordelord
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
21anbi2d 630 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((Ord 𝐴𝑥𝐴) ↔ (Ord 𝐴𝐵𝐴)))
3 ordeq 6393 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐵))
42, 3imbi12d 344 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Ord 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)))
5 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → Ord 𝐴)
6 3anrot 1099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑧𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴))
7 3anass 1094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑧𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)))
86, 7bitr3i 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)))
9 ordtr 6400 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
10 trel3 5275 . . . . . . . . . . . 12 (Tr 𝐴 → ((𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑧𝐴))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝐴 → ((𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑧𝐴))
128, 11biimtrrid 243 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴 → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑧𝐴))
1312impl 455 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑧𝐴)
14 trel 5274 . . . . . . . . . . . . 13 (Tr 𝐴 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
159, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
1615expcomd 416 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝐴 → (𝑥𝐴 → (𝑦𝑥𝑦𝐴)))
1716imp31 417 . . . . . . . . . 10 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
1817adantrl 716 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
19 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → 𝑥𝐴)
20 ordwe 6399 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
21 wetrep 5682 . . . . . . . . . 10 (( E We 𝐴 ∧ (𝑧𝐴𝑦𝐴𝑥𝐴)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2220, 21sylan 580 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐴 ∧ (𝑧𝐴𝑦𝐴𝑥𝐴)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
235, 13, 18, 19, 22syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((Ord 𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑦𝑦𝑥)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2423ex 412 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)))
2524pm2.43d 53 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2625alrimivv 1926 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
27 dftr2 5267 . . . . 5 (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2826, 27sylibr 234 . . . 4 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Tr 𝑥)
29 trss 5276 . . . . . . 7 (Tr 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
309, 29syl 17 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
31 wess 5675 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ( E We 𝐴 → E We 𝑥))
3230, 20, 31syl6ci 71 . . . . 5 (Ord 𝐴 → (𝑥𝐴 → E We 𝑥))
3332imp 406 . . . 4 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → E We 𝑥)
34 df-ord 6389 . . . 4 (Ord 𝑥 ↔ (Tr 𝑥 ∧ E We 𝑥))
3528, 33, 34sylanbrc 583 . . 3 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Ord 𝑥)
364, 35vtoclg 3554 . 2 (𝐵𝐴 → ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵))
3736anabsi7 671 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  Tr wtr 5265   E cep 5588   We wwe 5640  Ord word 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389
This theorem is referenced by:  tron  6409  ordelon  6410  ordtr2  6430  ordintdif  6436  ordsuc  7833  ordsucOLD  7834  ordsucss  7838  ordsucelsuc  7842  ordsucuniel  7844  limsssuc  7871  smores  8391  smo11  8403  smoord  8404  smoword  8405  smogt  8406  smocdmdom  8407  rdglim2  8471  oesuclem  8562  ordtypelem3  9558  r1val1  9824  rankr1ag  9840  fin23lem24  10360  onsuct0  36424  dford3  43017  ordeldif  43248  ordeldifsucon  43249  ordeldif1o  43250  ordnexbtwnsuc  43257  ordpss  44447
  Copyright terms: Public domain W3C validator