Theorem ordelord 6384

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordelord	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Proof of Theorem ordelord

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
2	1	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)))
3		ordeq 6369	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐵))
4	2, 3	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)))
5		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → Ord 𝐴)
6		3anrot 1117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
7		3anass 1111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	6, 7	bitr3i 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
9		ordtr 6376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
10		trel3 5220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
12	8, 11	biimtrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐴))
13	12	impl 461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
14		trel 5219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
15	9, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
16	15	expcomd 422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
17	16	imp31 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18	17	adantrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20		ordwe 6375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
21		wetrep 5643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
22	20, 21	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
23	5, 13, 18, 19, 22	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
24	23	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)))
25	24	pm2.43d 54	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
26	25	alrimivv 1960	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
27		dftr2 5213	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
28	26, 27	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Tr 𝑥)
29		trss 5221	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
30	9, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
31		wess 5636	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ( E We 𝐴 → E We 𝑥))
32	30, 20, 31	syl6ci 72	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → E We 𝑥))
33	32	imp 412	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → E We 𝑥)
34		df-ord 6365	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑥 ↔ (Tr 𝑥 ∧ E We 𝑥))
35	28, 33, 34	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
36	4, 35	vtoclg 3517	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵))
37	36	anabsi7 684	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  Tr wtr 5211   E cep 5549   We wwe 5602  Ord word 6361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365

This theorem is used by:  tron  6385  ordelon  6386  ordpss  6391  ordtr2  6408  ordintdif  6414  ordsuc  7825  ordsucss  7829  ordsucelsuc  7833  ordsucuniel  7835  limsssuc  7861  smores  8360  smo11  8372  smoord  8373  smoword  8374  smogt  8375  smocdmdom  8376  rdglim2  8440  oesuclem  8533  ordtypelem3  9514  r1val1  9793  rankr1ag  9810  fin23lem24  10400  onsuct0  37229  dford3  44035  ordeldif  44260  ordeldifsucon  44261  ordeldif1o  44262  ordnexbtwnsuc  44269