Theorem reldmopsr 22032

Description: Lemma for ordered power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmopsr	⊢ Rel dom ordPwSer

Proof of Theorem reldmopsr

Dummy variables 𝑟 𝑖 𝑝 𝑠 ℎ 𝑑 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-opsr 21901	. 2 ⊢ ordPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ (𝑟 ∈ 𝒫 (𝑖 × 𝑖) ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑠) / 𝑝⦌(𝑝 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑝) ∧ ([{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑]∃𝑧 ∈ 𝑑 ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑠)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑑 (𝑤(𝑟 <bag 𝑖)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩)))
2	1	reldmmpo 7492	1 ⊢ Rel dom ordPwSer

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430  [wsbc 3729  ⦋csb 3838   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  {copab 5148   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   “ cima 5625  Rel wrel 5627  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764  Fincfn 8884  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426   sSet csts 17122  ndxcnx 17152  Basecbs 17168  lecple 17216  ltcplt 18263   mPwSer cmps 21892   <_bag cltb 21895   ordPwSer copws 21896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5628  df-rel 5629  df-dm 5632  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-opsr 21901

This theorem is referenced by:  opsrle  22034  opsrbaslem  22036  psr1val  22158