MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ltbwe 21590
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
ltbval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
ltbval.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ π‘Š)
ltbwe.w (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
Assertion
Ref Expression
ltbwe (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐼   πœ‘,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑇(β„Ž)   𝑉(β„Ž)   π‘Š(β„Ž)
Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}
2 breq1 5150 . . . . . 6 (β„Ž = π‘₯ β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ π‘₯ finSupp 0))
32cbvrabv 3442 . . . . 5 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} = {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ π‘₯ finSupp 0}
4 ltbwe.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 We 𝐼)
5 nn0uz 12860 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 ltweuz 13922 . . . . . . 7 < We (β„€β‰₯β€˜0)
7 weeq2 5664 . . . . . . 7 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ ( < We β„•0 ↔ < We (β„€β‰₯β€˜0)))
86, 7mpbiri 257 . . . . . 6 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ < We β„•0)
95, 8mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ < We β„•0)
10 0nn0 12483 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
11 ne0i 4333 . . . . . 6 (0 ∈ β„•0 β†’ β„•0 β‰  βˆ…)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„•0 β‰  βˆ…)
13 eqid 2732 . . . . 5 OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14 0z 12565 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
15 hashgval2 14334 . . . . . . 7 (β™― β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
1614, 15om2uzoi 13916 . . . . . 6 (β™― β†Ύ Ο‰) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0))
17 oieq2 9504 . . . . . . 7 (β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0) β†’ OrdIso( < , β„•0) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0)))
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6 OrdIso( < , β„•0) = OrdIso( < , (β„€β‰₯β€˜0))
1916, 18eqtr4i 2763 . . . . 5 (β™― β†Ύ Ο‰) = OrdIso( < , β„•0)
20 peano1 7875 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Ο‰
21 fvres 6907 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ Ο‰ β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…) = (β™―β€˜βˆ…))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…) = (β™―β€˜βˆ…)
23 hash0 14323 . . . . . 6 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2422, 23eqtr2i 2761 . . . . 5 0 = ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜βˆ…)
251, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24wemapwe 9688 . . . 4 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
26 ltbval.d . . . . . 6 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
27 elmapfun 8856 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ Fun β„Ž)
2827adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ Fun β„Ž)
29 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼))
30 c0ex 11204 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ V)
32 funisfsupp 9363 . . . . . . . . 9 ((Fun β„Ž ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ (β„Ž supp 0) ∈ Fin))
3328, 29, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ (β„Ž finSupp 0 ↔ (β„Ž supp 0) ∈ Fin))
34 ltbval.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
35 elmapi 8839 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0)
36 fcdmnn0supp 12524 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (β„Ž supp 0) = (β—‘β„Ž β€œ β„•))
3736eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((β„Ž supp 0) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
3834, 35, 37syl2an 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ ((β„Ž supp 0) ∈ Fin ↔ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin))
3933, 38bitr2d 279 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ ((β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin ↔ β„Ž finSupp 0))
4039rabbidva 3439 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
4126, 40eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
42 weeq2 5664 . . . . 5 (𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}))
4341, 42syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}))
4425, 43mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷)
45 weinxp 5758 . . 3 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷)
4644, 45sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷)
47 ltbval.c . . . . 5 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
48 ltbval.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ π‘Š)
4947, 26, 34, 48ltbval 21589 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))})
50 df-xp 5681 . . . . . . 7 (𝐷 Γ— 𝐷) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)}
51 vex 3478 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
52 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
5351, 52prss 4822 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷)
5453opabbii 5214 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷}
5550, 54eqtr2i 2761 . . . . . 6 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} = (𝐷 Γ— 𝐷)
5655ineq1i 4207 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = ((𝐷 Γ— 𝐷) ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))})
57 inopab 5827 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷} ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))}
58 incom 4200 . . . . 5 ((𝐷 Γ— 𝐷) ∩ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))}) = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷))
5956, 57, 583eqtr3i 2768 . . . 4 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐷 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))))} = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷))
6049, 59eqtrdi 2788 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)))
61 weeq1 5663 . . 3 (𝐢 = ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) β†’ (𝐢 We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷))
6260, 61syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 We 𝐷 ↔ ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐼 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑀 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€)))} ∩ (𝐷 Γ— 𝐷)) We 𝐷))
6346, 62mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 We 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {cpr 4629   class class class wbr 5147  {copab 5209   We wwe 5629   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Ο‰com 7851   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  OrdIsocoi 9500  0cc0 11106   < clt 11244  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€β‰₯cuz 12818  β™―chash 14286   <bag cltb 21451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-seqom 8444  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-oexp 8468  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-cnf 9653  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-ltbag 21456
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  21608
  Copyright terms: Public domain W3C validator