MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  poslubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poslubd 18458
Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubd.l = (le‘𝐾)
poslubd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
poslubd.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
poslubd.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
poslubd.s (𝜑𝑆𝐵)
poslubd.t (𝜑𝑇𝐵)
poslubd.ub ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
poslubd.le ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
Assertion
Ref Expression
poslubd (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem poslubd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poslubd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 poslubd.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 poslubd.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 261 . . 3 ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
5 poslubd.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
6 poslubd.s . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6lubval 18401 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))))
8 poslubd.ub . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
98ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇)
10 poslubd.le . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
11103expia 1122 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))
1211ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))
139, 12jca 511 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
14 poslubd.t . . . 4 (𝜑𝑇𝐵)
15 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 → (𝑥 𝑧𝑥 𝑇))
1615ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇))
17 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑇 → (𝑧 𝑦𝑇 𝑦))
1817imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
1918ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦) ↔ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
2016, 19anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑇 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))))
2120rspcev 3622 . . . . . 6 ((𝑇𝐵 ∧ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
2214, 13, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
232, 1poslubmo 18456 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆𝐵) → ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
245, 6, 23syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
25 reu5 3382 . . . . 5 (∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ∧ ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))))
2622, 24, 25sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
2720riota2 7413 . . . 4 ((𝑇𝐵 ∧ ∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)) ↔ (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇))
2814, 26, 27syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)) ↔ (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇))
2913, 28mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇)
307, 29eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  crio 7387  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  lubclub 18355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391
This theorem is referenced by:  poslubdg  18459  lubsscl  48857
  Copyright terms: Public domain W3C validator