Theorem opsrbaslemOLD 21349

Description: Obsolete version of opsrbaslem 21348 as of 1-Nov-2024. Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrbaslemOLD.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opsrbaslemOLD.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opsrbaslemOLD.3	⊢ 𝑁 < ;10

Assertion

Ref	Expression
opsrbaslemOLD	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))

Proof of Theorem opsrbaslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrbaslemOLD.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opsrbaslemOLD.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16987	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12075	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opsrbaslemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < ;10
6	4, 5	ltneii 11181	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≠ ;10
7	1, 2	ndxarg 16986	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		plendx 17165	. . . . . 6 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9	7, 8	neeq12i 3007	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;10)
10	6, 9	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
11	3, 10	setsnid 16999	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
12		opsrbas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13		opsrbas.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
15		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
16		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
17		opsrbas.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
18	17	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
19	12, 13, 14, 15, 16, 18	opsrval2 21347	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
20	19	fveq2d 6823	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
21	11, 20	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))
22		0fv 6863	. . . . . . 7 ⊢ (∅‘𝑇) = ∅
23	22	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (∅‘𝑇)
24		reldmpsr 21215	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
25	24	ovprc 7367	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
26		reldmopsr 21344	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom ordPwSer
27	26	ovprc 7367	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
28	27	fveq1d 6821	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) = (∅‘𝑇))
29	23, 25, 28	3eqtr4a 2802	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
30	29	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
31	30, 12, 13	3eqtr4g 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 = 𝑂)
32	31	fveq2d 6823	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))
33	21, 32	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  Vcvv 3441   ⊆ wss 3897  ∅c0 4268  ⟨cop 4578   class class class wbr 5089   × cxp 5612  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  0cc0 10964  1c1 10965   < clt 11102  ℕcn 12066  ;cdc 12530   sSet csts 16953  Slot cslot 16971  ndxcnx 16983  lecple 17058   mPwSer cmps 21205   ordPwSer copws 21209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-ltxr 11107  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-dec 12531  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ple 17071  df-psr 21210  df-opsr 21214

This theorem is referenced by:  opsrbasOLD  21351  opsrplusgOLD  21353  opsrmulrOLD  21355  opsrvscaOLD  21357  opsrscaOLD  21359