MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posasymb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem posasymb 18277
Description: A poset ordering is asymmetric. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
posi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
posi.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
posasymb ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Proof of Theorem posasymb
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2 simp2 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simp3 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 posi.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 posi.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
64, 5posi 18275 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 = π‘Œ) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
71, 2, 3, 3, 6syl13anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 = π‘Œ) ∧ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
87simp2d 1142 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
94, 5posref 18276 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
10 breq2 5152 . . . . 5 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
119, 10syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
12 breq1 5151 . . . . 5 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ π‘Œ ≀ 𝑋))
139, 12syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ π‘Œ ≀ 𝑋))
1411, 13jcad 512 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋)))
15143adant3 1131 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋)))
168, 15impbid 211 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-proset 18253  df-poset 18271
This theorem is referenced by:  odupos  18286  pltnle  18296  pltval3  18297  lublecllem  18318  poslubmo  18369  posglbmo  18370  latasymb  18400  latleeqj1  18409  latleeqm1  18425  posrasymb  32403  mgcf1olem1  32439  mgcf1olem2  32440  archirngz  32606  archiabllem1a  32608  ople0  38361  op1le  38366  atlle0  38479
  Copyright terms: Public domain W3C validator