Theorem reldmopsr 21606

Description: Lemma for ordered power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmopsr	⊢ Rel dom ordPwSer

Proof of Theorem reldmopsr

Dummy variables 𝑟 𝑖 𝑝 𝑠 ℎ 𝑑 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-opsr 21472	. 2 ⊢ ordPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ (𝑟 ∈ 𝒫 (𝑖 × 𝑖) ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑠) / 𝑝⦌(𝑝 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑝) ∧ ([{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑]∃𝑧 ∈ 𝑑 ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑠)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑑 (𝑤(𝑟 <bag 𝑖)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩)))
2	1	reldmmpo 7545	1 ⊢ Rel dom ordPwSer

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  [wsbc 3777  ⦋csb 3893   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  {cpr 4630  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676   “ cima 5679  Rel wrel 5681  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℕcn 12214  ℕ₀cn0 12474   sSet csts 17098  ndxcnx 17128  Basecbs 17146  lecple 17206  ltcplt 18263   mPwSer cmps 21463   <_bag cltb 21466   ordPwSer copws 21467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-dm 5686  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-opsr 21472

This theorem is referenced by:  opsrle  21608  opsrbaslem  21610  opsrbaslemOLD  21611  psr1val  21716