MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  poslubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poslubd 18131
Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubd.l = (le‘𝐾)
poslubd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
poslubd.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
poslubd.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
poslubd.s (𝜑𝑆𝐵)
poslubd.t (𝜑𝑇𝐵)
poslubd.ub ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
poslubd.le ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
Assertion
Ref Expression
poslubd (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem poslubd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poslubd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 poslubd.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 poslubd.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 260 . . 3 ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
5 poslubd.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
6 poslubd.s . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6lubval 18074 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))))
8 poslubd.ub . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
98ralrimiva 3103 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇)
10 poslubd.le . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
11103expia 1120 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))
1211ralrimiva 3103 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))
139, 12jca 512 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
14 poslubd.t . . . 4 (𝜑𝑇𝐵)
15 breq2 5078 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 → (𝑥 𝑧𝑥 𝑇))
1615ralbidv 3112 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇))
17 breq1 5077 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑇 → (𝑧 𝑦𝑇 𝑦))
1817imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
1918ralbidv 3112 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦) ↔ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
2016, 19anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑇 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))))
2120rspcev 3561 . . . . . 6 ((𝑇𝐵 ∧ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
2214, 13, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
232, 1poslubmo 18129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆𝐵) → ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
245, 6, 23syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
25 reu5 3361 . . . . 5 (∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ∧ ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))))
2622, 24, 25sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
2720riota2 7258 . . . 4 ((𝑇𝐵 ∧ ∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)) ↔ (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇))
2814, 26, 27syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)) ↔ (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇))
2913, 28mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇)
307, 29eqtrd 2778 1 (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065  ∃!wreu 3066  ∃*wrmo 3067  wss 3887   class class class wbr 5074  cfv 6433  crio 7231  Basecbs 16912  lecple 16969  Posetcpo 18025  lubclub 18027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-proset 18013  df-poset 18031  df-lub 18064
This theorem is referenced by:  poslubdg  18132  lubsscl  46254
  Copyright terms: Public domain W3C validator