Theorem ordelord 6406

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordelord	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Proof of Theorem ordelord

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
2	1	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)))
3		ordeq 6391	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐵))
4	2, 3	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)))
5		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → Ord 𝐴)
6		3anrot 1100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
7		3anass 1095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	6, 7	bitr3i 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
9		ordtr 6398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
10		trel3 5269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴))
12	8, 11	biimtrrid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐴))
13	12	impl 455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
14		trel 5268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
16	15	expcomd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
17	16	imp31 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18	17	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20		ordwe 6397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
21		wetrep 5678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
22	20, 21	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
23	5, 13, 18, 19, 22	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
24	23	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)))
25	24	pm2.43d 53	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
26	25	alrimivv 1928	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
27		dftr2 5261	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
28	26, 27	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Tr 𝑥)
29		trss 5270	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
30	9, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
31		wess 5671	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ( E We 𝐴 → E We 𝑥))
32	30, 20, 31	syl6ci 71	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → E We 𝑥))
33	32	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → E We 𝑥)
34		df-ord 6387	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑥 ↔ (Tr 𝑥 ∧ E We 𝑥))
35	28, 33, 34	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
36	4, 35	vtoclg 3554	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵))
37	36	anabsi7 671	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  Tr wtr 5259   E cep 5583   We wwe 5636  Ord word 6383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387

This theorem is referenced by:  tron  6407  ordelon  6408  ordtr2  6428  ordintdif  6434  ordsuc  7833  ordsucOLD  7834  ordsucss  7838  ordsucelsuc  7842  ordsucuniel  7844  limsssuc  7871  smores  8392  smo11  8404  smoord  8405  smoword  8406  smogt  8407  smocdmdom  8408  rdglim2  8472  oesuclem  8563  ordtypelem3  9560  r1val1  9826  rankr1ag  9842  fin23lem24  10362  onsuct0  36442  dford3  43040  ordeldif  43271  ordeldifsucon  43272  ordeldif1o  43273  ordnexbtwnsuc  43280  ordpss  44470