Theorem opsrbaslemOLD 21990

Description: Obsolete version of opsrbaslem 21989 as of 1-Nov-2024. Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrbaslemOLD.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opsrbaslemOLD.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opsrbaslemOLD.3	⊢ 𝑁 < ;10

Assertion

Ref	Expression
opsrbaslemOLD	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))

Proof of Theorem opsrbaslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrbaslemOLD.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opsrbaslemOLD.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17160	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12246	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opsrbaslemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < ;10
6	4, 5	ltneii 11352	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≠ ;10
7	1, 2	ndxarg 17159	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		plendx 17341	. . . . . 6 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9	7, 8	neeq12i 2997	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;10)
10	6, 9	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17172	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
12		opsrbas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13		opsrbas.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
14		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
15		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
16		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
17		opsrbas.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
18	17	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
19	12, 13, 14, 15, 16, 18	opsrval2 21988	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
20	19	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
21	11, 20	eqtr4id 2784	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))
22		0fv 6934	. . . . . . 7 ⊢ (∅‘𝑇) = ∅
23	22	eqcomi 2734	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (∅‘𝑇)
24		reldmpsr 21846	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
25	24	ovprc 7451	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
26		reldmopsr 21985	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom ordPwSer
27	26	ovprc 7451	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
28	27	fveq1d 6892	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) = (∅‘𝑇))
29	23, 25, 28	3eqtr4a 2791	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
30	29	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
31	30, 12, 13	3eqtr4g 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 = 𝑂)
32	31	fveq2d 6894	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))
33	21, 32	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463   ⊆ wss 3941  ∅c0 4319  ⟨cop 4631   class class class wbr 5144   × cxp 5671  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134   < clt 11273  ℕcn 12237  ;cdc 12702   sSet csts 17126  Slot cslot 17144  ndxcnx 17156  lecple 17234   mPwSer cmps 21836   ordPwSer copws 21840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-ltxr 11278  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-dec 12703  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ple 17247  df-psr 21841  df-opsr 21845

This theorem is referenced by:  opsrbasOLD  21992  opsrplusgOLD  21994  opsrmulrOLD  21996  opsrvscaOLD  21998  opsrscaOLD  22000