MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  poslubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poslubd 17460
Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubd.l = (le‘𝐾)
poslubd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
poslubd.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
poslubd.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
poslubd.s (𝜑𝑆𝐵)
poslubd.t (𝜑𝑇𝐵)
poslubd.ub ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
poslubd.le ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
Assertion
Ref Expression
poslubd (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem poslubd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poslubd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 poslubd.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 poslubd.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 253 . . 3 ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
5 poslubd.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
6 poslubd.s . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6lubval 17296 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))))
8 poslubd.ub . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
98ralrimiva 3145 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇)
10 poslubd.le . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
11103expia 1151 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))
1211ralrimiva 3145 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))
139, 12jca 508 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
14 poslubd.t . . . 4 (𝜑𝑇𝐵)
15 breq2 4845 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 → (𝑥 𝑧𝑥 𝑇))
1615ralbidv 3165 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇))
17 breq1 4844 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑇 → (𝑧 𝑦𝑇 𝑦))
1817imbi2d 332 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
1918ralbidv 3165 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦) ↔ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)))
2016, 19anbi12d 625 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑇 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))))
2120rspcev 3495 . . . . . 6 ((𝑇𝐵 ∧ (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
2214, 13, 21syl2anc 580 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
232, 1poslubmo 17458 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆𝐵) → ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
245, 6, 23syl2anc 580 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
25 reu5 3340 . . . . 5 (∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ↔ (∃𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)) ∧ ∃*𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))))
2622, 24, 25sylanbrc 579 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦)))
2720riota2 6859 . . . 4 ((𝑇𝐵 ∧ ∃!𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)) ↔ (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇))
2814, 26, 27syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑥𝑆 𝑥 𝑇 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑇 𝑦)) ↔ (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇))
2913, 28mpbid 224 . 2 (𝜑 → (𝑧𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑧 ∧ ∀𝑦𝐵 (∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦𝑧 𝑦))) = 𝑇)
307, 29eqtrd 2831 1 (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  wrex 3088  ∃!wreu 3089  ∃*wrmo 3090  wss 3767   class class class wbr 4841  cfv 6099  crio 6836  Basecbs 16181  lecple 16271  Posetcpo 17252  lubclub 17254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-proset 17240  df-poset 17258  df-lub 17286
This theorem is referenced by:  poslubdg  17461
  Copyright terms: Public domain W3C validator