Theorem ordelpss 6334

Description: For ordinal classes, membership is equivalent to strict inclusion. Corollary 7.8 of [TakeutiZaring] p. 37. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordelpss	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem ordelpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelssne 6333	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
2		df-pss 3917	. 2 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3	1, 2	bitr4di 289	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3897   ⊊ wpss 3898  Ord word 6305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-ord 6309

This theorem is referenced by:  ordsseleq  6335  ordtri3or  6338  ordtr2  6351  onpsssuc  7749  php4  9119  nndomog  9122  onomeneq  9123  findcard3  9167  ordsssucb  43376  oaun3lem1  43415  oaun3lem2  43416  ordpss  44491