Theorem ltbwe 21999

Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltbval.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ltbval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ltbval.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
ltbwe.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ltbwe	⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   𝑉(ℎ)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem ltbwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		breq1 5101	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
3	2	cbvrabv 3409	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp 0}
4		ltbwe.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
5		nn0uz 12789	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		ltweuz 13884	. . . . . . 7 ⊢ < We (ℤ≥‘0)
7		weeq2 5612	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0)))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → < We ℕ0)
9	5, 8	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < We ℕ0)
10		0nn0 12416	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		ne0i 4293	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ℕ0 ≠ ∅)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ≠ ∅)
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14		0z 12499	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
15		hashgval2 14301	. . . . . . 7 ⊢ (♯ ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
16	14, 15	om2uzoi 13878	. . . . . 6 ⊢ (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0))
17		oieq2 9418	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0)))
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0))
19	16, 18	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , ℕ0)
20		peano1 7831	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
21		fvres 6853	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅)
23		hash0 14290	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
24	22, 23	eqtr2i 2760	. . . . 5 ⊢ 0 = ((♯ ↾ ω)‘∅)
25	1, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24	wemapwe 9606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
26		ltbval.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
27		elmapfun 8803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → Fun ℎ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → Fun ℎ)
29		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
30		c0ex 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ V)
32		funisfsupp 9270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun ℎ ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (ℎ finSupp 0 ↔ (ℎ supp 0) ∈ Fin))
33	28, 29, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → (ℎ finSupp 0 ↔ (ℎ supp 0) ∈ Fin))
34		ltbval.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
35		elmapi 8786	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ℎ:𝐼⟶ℕ0)
36		fcdmnn0supp 12458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ:𝐼⟶ℕ0) → (ℎ supp 0) = (◡ℎ “ ℕ))
37	36	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ:𝐼⟶ℕ0) → ((ℎ supp 0) ∈ Fin ↔ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin))
38	34, 35, 37	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ((ℎ supp 0) ∈ Fin ↔ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin))
39	33, 38	bitr2d 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ((◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin ↔ ℎ finSupp 0))
40	39	rabbidva 3405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
41	26, 40	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
42		weeq2 5612	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
44	25, 43	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷)
45		weinxp 5709	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
46	44, 45	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
47		ltbval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
48		ltbval.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
49	47, 26, 34, 48	ltbval 21998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))})
50		df-xp 5630	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 × 𝐷) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)}
51		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
52		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
53	51, 52	prss 4776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
54	53	opabbii 5165	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷}
55	50, 54	eqtr2i 2760	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} = (𝐷 × 𝐷)
56	55	ineq1i 4168	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))})
57		inopab 5778	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))}
58		incom 4161	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
59	56, 57, 58	3eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))} = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
60	49, 59	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)))
61		weeq1 5611	. . 3 ⊢ (𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
62	60, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
63	46, 62	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {cpr 4582   class class class wbr 5098  {copab 5160   We wwe 5576   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   “ cima 5627  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  OrdIsocoi 9414  0cc0 11026   < clt 11166  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤ_≥cuz 12751  ♯chash 14253   <_bag cltb 21863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-seqom 8379  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-oexp 8403  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-cnf 9571  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-ltbag 21868

This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  22011