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Theorem poslubmo 18410
Description: Least upper bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubmo.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
poslubmo.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
poslubmo ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
Distinct variable groups:   π‘₯, ≀ ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem poslubmo
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 779 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀)
2 breq2 5156 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ 𝑦 ≀ 𝑀))
32ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀))
4 breq2 5156 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ π‘₯ ≀ 𝑀))
53, 4imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)))
6 simprlr 778 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
7 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
85, 6, 7rspcdva 3612 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 β†’ π‘₯ ≀ 𝑀))
91, 8mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ π‘₯ ≀ 𝑀)
10 simprll 777 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯)
11 breq2 5156 . . . . . . . . 9 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ 𝑦 ≀ π‘₯))
1211ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯))
13 breq2 5156 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑀 ≀ 𝑧 ↔ 𝑀 ≀ π‘₯))
1412, 13imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝑀 ≀ π‘₯)))
15 simprrr 780 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧))
16 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1714, 15, 16rspcdva 3612 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝑀 ≀ π‘₯))
1810, 17mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ 𝑀 ≀ π‘₯)
19 poslubmo.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
20 poslubmo.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2119, 20posasymb 18318 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘₯) ↔ π‘₯ = 𝑀))
22213expb 1117 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘₯) ↔ π‘₯ = 𝑀))
2322ad4ant13 749 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘₯) ↔ π‘₯ = 𝑀))
249, 18, 23mpbi2and 710 . . . 4 ((((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))) β†’ π‘₯ = 𝑀)
2524ex 411 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧))) β†’ π‘₯ = 𝑀))
2625ralrimivva 3198 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧))) β†’ π‘₯ = 𝑀))
27 breq2 5156 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝑦 ≀ 𝑀))
2827ralbidv 3175 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀))
29 breq1 5155 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ 𝑀 ≀ 𝑧))
3029imbi2d 339 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))
3130ralbidv 3175 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧)))
3228, 31anbi12d 630 . . 3 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧))))
3332rmo4 3727 . 2 (βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑀 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ 𝑀 ≀ 𝑧))) β†’ π‘₯ = 𝑀))
3426, 33sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒ*wrmo 3373   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  Posetcpo 18306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-nul 5310
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-mo 2529  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-iota 6505  df-fv 6561  df-proset 18294  df-poset 18312
This theorem is referenced by:  poslubd  18412  lubeldm2  48053
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