MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  poslubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poslubd 17874
Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubd.l = (le‘𝐾)
poslubd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
poslubd.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
poslubd.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
poslubd.s (𝜑𝑆𝐵)
poslubd.t (𝜑𝑇𝐵)
poslubd.ub ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
poslubd.le ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
Assertion
Ref Expression
poslubd (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem poslubd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poslubd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 poslubd.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 poslubd.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 264 . . 3 ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
5 poslubd.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
6 poslubd.s . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6lubval 17710 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))))
8 poslubd.ub . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
98ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇)
10 poslubd.le . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
11103expia 1122 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))
1211ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))
139, 12jca 515 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
14 poslubd.t . . . 4 (𝜑𝑇𝐵)
15 breq2 5034 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 → (𝑥 𝑧𝑥 𝑇))
1615ralbidv 3109 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇))
17 breq1 5033 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑇 → (𝑧 𝑦𝑇 𝑦))
1817imbi2d 344 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
1918ralbidv 3109 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦) ↔ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
2016, 19anbi12d 634 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑇 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))))
2120rspcev 3526 . . . . . 6 ((𝑇𝐵 ∧ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
2214, 13, 21syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
232, 1poslubmo 17872 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆𝐵) → ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
245, 6, 23syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
25 reu5 3328 . . . . 5 (∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ∧ ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))))
2622, 24, 25sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
2720riota2 7153 . . . 4 ((𝑇𝐵 ∧ ∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)) ↔ (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇))
2814, 26, 27syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)) ↔ (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇))
2913, 28mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇)
307, 29eqtrd 2773 1 (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  wrex 3054  ∃!wreu 3055  ∃*wrmo 3056  wss 3843   class class class wbr 5030  cfv 6339  crio 7126  Basecbs 16586  lecple 16675  Posetcpo 17666  lubclub 17668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-proset 17654  df-poset 17672  df-lub 17700
This theorem is referenced by:  poslubdg  17875
  Copyright terms: Public domain W3C validator