Theorem opsrbaslemOLD 22079

Description: Obsolete version of opsrbaslem 22078 as of 1-Nov-2024. Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrbaslemOLD.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opsrbaslemOLD.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opsrbaslemOLD.3	⊢ 𝑁 < ;10

Assertion

Ref	Expression
opsrbaslemOLD	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))

Proof of Theorem opsrbaslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrbaslemOLD.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opsrbaslemOLD.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17220	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12283	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opsrbaslemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < ;10
6	4, 5	ltneii 11384	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≠ ;10
7	1, 2	ndxarg 17219	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		plendx 17401	. . . . . 6 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9	7, 8	neeq12i 3000	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;10)
10	6, 9	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17232	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
12		opsrbas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13		opsrbas.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
15		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
16		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
17		opsrbas.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
18	17	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
19	12, 13, 14, 15, 16, 18	opsrval2 22077	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
20	19	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
21	11, 20	eqtr4id 2788	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))
22		0fv 6949	. . . . . . 7 ⊢ (∅‘𝑇) = ∅
23	22	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (∅‘𝑇)
24		reldmpsr 21933	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
25	24	ovprc 7468	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
26		reldmopsr 22074	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom ordPwSer
27	26	ovprc 7468	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
28	27	fveq1d 6907	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) = (∅‘𝑇))
29	23, 25, 28	3eqtr4a 2795	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
30	29	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
31	30, 12, 13	3eqtr4g 2794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 = 𝑂)
32	31	fveq2d 6909	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))
33	21, 32	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933  Vcvv 3472   ⊆ wss 3959  ∅c0 4335  ⟨cop 4642   class class class wbr 5156   × cxp 5684  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  0cc0 11165  1c1 11166   < clt 11305  ℕcn 12274  ;cdc 12739   sSet csts 17186  Slot cslot 17204  ndxcnx 17216  lecple 17294   mPwSer cmps 21923   ordPwSer copws 21927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-ltxr 11310  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-4 12339  df-5 12340  df-6 12341  df-7 12342  df-8 12343  df-9 12344  df-dec 12740  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ple 17307  df-psr 21928  df-opsr 21932

This theorem is referenced by:  opsrbasOLD  22081  opsrplusgOLD  22083  opsrmulrOLD  22085  opsrvscaOLD  22087  opsrscaOLD  22089