MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltbwe 21461
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
ltbval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
ltbval.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ π‘Š)
ltbwe.w (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
Assertion
Ref Expression
ltbwe (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐼   πœ‘,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑇(β„Ž)   𝑉(β„Ž)   π‘Š(β„Ž)

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}
2 breq1 5109 . . . . . 6 (β„Ž = π‘₯ β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ π‘₯ finSupp 0))
32cbvrabv 3416 . . . . 5 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} = {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ π‘₯ finSupp 0}
4 ltbwe.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
5 nn0uz 12810 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 ltweuz 13872 . . . . . . 7 < We (β„€β‰₯β€˜0)
7 weeq2 5623 . . . . . . 7 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ ( < We β„•0 ↔ < We (β„€β‰₯β€˜0)))
86, 7mpbiri 258 . . . . . 6 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ < We β„•0)
95, 8mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ < We β„•0)
10 0nn0 12433 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
11 ne0i 4295 . . . . . 6 (0 ∈ β„•0 β†’ β„•0 β‰  βˆ…)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„•0 β‰  βˆ…)
13 eqid 2733 . . . . 5 OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14 0z 12515 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
15 hashgval2 14284 . . . . . . 7 (β™― β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
1614, 15om2uzoi 13866 . . . . . 6 (β™― β†Ύ Ο‰) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0))
17 oieq2 9454 . . . . . . 7 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ OrdIso( < , β„•0) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0)))
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6 OrdIso( < , β„•0) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0))
1916, 18eqtr4i 2764 . . . . 5 (β™― β†Ύ Ο‰) = OrdIso( < , β„•0)
20 peano1 7826 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Ο‰
21 fvres 6862 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ Ο‰ β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…) = (β™―β€˜βˆ…))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…) = (β™―β€˜βˆ…)
23 hash0 14273 . . . . . 6 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2422, 23eqtr2i 2762 . . . . 5 0 = ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…)
251, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24wemapwe 9638 . . . 4 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
26 ltbval.d . . . . . 6 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
27 elmapfun 8807 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ Fun β„Ž)
2827adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ Fun β„Ž)
29 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼))
30 c0ex 11154 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ V)
32 funisfsupp 9314 . . . . . . . . 9 ((Fun β„Ž ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ (β„Ž supp 0) ∈ Fin))
3328, 29, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ (β„Ž supp 0) ∈ Fin))
34 ltbval.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
35 elmapi 8790 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0)
36 fcdmnn0supp 12474 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (β„Ž supp 0) = (β—‘β„Ž β€œ β„•))
3736eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((β„Ž supp 0) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
3834, 35, 37syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ ((β„Ž supp 0) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
3933, 38bitr2d 280 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ↔ β„Ž finSupp 0))
4039rabbidva 3413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
4126, 40eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
42 weeq2 5623 . . . . 5 (𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}))
4341, 42syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}))
4425, 43mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷)
45 weinxp 5717 . . 3 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷)
4644, 45sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷)
47 ltbval.c . . . . 5 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
48 ltbval.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ π‘Š)
4947, 26, 34, 48ltbval 21460 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))})
50 df-xp 5640 . . . . . . 7 (𝐷 Γ— 𝐷) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)}
51 vex 3448 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
52 vex 3448 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
5351, 52prss 4781 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷)
5453opabbii 5173 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷}
5550, 54eqtr2i 2762 . . . . . 6 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} = (𝐷 Γ— 𝐷)
5655ineq1i 4169 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = ((𝐷 Γ— 𝐷) ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))})
57 inopab 5786 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))}
58 incom 4162 . . . . 5 ((𝐷 Γ— 𝐷) ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷))
5956, 57, 583eqtr3i 2769 . . . 4 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))} = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷))
6049, 59eqtrdi 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)))
61 weeq1 5622 . . 3 (𝐢 = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) β†’ (𝐢 We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷))
6260, 61syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷))
6346, 62mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {cpr 4589   class class class wbr 5106  {copab 5168   We wwe 5588   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803   supp csupp 8093   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308  OrdIsocoi 9450  0cc0 11056   < clt 11194  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€β‰₯cuz 12768  β™―chash 14236   <bag cltb 21325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-seqom 8395  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-oexp 8419  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-cnf 9603  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237  df-ltbag 21330
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  21479
  Copyright terms: Public domain W3C validator