Theorem preimafvn0 46499

Description: The preimage of a function value is not empty. (Contributed by AV, 7-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
preimafvn0	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝑋)}) ≠ ∅)

Proof of Theorem preimafvn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimafvsnel 46498	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝑋)}))
2	1	ne0d 4327	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝑋)}) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∅c0 4314  {csn 4620  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-fv 6541

This theorem is referenced by: (None)