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Theorem posglbmo 18370
Description: Greatest lower bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by NM, 20-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubmo.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
poslubmo.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
posglbmo ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯, ≀ ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem posglbmo
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 778 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦)
2 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ 𝑀 ≀ 𝑦))
32ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦))
4 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ 𝑀 ≀ π‘₯))
53, 4imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 β†’ 𝑀 ≀ π‘₯)))
6 simprlr 777 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
7 simplrr 775 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
85, 6, 7rspcdva 3613 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 β†’ 𝑀 ≀ π‘₯))
91, 8mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ 𝑀 ≀ π‘₯)
10 simprll 776 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦)
11 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
1211ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦))
13 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 ≀ 𝑀 ↔ π‘₯ ≀ 𝑀))
1412, 13imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)))
15 simprrr 779 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀))
16 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1714, 15, 16rspcdva 3613 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑀))
1810, 17mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
19 ancom 460 . . . . . . . 8 ((𝑀 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑀) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘₯))
20 poslubmo.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
21 poslubmo.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2220, 21posasymb 18277 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘₯) ↔ π‘₯ = 𝑀))
2319, 22bitrid 283 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑀) ↔ π‘₯ = 𝑀))
24233expb 1119 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑀) ↔ π‘₯ = 𝑀))
2524ad4ant13 748 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ ((𝑀 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑀) ↔ π‘₯ = 𝑀))
269, 18, 25mpbi2and 709 . . . 4 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))) β†’ π‘₯ = 𝑀)
2726ex 412 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀))) β†’ π‘₯ = 𝑀))
2827ralrimivva 3199 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀))) β†’ π‘₯ = 𝑀))
29 breq1 5151 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ 𝑀 ≀ 𝑦))
3029ralbidv 3176 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦))
31 breq2 5152 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ 𝑧 ≀ 𝑀))
3231imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))
3332ralbidv 3176 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀)))
3430, 33anbi12d 630 . . 3 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀))))
3534rmo4 3726 . 2 (βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀 ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑀))) β†’ π‘₯ = 𝑀))
3628, 35sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒ*wrmo 3374   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-mo 2533  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-proset 18253  df-poset 18271
This theorem is referenced by:  glbeldm2  47678
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