MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posasymb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem posasymb 18276
Description: A poset ordering is asymmetric. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
posi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
posi.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
posasymb ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Proof of Theorem posasymb
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2 simp2 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simp3 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 posi.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 posi.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
64, 5posi 18274 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 = π‘Œ) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
71, 2, 3, 3, 6syl13anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 = π‘Œ) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
87simp2d 1141 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
94, 5posref 18275 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
10 breq2 5151 . . . . 5 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
119, 10syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
12 breq1 5150 . . . . 5 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ π‘Œ ≀ 𝑋))
139, 12syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ π‘Œ ≀ 𝑋))
1411, 13jcad 511 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋)))
15143adant3 1130 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋)))
168, 15impbid 211 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-nul 5305
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-iota 6494  df-fv 6550  df-proset 18252  df-poset 18270
This theorem is referenced by:  odupos  18285  pltnle  18295  pltval3  18296  lublecllem  18317  poslubmo  18368  posglbmo  18369  latasymb  18399  latleeqj1  18408  latleeqm1  18424  posrasymb  32402  mgcf1olem1  32438  mgcf1olem2  32439  archirngz  32605  archiabllem1a  32607  ople0  38360  op1le  38365  atlle0  38478
  Copyright terms: Public domain W3C validator