MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltbwe 20181
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
ltbval.i (𝜑𝐼𝑉)
ltbval.t (𝜑𝑇𝑊)
ltbwe.w (𝜑𝑇 We 𝐼)
Assertion
Ref Expression
ltbwe (𝜑𝐶 We 𝐷)
Distinct variable groups:   ,𝐼   𝜑,
Allowed substitution hints:   𝐶()   𝐷()   𝑇()   𝑉()   𝑊()

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2 breq1 5060 . . . . . 6 ( = 𝑥 → ( finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
32cbvrabv 3489 . . . . 5 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0} = {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp 0}
4 ltbwe.w . . . . 5 (𝜑𝑇 We 𝐼)
5 nn0uz 12268 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6 ltweuz 13317 . . . . . . 7 < We (ℤ‘0)
7 weeq2 5537 . . . . . . 7 (ℕ0 = (ℤ‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ‘0)))
86, 7mpbiri 259 . . . . . 6 (ℕ0 = (ℤ‘0) → < We ℕ0)
95, 8mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → < We ℕ0)
10 0nn0 11900 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
11 ne0i 4297 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → ℕ0 ≠ ∅)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ℕ0 ≠ ∅)
13 eqid 2818 . . . . 5 OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14 0z 11980 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
15 hashgval2 13727 . . . . . . 7 (♯ ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
1614, 15om2uzoi 13311 . . . . . 6 (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , (ℤ‘0))
17 oieq2 8965 . . . . . . 7 (ℕ0 = (ℤ‘0) → OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ‘0)))
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6 OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ‘0))
1916, 18eqtr4i 2844 . . . . 5 (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , ℕ0)
20 peano1 7590 . . . . . . 7 ∅ ∈ ω
21 fvres 6682 . . . . . . 7 (∅ ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅)
23 hash0 13716 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
2422, 23eqtr2i 2842 . . . . 5 0 = ((♯ ↾ ω)‘∅)
251, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24wemapwe 9148 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0})
26 ltbval.d . . . . . 6 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
27 elmapfun 8419 . . . . . . . . . 10 ( ∈ (ℕ0m 𝐼) → Fun )
2827adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → Fun )
29 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → ∈ (ℕ0m 𝐼))
30 c0ex 10623 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → 0 ∈ V)
32 funisfsupp 8826 . . . . . . . . 9 ((Fun ∈ (ℕ0m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → ( finSupp 0 ↔ ( supp 0) ∈ Fin))
3328, 29, 31, 32syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → ( finSupp 0 ↔ ( supp 0) ∈ Fin))
34 ltbval.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
35 elmapi 8417 . . . . . . . . 9 ( ∈ (ℕ0m 𝐼) → :𝐼⟶ℕ0)
36 frnnn0supp 11941 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉:𝐼⟶ℕ0) → ( supp 0) = ( “ ℕ))
3736eleq1d 2894 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉:𝐼⟶ℕ0) → (( supp 0) ∈ Fin ↔ ( “ ℕ) ∈ Fin))
3834, 35, 37syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → (( supp 0) ∈ Fin ↔ ( “ ℕ) ∈ Fin))
3933, 38bitr2d 281 . . . . . . 7 ((𝜑 ∈ (ℕ0m 𝐼)) → (( “ ℕ) ∈ Fin ↔ finSupp 0))
4039rabbidva 3476 . . . . . 6 (𝜑 → { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0})
4126, 40syl5eq 2865 . . . . 5 (𝜑𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0})
42 weeq2 5537 . . . . 5 (𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0} → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0}))
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ finSupp 0}))
4425, 43mpbird 258 . . 3 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We 𝐷)
45 weinxp 5629 . . 3 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
4644, 45sylib 219 . 2 (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
47 ltbval.c . . . . 5 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
48 ltbval.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑊)
4947, 26, 34, 48ltbval 20180 . . . 4 (𝜑𝐶 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))})
50 df-xp 5554 . . . . . . 7 (𝐷 × 𝐷) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐷𝑦𝐷)}
51 vex 3495 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
52 vex 3495 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
5351, 52prss 4745 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
5453opabbii 5124 . . . . . . 7 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐷𝑦𝐷)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷}
5550, 54eqtr2i 2842 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} = (𝐷 × 𝐷)
5655ineq1i 4182 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}) = ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))})
57 inopab 5694 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))}
58 incom 4175 . . . . 5 ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
5956, 57, 583eqtr3i 2849 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))} = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
6049, 59syl6eq 2869 . . 3 (𝜑𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)))
61 weeq1 5536 . . 3 (𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
6260, 61syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐼 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
6346, 62mpbird 258 1 (𝜑𝐶 We 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {cpr 4559   class class class wbr 5057  {copab 5119   We wwe 5506   × cxp 5546  ccnv 5547  cres 5550  cima 5551  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569   supp csupp 7819  m cmap 8395  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821  OrdIsocoi 8961  0cc0 10525   < clt 10663  cn 11626  0cn0 11885  cuz 12231  chash 13678   <bag cltb 20062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-seqom 8073  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-oexp 8097  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-cnf 9113  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679  df-ltbag 20067
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  20193
  Copyright terms: Public domain W3C validator