MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltbwe 21930
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
ltbval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
ltbval.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ π‘Š)
ltbwe.w (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
Assertion
Ref Expression
ltbwe (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐼   πœ‘,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑇(β„Ž)   𝑉(β„Ž)   π‘Š(β„Ž)

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}
2 breq1 5142 . . . . . 6 (β„Ž = π‘₯ β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ π‘₯ finSupp 0))
32cbvrabv 3434 . . . . 5 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} = {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ π‘₯ finSupp 0}
4 ltbwe.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
5 nn0uz 12863 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 ltweuz 13927 . . . . . . 7 < We (β„€β‰₯β€˜0)
7 weeq2 5656 . . . . . . 7 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ ( < We β„•0 ↔ < We (β„€β‰₯β€˜0)))
86, 7mpbiri 258 . . . . . 6 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ < We β„•0)
95, 8mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ < We β„•0)
10 0nn0 12486 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
11 ne0i 4327 . . . . . 6 (0 ∈ β„•0 β†’ β„•0 β‰  βˆ…)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„•0 β‰  βˆ…)
13 eqid 2724 . . . . 5 OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14 0z 12568 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
15 hashgval2 14339 . . . . . . 7 (β™― β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
1614, 15om2uzoi 13921 . . . . . 6 (β™― β†Ύ Ο‰) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0))
17 oieq2 9505 . . . . . . 7 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ OrdIso( < , β„•0) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0)))
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6 OrdIso( < , β„•0) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0))
1916, 18eqtr4i 2755 . . . . 5 (β™― β†Ύ Ο‰) = OrdIso( < , β„•0)
20 peano1 7873 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Ο‰
21 fvres 6901 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ Ο‰ β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…) = (β™―β€˜βˆ…))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…) = (β™―β€˜βˆ…)
23 hash0 14328 . . . . . 6 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2422, 23eqtr2i 2753 . . . . 5 0 = ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…)
251, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24wemapwe 9689 . . . 4 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
26 ltbval.d . . . . . 6 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
27 elmapfun 8857 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ Fun β„Ž)
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ Fun β„Ž)
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼))
30 c0ex 11207 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ V)
32 funisfsupp 9364 . . . . . . . . 9 ((Fun β„Ž ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ (β„Ž supp 0) ∈ Fin))
3328, 29, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ (β„Ž supp 0) ∈ Fin))
34 ltbval.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
35 elmapi 8840 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0)
36 fcdmnn0supp 12527 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (β„Ž supp 0) = (β—‘β„Ž β€œ β„•))
3736eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((β„Ž supp 0) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
3834, 35, 37syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ ((β„Ž supp 0) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
3933, 38bitr2d 280 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ↔ β„Ž finSupp 0))
4039rabbidva 3431 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
4126, 40eqtrid 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
42 weeq2 5656 . . . . 5 (𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}))
4341, 42syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}))
4425, 43mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷)
45 weinxp 5751 . . 3 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷)
4644, 45sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷)
47 ltbval.c . . . . 5 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
48 ltbval.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ π‘Š)
4947, 26, 34, 48ltbval 21929 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))})
50 df-xp 5673 . . . . . . 7 (𝐷 Γ— 𝐷) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)}
51 vex 3470 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
52 vex 3470 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
5351, 52prss 4816 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷)
5453opabbii 5206 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷}
5550, 54eqtr2i 2753 . . . . . 6 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} = (𝐷 Γ— 𝐷)
5655ineq1i 4201 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = ((𝐷 Γ— 𝐷) ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))})
57 inopab 5820 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))}
58 incom 4194 . . . . 5 ((𝐷 Γ— 𝐷) ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷))
5956, 57, 583eqtr3i 2760 . . . 4 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))} = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷))
6049, 59eqtrdi 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)))
61 weeq1 5655 . . 3 (𝐢 = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) β†’ (𝐢 We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷))
6260, 61syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷))
6346, 62mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  {cpr 4623   class class class wbr 5139  {copab 5201   We wwe 5621   Γ— cxp 5665  β—‘ccnv 5666   β†Ύ cres 5669   β€œ cima 5670  Fun wfun 6528  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Ο‰com 7849   supp csupp 8141   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  OrdIsocoi 9501  0cc0 11107   < clt 11247  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„€β‰₯cuz 12821  β™―chash 14291   <bag cltb 21790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-seqom 8444  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-oexp 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-cnf 9654  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-hash 14292  df-ltbag 21795
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  21948
  Copyright terms: Public domain W3C validator