Theorem glbeldm2 47678

Description: Member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubeldm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubeldm2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
glbeldm2.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbeldm2.p	⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
glbeldm2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)

Assertion

Ref	Expression
glbeldm2	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubeldm2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lubeldm2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		glbeldm2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		glbeldm2.p	. . . . 5 ⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
5		glbeldm2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
6	1, 2, 3, 4, 5	glbeldm 18324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))
7	6	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
8		reurex 3379	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
9	8	anim2i 616	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ dom 𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
11		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝜑)
12		simprl 768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	2, 1	posglbmo 18370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
14	5, 13	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
15	4	rmobii 3383	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
16	14, 15	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
17	16	anim1ci 615	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
18		reu5 3377	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
19	17, 18	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
20	19	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
21	6	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
22	11, 12, 20, 21	syl12anc 834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
23	10, 22	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ∃!wreu 3373  ∃*wrmo 3374   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ‘cfv 6543  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18265  glbcglb 18268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-proset 18253  df-poset 18271  df-glb 18305

This theorem is referenced by:  glbeldm2d  47680  glbsscl  47682