Theorem ordelpss 6385

Description: For ordinal classes, membership is equivalent to strict inclusion. Corollary 7.8 of [TakeutiZaring] p. 37. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordelpss	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem ordelpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelssne 6384	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
2		df-pss 3919	. 2 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3	1, 2	bitr4di 292	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  Ord word 6356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6360

This theorem is used by:  ordpss  6386  ordsseleq  6387  ordtri3or  6390  ordtr2  6403  onpsssuc  7816  php4  9207  nndomog  9210  onomeneq  9211  findcard3  9256  findcard4  38466  ordsssucb  44179  oaun3lem1  44218  oaun3lem2  44219