Theorem ltbwe 22000

Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltbval.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ltbval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ltbval.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
ltbwe.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ltbwe	⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   𝑉(ℎ)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem ltbwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		breq1 5122	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
3	2	cbvrabv 3426	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp 0}
4		ltbwe.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
5		nn0uz 12892	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		ltweuz 13977	. . . . . . 7 ⊢ < We (ℤ≥‘0)
7		weeq2 5642	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0)))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → < We ℕ0)
9	5, 8	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < We ℕ0)
10		0nn0 12514	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		ne0i 4316	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ℕ0 ≠ ∅)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ≠ ∅)
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14		0z 12597	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
15		hashgval2 14394	. . . . . . 7 ⊢ (♯ ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
16	14, 15	om2uzoi 13971	. . . . . 6 ⊢ (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0))
17		oieq2 9525	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0)))
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0))
19	16, 18	eqtr4i 2761	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ ω) = OrdIso( < , ℕ0)
20		peano1 7882	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
21		fvres 6894	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ ω → ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((♯ ↾ ω)‘∅) = (♯‘∅)
23		hash0 14383	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
24	22, 23	eqtr2i 2759	. . . . 5 ⊢ 0 = ((♯ ↾ ω)‘∅)
25	1, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24	wemapwe 9709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
26		ltbval.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
27		elmapfun 8878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → Fun ℎ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → Fun ℎ)
29		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
30		c0ex 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ V)
32		funisfsupp 9377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun ℎ ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (ℎ finSupp 0 ↔ (ℎ supp 0) ∈ Fin))
33	28, 29, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → (ℎ finSupp 0 ↔ (ℎ supp 0) ∈ Fin))
34		ltbval.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
35		elmapi 8861	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) → ℎ:𝐼⟶ℕ0)
36		fcdmnn0supp 12556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ:𝐼⟶ℕ0) → (ℎ supp 0) = (◡ℎ “ ℕ))
37	36	eleq1d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ:𝐼⟶ℕ0) → ((ℎ supp 0) ∈ Fin ↔ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin))
38	34, 35, 37	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ((ℎ supp 0) ∈ Fin ↔ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin))
39	33, 38	bitr2d 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼)) → ((◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin ↔ ℎ finSupp 0))
40	39	rabbidva 3422	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
41	26, 40	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
42		weeq2 5642	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
44	25, 43	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷)
45		weinxp 5739	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
46	44, 45	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
47		ltbval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
48		ltbval.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
49	47, 26, 34, 48	ltbval 21999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))})
50		df-xp 5660	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 × 𝐷) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)}
51		vex 3463	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
52		vex 3463	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
53	51, 52	prss 4796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
54	53	opabbii 5186	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷}
55	50, 54	eqtr2i 2759	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} = (𝐷 × 𝐷)
56	55	ineq1i 4191	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))})
57		inopab 5808	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))}
58		incom 4184	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
59	56, 57, 58	3eqtr3i 2766	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))} = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
60	49, 59	eqtrdi 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)))
61		weeq1 5641	. . 3 ⊢ (𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
62	60, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
63	46, 62	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {cpr 4603   class class class wbr 5119  {copab 5181   We wwe 5605   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653   ↾ cres 5656   “ cima 5657  Fun wfun 6524  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ωcom 7859   supp csupp 8157   ↑_m cmap 8838  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9371  OrdIsocoi 9521  0cc0 11127   < clt 11267  ℕcn 12238  ℕ₀cn0 12499  ℤ_≥cuz 12850  ♯chash 14346   <_bag cltb 21865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-seqom 8460  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-oexp 8484  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-oi 9522  df-cnf 9674  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-hash 14347  df-ltbag 21870

This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  22012