MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  poslubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poslubd 18366
Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubd.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
poslubd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
poslubd.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
poslubd.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
poslubd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
poslubd.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
poslubd.ub ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ≀ 𝑇)
poslubd.le ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)
Assertion
Ref Expression
poslubd (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = 𝑇)
Distinct variable groups:   π‘₯, ≀ ,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem poslubd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poslubd.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 poslubd.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 poslubd.u . . 3 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
4 biid 261 . . 3 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦)))
5 poslubd.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6 poslubd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6lubval 18309 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦))))
8 poslubd.ub . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ≀ 𝑇)
98ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑇)
10 poslubd.le . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)
11103expia 1122 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑇 ≀ 𝑦))
1211ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑇 ≀ 𝑦))
139, 12jca 513 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑇 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)))
14 poslubd.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
15 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ π‘₯ ≀ 𝑇))
1615ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑇))
17 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑇 β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ 𝑇 ≀ 𝑦))
1817imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)))
1918ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)))
2016, 19anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑇 β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑇 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑇 ≀ 𝑦))))
2120rspcev 3613 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑇 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑇 ≀ 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦)))
2214, 13, 21syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦)))
232, 1poslubmo 18364 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆƒ*𝑧 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦)))
245, 6, 23syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑧 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦)))
25 reu5 3379 . . . . 5 (βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦)) ∧ βˆƒ*𝑧 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦))))
2622, 24, 25sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦)))
2720riota2 7391 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦))) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑇 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦))) = 𝑇))
2814, 26, 27syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑇 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑇 ≀ 𝑦)) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦))) = 𝑇))
2913, 28mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (℩𝑧 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ 𝑦))) = 𝑇)
307, 29eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆƒ!wreu 3375  βˆƒ*wrmo 3376   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  Basecbs 17144  lecple 17204  Posetcpo 18260  lubclub 18262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-proset 18248  df-poset 18266  df-lub 18299
This theorem is referenced by:  poslubdg  18367  lubsscl  47641
  Copyright terms: Public domain W3C validator