MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ltbwe 21981
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
ltbval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
ltbval.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ π‘Š)
ltbwe.w (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
Assertion
Ref Expression
ltbwe (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐼   πœ‘,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑇(β„Ž)   𝑉(β„Ž)   π‘Š(β„Ž)
Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}
2 breq1 5151 . . . . . 6 (β„Ž = π‘₯ β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ π‘₯ finSupp 0))
32cbvrabv 3439 . . . . 5 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} = {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ π‘₯ finSupp 0}
4 ltbwe.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
5 nn0uz 12894 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 ltweuz 13958 . . . . . . 7 < We (β„€β‰₯β€˜0)
7 weeq2 5667 . . . . . . 7 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ ( < We β„•0 ↔ < We (β„€β‰₯β€˜0)))
86, 7mpbiri 258 . . . . . 6 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ < We β„•0)
95, 8mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ < We β„•0)
10 0nn0 12517 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
11 ne0i 4335 . . . . . 6 (0 ∈ β„•0 β†’ β„•0 β‰  βˆ…)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„•0 β‰  βˆ…)
13 eqid 2728 . . . . 5 OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14 0z 12599 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
15 hashgval2 14369 . . . . . . 7 (β™― β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
1614, 15om2uzoi 13952 . . . . . 6 (β™― β†Ύ Ο‰) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0))
17 oieq2 9536 . . . . . . 7 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ OrdIso( < , β„•0) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0)))
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6 OrdIso( < , β„•0) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0))
1916, 18eqtr4i 2759 . . . . 5 (β™― β†Ύ Ο‰) = OrdIso( < , β„•0)
20 peano1 7894 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Ο‰
21 fvres 6916 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ Ο‰ β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…) = (β™―β€˜βˆ…))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…) = (β™―β€˜βˆ…)
23 hash0 14358 . . . . . 6 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2422, 23eqtr2i 2757 . . . . 5 0 = ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…)
251, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24wemapwe 9720 . . . 4 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
26 ltbval.d . . . . . 6 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
27 elmapfun 8884 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ Fun β„Ž)
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ Fun β„Ž)
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼))
30 c0ex 11238 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ V)
32 funisfsupp 9391 . . . . . . . . 9 ((Fun β„Ž ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ (β„Ž supp 0) ∈ Fin))
3328, 29, 31, 32syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ (β„Ž supp 0) ∈ Fin))
34 ltbval.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
35 elmapi 8867 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0)
36 fcdmnn0supp 12558 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (β„Ž supp 0) = (β—‘β„Ž β€œ β„•))
3736eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((β„Ž supp 0) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
3834, 35, 37syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ ((β„Ž supp 0) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
3933, 38bitr2d 280 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ↔ β„Ž finSupp 0))
4039rabbidva 3436 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
4126, 40eqtrid 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
42 weeq2 5667 . . . . 5 (𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}))
4341, 42syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}))
4425, 43mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷)
45 weinxp 5762 . . 3 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷)
4644, 45sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷)
47 ltbval.c . . . . 5 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
48 ltbval.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ π‘Š)
4947, 26, 34, 48ltbval 21980 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))})
50 df-xp 5684 . . . . . . 7 (𝐷 Γ— 𝐷) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)}
51 vex 3475 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
52 vex 3475 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
5351, 52prss 4824 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷)
5453opabbii 5215 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷}
5550, 54eqtr2i 2757 . . . . . 6 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} = (𝐷 Γ— 𝐷)
5655ineq1i 4208 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = ((𝐷 Γ— 𝐷) ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))})
57 inopab 5831 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))}
58 incom 4201 . . . . 5 ((𝐷 Γ— 𝐷) ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷))
5956, 57, 583eqtr3i 2764 . . . 4 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))} = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷))
6049, 59eqtrdi 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)))
61 weeq1 5666 . . 3 (𝐢 = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) β†’ (𝐢 We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷))
6260, 61syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷))
6346, 62mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  {crab 3429  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  {cpr 4631   class class class wbr 5148  {copab 5210   We wwe 5632   Γ— cxp 5676  β—‘ccnv 5677   β†Ύ cres 5680   β€œ cima 5681  Fun wfun 6542  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Ο‰com 7870   supp csupp 8165   ↑m cmap 8844  Fincfn 8963   finSupp cfsupp 9385  OrdIsocoi 9532  0cc0 11138   < clt 11278  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€β‰₯cuz 12852  β™―chash 14321   <bag cltb 21839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-seqom 8468  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-oexp 8492  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-cnf 9685  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322  df-ltbag 21844
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  21999
  Copyright terms: Public domain W3C validator