MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrbaslemOLD 21454
Description: Obsolete version of opsrbaslem 21453 as of 1-Nov-2024. Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrbas.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
opsrbaslemOLD.1 𝐸 = Slot 𝑁
opsrbaslemOLD.2 𝑁 ∈ β„•
opsrbaslemOLD.3 𝑁 < 10
Assertion
Ref Expression
opsrbaslemOLD (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜π‘‚))

Proof of Theorem opsrbaslemOLD
StepHypRef Expression
1 opsrbaslemOLD.1 . . . . 5 𝐸 = Slot 𝑁
2 opsrbaslemOLD.2 . . . . 5 𝑁 ∈ β„•
31, 2ndxid 17070 . . . 4 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
42nnrei 12163 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
5 opsrbaslemOLD.3 . . . . . 6 𝑁 < 10
64, 5ltneii 11269 . . . . 5 𝑁 β‰  10
71, 2ndxarg 17069 . . . . . 6 (πΈβ€˜ndx) = 𝑁
8 plendx 17248 . . . . . 6 (leβ€˜ndx) = 10
97, 8neeq12i 3011 . . . . 5 ((πΈβ€˜ndx) β‰  (leβ€˜ndx) ↔ 𝑁 β‰  10)
106, 9mpbir 230 . . . 4 (πΈβ€˜ndx) β‰  (leβ€˜ndx)
113, 10setsnid 17082 . . 3 (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜(𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), (leβ€˜π‘‚)⟩))
12 opsrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13 opsrbas.o . . . . 5 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
14 eqid 2737 . . . . 5 (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π‘‚)
15 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝐼 ∈ V)
16 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑅 ∈ V)
17 opsrbas.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
1817adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
1912, 13, 14, 15, 16, 18opsrval2 21452 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), (leβ€˜π‘‚)⟩))
2019fveq2d 6847 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (πΈβ€˜π‘‚) = (πΈβ€˜(𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), (leβ€˜π‘‚)⟩)))
2111, 20eqtr4id 2796 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜π‘‚))
22 0fv 6887 . . . . . . 7 (βˆ…β€˜π‘‡) = βˆ…
2322eqcomi 2746 . . . . . 6 βˆ… = (βˆ…β€˜π‘‡)
24 reldmpsr 21319 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
2524ovprc 7396 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
26 reldmopsr 21449 . . . . . . . 8 Rel dom ordPwSer
2726ovprc 7396 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 ordPwSer 𝑅) = βˆ…)
2827fveq1d 6845 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡) = (βˆ…β€˜π‘‡))
2923, 25, 283eqtr4a 2803 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡))
3029adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡))
3130, 12, 133eqtr4g 2802 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑆 = 𝑂)
3231fveq2d 6847 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜π‘‚))
3321, 32pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜π‘‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   < clt 11190  β„•cn 12154  cdc 12619   sSet csts 17036  Slot cslot 17054  ndxcnx 17066  lecple 17141   mPwSer cmps 21309   ordPwSer copws 21313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-dec 12620  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ple 17154  df-psr 21314  df-opsr 21318
This theorem is referenced by:  opsrbasOLD  21456  opsrplusgOLD  21458  opsrmulrOLD  21460  opsrvscaOLD  21462  opsrscaOLD  21464
  Copyright terms: Public domain W3C validator