Theorem reldmopsr 22090

Description: Lemma for ordered power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmopsr	⊢ Rel dom ordPwSer

Proof of Theorem reldmopsr

Dummy variables 𝑟 𝑖 𝑝 𝑠 ℎ 𝑑 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-opsr 21960	. 2 ⊢ ordPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ (𝑟 ∈ 𝒫 (𝑖 × 𝑖) ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑠) / 𝑝⦌(𝑝 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑝) ∧ ([{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑]∃𝑧 ∈ 𝑑 ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑠)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑑 (𝑤(𝑟 <bag 𝑖)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩)))
2	1	reldmmpo 7574	1 ⊢ Rel dom ordPwSer

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3481  [wsbc 3794  ⦋csb 3911   ⊆ wss 3966  𝒫 cpw 4608  {cpr 4636  ⟨cop 4640   class class class wbr 5151  {copab 5213   ↦ cmpt 5234   × cxp 5691  ^◡ccnv 5692  dom cdm 5693   “ cima 5696  Rel wrel 5698  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   ↑_m cmap 8874  Fincfn 8993  ℕcn 12273  ℕ₀cn0 12533   sSet csts 17206  ndxcnx 17236  Basecbs 17254  lecple 17314  ltcplt 18375   mPwSer cmps 21951   <_bag cltb 21954   ordPwSer copws 21955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-br 5152  df-opab 5214  df-xp 5699  df-rel 5700  df-dm 5703  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-opsr 21960

This theorem is referenced by:  opsrle  22092  opsrbaslem  22094  opsrbaslemOLD  22095  psr1val  22212