Theorem reldmopsr 22025

Description: Lemma for ordered power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmopsr	⊢ Rel dom ordPwSer

Proof of Theorem reldmopsr

Dummy variables 𝑟 𝑖 𝑝 𝑠 ℎ 𝑑 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-opsr 21892	. 2 ⊢ ordPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ (𝑟 ∈ 𝒫 (𝑖 × 𝑖) ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑠) / 𝑝⦌(𝑝 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑝) ∧ ([{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑]∃𝑧 ∈ 𝑑 ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑠)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑑 (𝑤(𝑟 <bag 𝑖)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩)))
2	1	reldmmpo 7494	1 ⊢ Rel dom ordPwSer

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 854   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  {crab 3393  Vcvv 3433  [wsbc 3725  ⦋csb 3833   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075  {copab 5137   ↦ cmpt 5156   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   “ cima 5624  Rel wrel 5626  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432   sSet csts 17128  ndxcnx 17158  Basecbs 17174  lecple 17222  ltcplt 18269   mPwSer cmps 21883   <_bag cltb 21886   ordPwSer copws 21887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5076  df-opab 5138  df-xp 5627  df-rel 5628  df-dm 5631  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-opsr 21892

This theorem is referenced by:  opsrle  22027  opsrbaslem  22029  psr1val  22175