MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelpss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelpss 6414
Description: For ordinal classes, membership is equivalent to strict inclusion. Corollary 7.8 of [TakeutiZaring] p. 37. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ordelpss ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ordelpss
StepHypRef Expression
1 ordelssne 6413 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵)))
2 df-pss 3983 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
31, 2bitr4di 289 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  wpss 3964  Ord word 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389
This theorem is referenced by:  ordsseleq  6415  ordtri3or  6418  ordtr2  6430  onpsssuc  7839  php4  9248  nndomog  9251  nndomogOLD  9261  onomeneq  9263  findcard3  9316  ordsssucb  43325  oaun3lem1  43364  oaun3lem2  43365  ordpss  44447
  Copyright terms: Public domain W3C validator