Theorem ltbwe 21958

Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltbval.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ltbval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ltbval.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
ltbwe.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ltbwe	⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   𝑉(ℎ)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem ltbwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
3	2	cbvrabv 3419	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp 0}
4		ltbwe.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
5		nn0uz 12842	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		ltweuz 13933	. . . . . . 7 ⊢ < We (ℤ≥‘0)
7		weeq2 5629	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0)))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → < We ℕ0)
9	5, 8	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < We ℕ0)
10		0nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		ne0i 4307	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ℕ0 ≠ ∅)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ≠ ∅)
13		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14		0z 12547	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
15		hashgval2 14350	. . . . . . 7 ⊢ (♯ ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
16	14, 15	om2uzoi 13927	. . . . . 6 ⊢ (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0))
17		oieq2 9473	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0)))
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0))
19	16, 18	eqtr4i 2756	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , ℕ0)
20		peano1 7868	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
21		fvres 6880	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅)
23		hash0 14339	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
24	22, 23	eqtr2i 2754	. . . . 5 ⊢ 0 = ((♯ ↾ ω)‘∅)
25	1, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24	wemapwe 9657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
26		ltbval.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
27		elmapfun 8842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → Fun ℎ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → Fun ℎ)
29		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
30		c0ex 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ V)
32		funisfsupp 9325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun ℎ ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (ℎ finSupp 0 ↔ (ℎ supp 0) ∈ Fin))
33	28, 29, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → (ℎ finSupp 0 ↔ (ℎ supp 0) ∈ Fin))
34		ltbval.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
35		elmapi 8825	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ℎ:𝐼⟶ℕ0)
36		fcdmnn0supp 12506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ:𝐼⟶ℕ0) → (ℎ supp 0) = (◡ℎ “ ℕ))
37	36	eleq1d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ:𝐼⟶ℕ0) → ((ℎ supp 0) ∈ Fin ↔ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin))
38	34, 35, 37	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ((ℎ supp 0) ∈ Fin ↔ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin))
39	33, 38	bitr2d 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ((◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin ↔ ℎ finSupp 0))
40	39	rabbidva 3415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
41	26, 40	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
42		weeq2 5629	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
44	25, 43	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷)
45		weinxp 5726	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
46	44, 45	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
47		ltbval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
48		ltbval.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
49	47, 26, 34, 48	ltbval 21957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))})
50		df-xp 5647	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 × 𝐷) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)}
51		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
52		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
53	51, 52	prss 4787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
54	53	opabbii 5177	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷}
55	50, 54	eqtr2i 2754	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} = (𝐷 × 𝐷)
56	55	ineq1i 4182	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))})
57		inopab 5795	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))}
58		incom 4175	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
59	56, 57, 58	3eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))} = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
60	49, 59	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)))
61		weeq1 5628	. . 3 ⊢ (𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
62	60, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
63	46, 62	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {cpr 4594   class class class wbr 5110  {copab 5172   We wwe 5593   × cxp 5639  ^◡ccnv 5640   ↾ cres 5643   “ cima 5644  Fun wfun 6508  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ωcom 7845   supp csupp 8142   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921   finSupp cfsupp 9319  OrdIsocoi 9469  0cc0 11075   < clt 11215  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ♯chash 14302   <_bag cltb 21823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-seqom 8419  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-oexp 8443  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-cnf 9622  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-ltbag 21828

This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  21970