Theorem opsrbaslemOLD 22091

Description: Obsolete version of opsrbaslem 22090 as of 1-Nov-2024. Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrbaslemOLD.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opsrbaslemOLD.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opsrbaslemOLD.3	⊢ 𝑁 < ;10

Assertion

Ref	Expression
opsrbaslemOLD	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))

Proof of Theorem opsrbaslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrbaslemOLD.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opsrbaslemOLD.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17244	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12302	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opsrbaslemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < ;10
6	4, 5	ltneii 11403	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≠ ;10
7	1, 2	ndxarg 17243	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		plendx 17425	. . . . . 6 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9	7, 8	neeq12i 3013	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;10)
10	6, 9	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17256	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
12		opsrbas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13		opsrbas.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
14		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
15		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
16		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
17		opsrbas.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
19	12, 13, 14, 15, 16, 18	opsrval2 22089	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
20	19	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
21	11, 20	eqtr4id 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))
22		0fv 6964	. . . . . . 7 ⊢ (∅‘𝑇) = ∅
23	22	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (∅‘𝑇)
24		reldmpsr 21957	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
25	24	ovprc 7486	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
26		reldmopsr 22086	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom ordPwSer
27	26	ovprc 7486	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
28	27	fveq1d 6922	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) = (∅‘𝑇))
29	23, 25, 28	3eqtr4a 2806	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
30	29	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
31	30, 12, 13	3eqtr4g 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 = 𝑂)
32	31	fveq2d 6924	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))
33	21, 32	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   < clt 11324  ℕcn 12293  ;cdc 12758   sSet csts 17210  Slot cslot 17228  ndxcnx 17240  lecple 17318   mPwSer cmps 21947   ordPwSer copws 21951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-dec 12759  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ple 17331  df-psr 21952  df-opsr 21956

This theorem is referenced by:  opsrbasOLD  22093  opsrplusgOLD  22095  opsrmulrOLD  22097  opsrvscaOLD  22099  opsrscaOLD  22101