Theorem reldmopsr 19796

Description: Lemma for ordered power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmopsr	⊢ Rel dom ordPwSer

Proof of Theorem reldmopsr

Dummy variables 𝑟 𝑖 𝑝 𝑠 ℎ 𝑑 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-opsr 19683	. 2 ⊢ ordPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ (𝑟 ∈ 𝒫 (𝑖 × 𝑖) ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑠) / 𝑝⦌(𝑝 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑝) ∧ ([{ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑]∃𝑧 ∈ 𝑑 ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑠)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑑 (𝑤(𝑟 <bag 𝑖)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩)))
2	1	reldmmpt2 7005	1 ⊢ Rel dom ordPwSer

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∨ wo 874   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  {crab 3093  Vcvv 3385  [wsbc 3633  ⦋csb 3728   ⊆ wss 3769  𝒫 cpw 4349  {cpr 4370  ⟨cop 4374   class class class wbr 4843  {copab 4905   ↦ cmpt 4922   × cxp 5310  ^◡ccnv 5311  dom cdm 5312   “ cima 5315  Rel wrel 5317  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↑_𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195  ℕcn 11312  ℕ₀cn0 11580  ndxcnx 16181   sSet csts 16182  Basecbs 16184  lecple 16274  ltcplt 17256   mPwSer cmps 19674   <_bag cltb 19677   ordPwSer copws 19678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-br 4844  df-opab 4906  df-xp 5318  df-rel 5319  df-dm 5322  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-opsr 19683

This theorem is referenced by:  opsrle  19798  opsrbaslem  19800  psr1val  19878