MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltbwe 22062
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
ltbval.i (𝜑𝐼𝑉)
ltbval.t (𝜑𝑇𝑊)
ltbwe.w (𝜑𝑇 We 𝐼)
Assertion
Ref Expression
ltbwe (𝜑𝐶 We 𝐷)
Distinct variable groups:   ,𝐼   𝜑,
Allowed substitution hints:   𝐶()   𝐷()   𝑇()   𝑉()   𝑊()

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2 breq1 5146 . . . . . 6 ( = 𝑥 → ( finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
32cbvrabv 3447 . . . . 5 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0} = {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp 0}
4 ltbwe.w . . . . 5 (𝜑𝑇 We 𝐼)
5 nn0uz 12920 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6 ltweuz 14002 . . . . . . 7 < We (ℤ‘0)
7 weeq2 5673 . . . . . . 7 (ℕ0 = (ℤ‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ‘0)))
86, 7mpbiri 258 . . . . . 6 (ℕ0 = (ℤ‘0) → < We ℕ0)
95, 8mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → < We ℕ0)
10 0nn0 12541 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
11 ne0i 4341 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → ℕ0 ≠ ∅)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ℕ0 ≠ ∅)
13 eqid 2737 . . . . 5 OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14 0z 12624 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
15 hashgval2 14417 . . . . . . 7 (♯ ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
1614, 15om2uzoi 13996 . . . . . 6 (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , (ℤ‘0))
17 oieq2 9553 . . . . . . 7 (ℕ0 = (ℤ‘0) → OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ‘0)))
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6 OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ‘0))
1916, 18eqtr4i 2768 . . . . 5 (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , ℕ0)
20 peano1 7910 . . . . . . 7 ∅ ∈ ω
21 fvres 6925 . . . . . . 7 (∅ ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅)
23 hash0 14406 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
2422, 23eqtr2i 2766 . . . . 5 0 = ((♯ ↾ ω)‘∅)
251, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24wemapwe 9737 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0})
26 ltbval.d . . . . . 6 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
27 elmapfun 8906 . . . . . . . . . 10 ( ∈ (ℕ0m 𝐼) → Fun )
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → Fun )
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → ∈ (ℕ0m 𝐼))
30 c0ex 11255 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → 0 ∈ V)
32 funisfsupp 9407 . . . . . . . . 9 ((Fun ∈ (ℕ0m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → ( finSupp 0 ↔ ( supp 0) ∈ Fin))
3328, 29, 31, 32syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → ( finSupp 0 ↔ ( supp 0) ∈ Fin))
34 ltbval.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
35 elmapi 8889 . . . . . . . . 9 ( ∈ (ℕ0m 𝐼) → :𝐼⟶ℕ0)
36 fcdmnn0supp 12583 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉:𝐼⟶ℕ0) → ( supp 0) = ( “ ℕ))
3736eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉:𝐼⟶ℕ0) → (( supp 0) ∈ Fin ↔ ( “ ℕ) ∈ Fin))
3834, 35, 37syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → (( supp 0) ∈ Fin ↔ ( “ ℕ) ∈ Fin))
3933, 38bitr2d 280 . . . . . . 7 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → (( “ ℕ) ∈ Fin ↔ finSupp 0))
4039rabbidva 3443 . . . . . 6 (𝜑 → { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0})
4126, 40eqtrid 2789 . . . . 5 (𝜑𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0})
42 weeq2 5673 . . . . 5 (𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0} → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0}))
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0}))
4425, 43mpbird 257 . . 3 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We 𝐷)
45 weinxp 5770 . . 3 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
4644, 45sylib 218 . 2 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
47 ltbval.c . . . . 5 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
48 ltbval.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑊)
4947, 26, 34, 48ltbval 22061 . . . 4 (𝜑𝐶 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))})
50 df-xp 5691 . . . . . . 7 (𝐷 × 𝐷) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐷𝑦𝐷)}
51 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
52 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
5351, 52prss 4820 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
5453opabbii 5210 . . . . . . 7 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐷𝑦𝐷)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷}
5550, 54eqtr2i 2766 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} = (𝐷 × 𝐷)
5655ineq1i 4216 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}) = ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))})
57 inopab 5839 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))}
58 incom 4209 . . . . 5 ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
5956, 57, 583eqtr3i 2773 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))} = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
6049, 59eqtrdi 2793 . . 3 (𝜑𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)))
61 weeq1 5672 . . 3 (𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
6260, 61syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
6346, 62mpbird 257 1 (𝜑𝐶 We 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {cpr 4628   class class class wbr 5143  {copab 5205   We wwe 5636   × cxp 5683  ccnv 5684  cres 5687  cima 5688  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  OrdIsocoi 9549  0cc0 11155   < clt 11295  cn 12266  0cn0 12526  cuz 12878  chash 14369   <bag cltb 21927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-cnf 9702  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-ltbag 21932
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  22080
  Copyright terms: Public domain W3C validator