Theorem glbeldm2 48988

Description: Member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubeldm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubeldm2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
glbeldm2.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbeldm2.p	⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
glbeldm2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)

Assertion

Ref	Expression
glbeldm2	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubeldm2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lubeldm2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		glbeldm2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		glbeldm2.p	. . . . 5 ⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
5		glbeldm2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
6	1, 2, 3, 4, 5	glbeldm 18265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))
7	6	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
8		reurex 3350	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
9	8	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
11		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝜑)
12		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	2, 1	posglbmo 18311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
14	5, 13	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
15	4	rmobii 3354	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
16	14, 15	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
17	16	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
18		reu5 3348	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
19	17, 18	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
20	19	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
21	6	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
22	11, 12, 20, 21	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
23	10, 22	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  ∃*wrmo 3345   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086  dom cdm 5611  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  lecple 17163  Posetcpo 18208  glbcglb 18211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-proset 18195  df-poset 18214  df-glb 18246

This theorem is referenced by:  glbeldm2d  48990  glbsscl  48992