Theorem ltbwe 22333

Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltbval.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ltbval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ltbval.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
ltbwe.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ltbwe	⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   𝑉(ℎ)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem ltbwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
3	2	cbvrabv 3423	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp 0}
4		ltbwe.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
5		nn0uz 12984	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		ltweuz 14084	. . . . . . 7 ⊢ < We (ℤ≥‘0)
7		weeq2 5639	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0)))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → < We ℕ0)
9	5, 8	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < We ℕ0)
10		0nn0 12602	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		ne0i 4287	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ℕ0 ≠ ∅)
12	10, 11	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ≠ ∅)
13		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14		0z 12685	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
15		hashgval2 14502	. . . . . . 7 ⊢ (♯ ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
16	14, 15	om2uzoi 14078	. . . . . 6 ⊢ (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0))
17		oieq2 9491	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0)))
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0))
19	16, 18	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , ℕ0)
20		peano1 7889	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
21		fvres 6896	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅)
23		hash0 14491	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
24	22, 23	eqtr2i 2785	. . . . 5 ⊢ 0 = ((♯ ↾ ω)‘∅)
25	1, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24	wemapwe 9682	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
26		ltbval.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
27		elmapfun 8872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → Fun ℎ)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → Fun ℎ)
29		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
30		c0ex 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ V)
32		funisfsupp 9343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun ℎ ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (ℎ finSupp 0 ↔ (ℎ supp 0) ∈ Fin))
33	28, 29, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → (ℎ finSupp 0 ↔ (ℎ supp 0) ∈ Fin))
34		ltbval.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
35		elmapi 8853	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ℎ:𝐼⟶ℕ0)
36		fcdmnn0supp 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ:𝐼⟶ℕ0) → (ℎ supp 0) = (◡ℎ “ ℕ))
37	36	eleq1d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ:𝐼⟶ℕ0) → ((ℎ supp 0) ∈ Fin ↔ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin))
38	34, 35, 37	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ((ℎ supp 0) ∈ Fin ↔ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin))
39	33, 38	bitr2d 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ((◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin ↔ ℎ finSupp 0))
40	39	rabbidva 3419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
41	26, 40	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
42		weeq2 5639	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
43	41, 42	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
44	25, 43	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷)
45		weinxp 5736	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
46	44, 45	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
47		ltbval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
48		ltbval.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
49	47, 26, 34, 48	ltbval 22332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))})
50		df-xp 5657	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 × 𝐷) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)}
51		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
52		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
53	51, 52	prss 4781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
54	53	opabbii 5172	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷}
55	50, 54	eqtr2i 2785	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} = (𝐷 × 𝐷)
56	55	ineq1i 4162	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))})
57		inopab 5807	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))}
58		incom 4155	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
59	56, 57, 58	3eqtr3i 2792	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))} = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
60	49, 59	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)))
61		weeq1 5638	. . 3 ⊢ (𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
62	60, 61	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
63	46, 62	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {cpr 4586   class class class wbr 5103  {copab 5167   We wwe 5603   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Fun wfun 6525  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ωcom 7866   supp csupp 8161   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9337  OrdIsocoi 9487  0cc0 11181   < clt 11324  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤ_≥cuz 12946  ♯chash 14454   <_bag cltb 22195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-seqom 8442  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-oexp 8466  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-oi 9488  df-cnf 9647  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-hash 14455  df-ltbag 22200

This theorem is used by:  opsrtoslem2  22345